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《充分條件與必要條件》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)研究實(shí)例抽象出充分條件與必要條件的概念,能利用充分條件與必要條件對(duì)具體的例子進(jìn)行分析和表述,在這個(gè)過(guò)程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)探索充分條件、必要條件與判定定理、性質(zhì)定理的關(guān)系,進(jìn)一步理解充分條件、必要條件,能進(jìn)行充分條件、必要條件的判斷與應(yīng)用,在這個(gè)過(guò)程提升邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):充分條件、必要條件的意義;教學(xué)難點(diǎn):必要條件的意義.課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程(一)整體概覽問(wèn)題1:閱讀課本第17頁(yè)第一段,回答下列問(wèn)題:(1)本節(jié)將要研究哪些內(nèi)容?(2)本節(jié)要研究的對(duì)象在高中數(shù)學(xué)中的地位是怎樣的?(3)并試著依據(jù)一個(gè)新概念的學(xué)習(xí)過(guò)程,給出你的研究思路與方法.師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,回答問(wèn)題,生生、師生之間互相訂正和補(bǔ)充.預(yù)設(shè)的答案:對(duì)于問(wèn)題1(1),學(xué)生應(yīng)該能夠完整地回答出:本節(jié)將要研究“若p,則q”形式的命題中p和q的關(guān)系,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的三個(gè)常用的邏輯用語(yǔ)——充分條件、必要條件和充要條件.對(duì)于問(wèn)題1(2)和(3)估計(jì)學(xué)生會(huì)感到棘手.由教師講解.(2)三個(gè)常用邏輯用語(yǔ)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分,是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具,是邏輯思維的基本語(yǔ)言.(3)新概念的學(xué)習(xí)過(guò)程:具體實(shí)例——定義——表示——辨析——應(yīng)用猜想:具體實(shí)例——什么是充分條件、必要條件和充要條件?——如何表示?——如何判斷?——如何應(yīng)用?設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)閱讀,首先讓學(xué)生對(duì)本節(jié)的研究?jī)?nèi)容、研究過(guò)程有個(gè)概覽,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性;明確三種常用邏輯用語(yǔ)學(xué)習(xí)的必要性;通過(guò)類(lèi)比所學(xué)知識(shí),猜想新知識(shí)的研究思路和過(guò)程,有利于提高學(xué)生研究問(wèn)題的能力和抽象概括能力.(二)問(wèn)題導(dǎo)入問(wèn)題2:在初中,我們學(xué)習(xí)過(guò)命題,什么是命題?什么是真命題和假命題?你能舉一些例子嗎?并試著將你的例子改寫(xiě)成“若p,則q”的形式.師生活動(dòng):根據(jù)學(xué)生列舉的例子,教師和學(xué)生一起回顧初中學(xué)習(xí)的命題的相關(guān)知識(shí):命題的概念、命題真假及其判斷等,并引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到本節(jié)主要討論的命題形式是:“若p,則q”,通過(guò)改寫(xiě)列舉的命題,認(rèn)識(shí)條件和結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)初中學(xué)過(guò)的關(guān)于命題、真命題、假命題的概念,認(rèn)識(shí)命題的條件和結(jié)論,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.引語(yǔ):本節(jié)我們主要討論“若p,則q”這種形式的命題,并進(jìn)一步考察命題中p和q的關(guān)系,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一些常用的邏輯用語(yǔ).(三)新知探究1.形成概念問(wèn)題3:下列“若p,則q”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?(1)若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)平行四邊形是菱形;(2)若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等,則這兩個(gè)三角形全等;(3)若,則x=1;(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l,則a//b.師生活動(dòng):學(xué)生判斷命題(1)—(4)的真假,并得到命題(1)(4)為真命題,命題(2)(3)為假命題.教師追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生將具體結(jié)論一般化.追問(wèn)1:關(guān)于命題(1)和命題(4),由條件p通過(guò)推理可以得到結(jié)論q,所以它們是真命題.對(duì)于一般的“若p,則q”形式的命題,如果由p通過(guò)推理可以得到q,那么這個(gè)命題為真命題嗎?反過(guò)來(lái),如果這個(gè)命題是真命題,那么由p通過(guò)推理一定可以得到q嗎?追問(wèn)2:關(guān)于命題(2)和命題(3),由條件p通過(guò)推理不能得到結(jié)論q,所以它們是假命題.對(duì)于一般的“若p,則q”形式的命題,如果由p通過(guò)推理不能得到q,那么這個(gè)命題為假命題嗎?反過(guò)來(lái),如果這個(gè)命題是假命題,那么由p通過(guò)推理一定不能得到q嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生梳理討論的結(jié)果,由教師講解或者學(xué)生閱讀課本獲得定義:一般地,“若p,則q”為真命題,就是指由p通過(guò)推理可以得到q.這時(shí),我們就說(shuō),由p可以推出q,記作.并且說(shuō),p是q的充分條件(sufficientcondition),q是p的必要條件(necessarycondition).如果“若p,則q”為假命題,那么由條件p不能推出結(jié)論q,記作pq.此時(shí),我們就說(shuō)p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.設(shè)計(jì)意圖:從學(xué)生熟悉的命題出發(fā),在判斷“若p,則q”形式命題真假的基礎(chǔ)上,明確“命題的真假”與“由p推出q”的關(guān)系,從而形成充分條件和必要條件的定義.3.辨析概念問(wèn)題4:根據(jù)定義,在上述命題(1)—(4)中,p是否為q的充分條件?q是否為p的必要條件?為什么?師生活動(dòng):學(xué)生可以解決這個(gè)問(wèn)題.答案略.追問(wèn)1:判斷p是否為q的充分條件,q是否為p的必要條件的依據(jù)和方法是什么?師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,展示交流,給出總結(jié)及解釋?zhuān)A(yù)設(shè)的答案:判斷充分(必要)條件的依據(jù)是:充分條件和必要條件的定義.具體方法是:命題法:判斷命題“若p,則q”的真假.設(shè)計(jì)意圖:利用定義解決問(wèn)題,形成方法.追問(wèn)2:對(duì)于命題(1)滿足,那么若q不成立,p成立嗎?請(qǐng)你解釋?zhuān)畬?duì)于命題(4)呢?一般地,當(dāng)時(shí),那么若q不成立,p成立嗎?你能據(jù)此說(shuō)明為什么此時(shí)稱(chēng)q為p的必要條件?師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,展示交流.預(yù)設(shè)的答案:p是q的充分條件,即p成立足夠推出q成立;q是p的必要條件,即如果q不成立,p一定不成立,所以q對(duì)于p成立而言是必要的.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)具體例子的辨析,學(xué)會(huì)判斷充分條件和必要條件的方法;借助具體例子,明確充分條件和必要條件的含義,突破理解必要條件這一難點(diǎn).例1下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;(2)若兩個(gè)三角形的三邊成比例,則這兩個(gè)三角形相似;(3)若四邊形為菱形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直;(4)若,則;(5)若,則;(6)若為無(wú)理數(shù),則為無(wú)理數(shù).追問(wèn)1:判斷p是q的充分條件的依據(jù)與方法分別是什么?(答案略.)師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成,要求寫(xiě)出判斷過(guò)程和結(jié)果,然后展示交流,教師幫助學(xué)生規(guī)范過(guò)程.預(yù)設(shè)的答案:解:(1)這是一條平行四邊形的判定定理,,所以p是q的充分條件.(2)這是一條相似三角形的判定定理,,所以p是q的充分條件.(3)這是一條菱形的判定定理,,所以p是q的充分條件.(4)由于,但,pq,所以p不是q的充分條件.(5)由等式的性質(zhì)知,,所以p是q的充分條件.(6)為無(wú)理數(shù),但為有理數(shù),pq,所以p不是q的充分條件.(4)除了用判斷命題的真假判斷充分條件之外,還可以用集合關(guān)系來(lái)判斷充分條件.對(duì)于命題“若p,則q”,集合,集合,若,則p是q的充分條件.解:方程的解集為,而,所以p不是q的充分條件.追問(wèn)2:命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件,即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎?如果不唯一,請(qǐng)你再寫(xiě)出幾個(gè)不同的充分條件.預(yù)設(shè)的答案:①若四邊形一組對(duì)邊平行且相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;②若四邊形兩條對(duì)角線互相平分,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;③若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;④若四邊形的兩組對(duì)邊分別平行,則這個(gè)四邊形是平行四邊形.……追問(wèn)3:根據(jù)上述分析,你認(rèn)為充分條件與判定定理之間有怎樣的關(guān)系?(答案:數(shù)學(xué)中的每個(gè)判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.)設(shè)計(jì)意圖:一是進(jìn)一步熟悉利用判斷命題真假來(lái)判定充分條件的方法,同時(shí)了解利用集合關(guān)系判斷充分條件的方法,比如(4);二是通過(guò)典型的數(shù)學(xué)命題,理解數(shù)學(xué)中的判定定理和充分條件的關(guān)系,進(jìn)一步深化對(duì)充分條件的理解.例2下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等;(2)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的三邊成比例;(3)若四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)四邊形為菱形;(4)若,則;(5)若,則;(6)若為無(wú)理數(shù),則為無(wú)理數(shù).追問(wèn)1:類(lèi)比例1如何完成例2?(答案略.)師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成,要求寫(xiě)出判斷過(guò)程和結(jié)果,然后展示交流,教師幫助學(xué)生規(guī)范過(guò)程.預(yù)設(shè)的答案:解:(1)這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理,,所以q是p的必要條件.(2)這是相似三角形的一條性質(zhì)定理,,所以q是p的必要條件.(3)對(duì)于箏形,對(duì)角線互相垂直,但它不是菱形,pq,所以q不是p的必要條件.(4)顯然,,所以q是p的必要條件.(5)當(dāng)c=0,結(jié)論不成立,pq,所以q不是p的必要條件.(6)為無(wú)理數(shù),但不全是有理數(shù),pq,所以q不是p的必要條件.追問(wèn):類(lèi)比例1,你能用集合法解答(4)嗎?用集合關(guān)系來(lái)判斷必要條件.對(duì)于命題“若p,則q”,集合,集合,若,則q是p的必要條件.解:方程的解集為,而,所以q是p的必要條件.追問(wèn)2:命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件,即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”.這樣的必要條件唯一嗎?如果不唯一,請(qǐng)你再寫(xiě)出幾個(gè)不同的必要條件.預(yù)設(shè)的答案:①若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等;②若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形兩條對(duì)角線互相平分;③若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等;④若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形兩組對(duì)邊分別平行.……追問(wèn)3:根據(jù)上述分析,你認(rèn)為必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系如何?(答案:數(shù)學(xué)中的每個(gè)性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.)設(shè)計(jì)意圖:一是進(jìn)一步熟悉利用判斷命題真假判定必要條件的方法,同時(shí)了解利用集合關(guān)系判斷必要條件的方法,比如(4);二是通過(guò)典型的數(shù)學(xué)命題,理解數(shù)學(xué)中的性質(zhì)定理和必要條件的關(guān)系,進(jìn)一步深化對(duì)必要條件的理解.3.應(yīng)用概念例3已知,p:,q:.圍;(2)圍.追問(wèn):對(duì)于(1),根據(jù)充分條件的定義,兩個(gè)條件與對(duì)應(yīng)的數(shù)集之間應(yīng)該有怎樣的關(guān)系?對(duì)于(2)呢?師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,然后討論交流,形成(1)的解題思路.然后學(xué)生獨(dú)立寫(xiě)出(1)的解答過(guò)程,并類(lèi)比(1)完成(2)的解答,展示交流,教師幫助學(xué)生規(guī)范過(guò)程.預(yù)設(shè)的答案:因?yàn)槭堑某浞謼l件,所以條件對(duì)應(yīng)的數(shù)集中的每個(gè)元素都應(yīng)該在條件對(duì)應(yīng)的數(shù)集中,所以,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知集合關(guān)系求參數(shù)范圍.解:(1)因?yàn)閜q因?yàn)閜q(四)歸納小結(jié)布置作業(yè)問(wèn)題5:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了充分條件和必要條件,充分條件和必要條件的含義分別是什么?對(duì)于“若p,則q”命題,判斷p是否為q的充分條件或者必要條件的方法有哪些?充分條件、必要條件與數(shù)學(xué)中的判定定理、性質(zhì)定理有什么關(guān)系?對(duì)照問(wèn)題1中給出的研究?jī)?nèi)容和思路,你有沒(méi)有需要補(bǔ)充的內(nèi)容?師生活動(dòng):師生一起總結(jié).預(yù)設(shè)的答案:充分條件和必要條件的含義:p是q的充分條件,即p成立足夠推出q成立;q是p的必要條件,即如果q不成立,p一定不成立,所以q對(duì)于p成立而言是必要的.對(duì)于“若p,則q”命題,判斷p是否為q的充分條件或必要條件的方法:命題法和集合法.(1)命題法:判斷命題“若p,則q”的真假,若其為真,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若其為假,則p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.(2)集合法:集合,集合,若,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若,則p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.?dāng)?shù)學(xué)中的每個(gè)判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.?dāng)?shù)學(xué)中的每個(gè)性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.研究?jī)?nèi)容及思路:在大量實(shí)例感知的基礎(chǔ)上,抽象出充分條件、必要條件的概念;然后依據(jù)定義尋找判斷充分條件、必要條件的方法;并利用新知重新認(rèn)識(shí)以前的一些知識(shí)(判定定理、性質(zhì)定理).設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)梳理本節(jié)課的內(nèi)容,讓學(xué)生進(jìn)一步明確充分條件、必要條件的含義以及它們?cè)跀?shù)學(xué)中的地位,同時(shí)進(jìn)一步梳理它們的研究思路.作業(yè)布置:教科書(shū)第20頁(yè)練習(xí)第1,2,3題.(五)目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.下列“若,則”形式的命題中,哪些命題中的是的充分條件?哪些命題中的是的必要條件?(1)若,則;(2)若,則;(3)若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形面積相等;(4)若,則集合中至少有一個(gè)為空集.設(shè)計(jì)意圖:考查充分條件與必要條件的判斷方法.2.(1)設(shè),則的一個(gè)必要條件是()A.
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