全稱量詞與存在量詞【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義

第一章集合與常用邏輯用語全稱量詞與存在量詞【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.3.通過學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.．【知識(shí)要點(diǎn)歸納】1.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)?全稱命題含有的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”（2）存在量詞與特稱命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?特稱命題含有的命題形式“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”【經(jīng)典例題】例1將下列命題用量詞等符號(hào)表示，并判斷命題的真假．(1)所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)；(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；(3)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)；(4)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一個(gè)負(fù)根；(5)有些整數(shù)是偶數(shù)例2判斷下列量詞命題的真假．(1)對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)．(2)末位是零的整數(shù)，可以被5整除．(3)?x∈R，有|x＋1|>1.(4)有的集合中不含有任何元素．(5)存在對(duì)角線不互相垂直的菱形．例3已知命題“?1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[變式]若把本例中的“?”改為“?”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例4．若對(duì)于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．例5.命題：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【當(dāng)堂檢測(cè)】一．選擇題（共4小題）1．下列命題含有全稱量詞的是A．某些函數(shù)圖象不過原點(diǎn) B．實(shí)數(shù)的平方為正數(shù) C．方程有實(shí)數(shù)解 D．素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2．若命題“任意，“是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，3．下列命題中為真命題的是A．， B．， C．， D．，4．下列命題中是真命題的是A．， B．， C．若，則”的逆命題 D．若，則”的逆否命題二．填空題（共2小題）5．設(shè)，，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．命題，，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三．解答題（共1小題）7．設(shè)命題，，命題，．若，都為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

當(dāng)堂檢測(cè)答案一．選擇題（共4小題）1．下列命題含有全稱量詞的是A．某些函數(shù)圖象不過原點(diǎn) B．實(shí)數(shù)的平方為正數(shù) C．方程有實(shí)數(shù)解 D．素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)【分析】直接根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的定義求解即可．【解答】解：：某些函數(shù)圖象不過原點(diǎn)，不是全部的意思，不是全稱量詞命題；：實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)即是所有實(shí)數(shù)的平方根都為正數(shù)，是全稱量詞命題；：方程有實(shí)數(shù)解，不是全稱量詞命題；：素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，不是全稱量詞命題；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷，屬于基礎(chǔ)題．2．若命題“任意，“是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【分析】利用不等式恒成立，通過判別式小于等于0，列出不等式求解即可．【解答】解：依題意，△，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．3．下列命題中為真命題的是A．， B．， C．， D．，【分析】利用命題的真假對(duì)每個(gè)選項(xiàng)判斷，全稱特稱量詞命題定義判斷即可．【解答】解：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，常見的存在量詞還有：“有些”，“有一個(gè)”，“對(duì)某個(gè)”，“有”表示存在量詞，用符號(hào)的“彐”表示，特稱命題的定義．、，，△，錯(cuò)誤．、，，，△，錯(cuò)誤．、，，時(shí)，錯(cuò)誤．、，，，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，全稱特稱量詞命題判斷即可．是基礎(chǔ)題．4．下列命題中是真命題的是A．， B．， C．若，則”的逆命題 D．若，則”的逆否命題【分析】直接利用排除法和命題的真假的判斷求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，對(duì)于，為假命題．故錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，逆命題不成立．對(duì)于選項(xiàng)：若“，則”為假命題，故逆否命題為假命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：簡(jiǎn)易邏輯的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，等價(jià)命題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．二．填空題（共2小題）5．設(shè)，，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【分析】由含參不等式恒成立問題，得：，等價(jià)于△，解不等式即可得的取值范圍．【解答】解：若，，是真命題，則△，解得；故的取值范圍是：；故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全稱量詞及全稱命題、含參不等式恒成立問題，屬于簡(jiǎn)單題．6．命題，，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【分析】由含參不等式恒成立問題，得：，，等價(jià)于①當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立，②當(dāng)時(shí)，由題意有：，解得：，得解．【解答】解：當(dāng)是真命題時(shí)，即：，，①當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立，②當(dāng)時(shí)，由題意有：，解得：，綜合①②得：實(shí)數(shù)的取值范圍為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全稱量詞及全稱命題、含參不等式恒成立問題，屬簡(jiǎn)單題．三．解答題（共1小題）7．設(shè)命題，，命題，．若，都為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】分別求