《高考風(fēng)向標(biāo)》年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 第2講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用精品課件 理

第2講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)__________；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_____________.單調(diào)遞增單調(diào)遞減

2．判別f(x0)是極大、極小值的方法

若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值．且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的______點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的______，f(x0)是_______．極大值極小值極小值)D1．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1是減函數(shù)的區(qū)間為(A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－∞，0) D．(0,2)2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時(shí)取得極值，則a＝()DA．2B．3C．4D．53．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在區(qū)間[0,3]上最大值與最小值分別()AA．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16A

解析：y′＝ex＋xex＋2，斜率k＝e0＋0＋2＝3，所以，y－1＝3x，即y＝3x＋1.考點(diǎn)1討論函數(shù)的單調(diào)性

例1：設(shè)函數(shù)

f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a、b的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

y＝3x＋15．曲線y＝xex＋2x＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為_________.解題思路：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值． 解析：(1)f′(x)＝3x2－3a， ∵曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，

(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)＞0， 函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)．

當(dāng)x∈(－∞，－a)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈(－a，a)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

∴此時(shí)x＝－a是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)．

本題出錯(cuò)最多的就是將(1)中結(jié)論a＝4用到(2)中．【互動(dòng)探究】

1．設(shè)函數(shù)f(x)＝xekx

(k≠0)． (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍． 考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值

例2：設(shè)函數(shù)

f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時(shí)取得極值． (1)求a、b的值； (2)若對(duì)于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，f′(x)>0.所以，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，則當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.因?yàn)閷?duì)于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，因此c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．【互動(dòng)探究】考點(diǎn)3構(gòu)造函數(shù)來(lái)來(lái)證明不等等式例3：已知函數(shù)f(x)是(0，，＋∞)上上的可導(dǎo)函函數(shù)，若xf′(x)>f(x)在x>0時(shí)恒恒成立．(2)求證證：當(dāng)x1>0，x2>0時(shí)，，有f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．所以函數(shù)g(x)＝因?yàn)閤f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0在在x>0時(shí)恒恒成立，f(x)x在(0，＋＋∞)上是是增函數(shù)．．(2)由(1)知函函數(shù)g(x)＝f(x)x在(0，＋＋∞)上是是增函數(shù)，，所以當(dāng)x1>0，x2>0時(shí)，，兩式相加得得f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．≤ln(x＋1)≤x.－1＝－x＋1【互動(dòng)探究究】3．已知函函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－x.(1)求函函數(shù)f(x)的單調(diào)遞遞減區(qū)間；；(2)若x＞－1，證證明：1－－1x＋1(1)解：函數(shù)f(x)的定義域域?yàn)?－1，＋∞)，f′(x)＝1x＋1x.由f′(x)＜0及及x＞－1，得得x＞0.所以當(dāng)x∈(0，＋＋∞)時(shí)，，f(x)是減函數(shù)數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞遞減區(qū)間是是(0，＋＋∞)．(2)證明：由(1)知知，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(0，＋＋∞)時(shí)，，f′(x)＜0.因此，當(dāng)x＞－1時(shí)時(shí)，f(x)≤f(0)，即即ln(x＋1)－x≤0，－1，－.x＋1所以以ln(x＋1)≤≤x.令g(x)＝＝ln(x＋1)＋＋1x＋1則g′(x)＝＝11x＋1(x＋1)＝2x(x2當(dāng)x∈(－－1,0)時(shí)，，g′(x)＜0；當(dāng)當(dāng)x∈(0，＋＋∞)時(shí)，，g′(x)＞0.所以當(dāng)當(dāng)x＞－1時(shí)時(shí)，g(x)≥g(0)，即ln(x＋1)＋1x＋1－1≥≥0，，ln(x＋1)≥1－1.綜上可可知，，若x＞－1，則則1－1x＋1≤ln(x＋1)≤x.錯(cuò)源：f′(x0)＝0是f(x0)為極值的必必要但不充充分條件例4：已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1時(shí)時(shí)有極值0，則m＝_______，，n＝________.誤解分析：：對(duì)f(x)為極值的的充要條件件理解不清清，導(dǎo)致出出現(xiàn)多解．正解：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由題意，f′(－1)＝3－6m＋n＝0，f(－1)＝＝－1＋3m－n＋m2＝0，即x＝－1不不是f(x)的極值點(diǎn)點(diǎn)，應(yīng)舍去去．故m＝2，n＝9.糾錯(cuò)反思：：f′(x)=0是f(x0)為極值的的必要但不不充分條件件,判斷x0不是極值點(diǎn)點(diǎn)需要檢查查x0側(cè)f′(x)的符號(hào).如如果左正右右負(fù)，那么么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極極大值；如如果左負(fù)右右正，那么么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小小值；如果果符號(hào)相同同，那么f(x0)不是函數(shù)數(shù)f(x)的極值.此題就沒有有討論在兩兩種情況下下，f(-1)是是不是為極極值.本題題說(shuō)明用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)數(shù)極值時(shí)一一定要判斷斷某函數(shù)值值是不是極極值，要檢驗(yàn)驗(yàn)相關(guān)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)號(hào).【互動(dòng)探究究】4．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)數(shù)，y＝f′(x)的圖像如如圖4－－)C2－1，則則y＝f(x)的圖像最最有可能的的是(圖4－2－1解析：由導(dǎo)函數(shù)的的圖像知，，導(dǎo)函數(shù)在在x＝0和x＝2時(shí)的的導(dǎo)函數(shù)值為為0，，故原來(lái)來(lái)的函數(shù)數(shù)y＝f(x)在x＝0和和x＝2時(shí)時(shí)取得極極值．當(dāng)x≤0或或x≥2時(shí)時(shí)，導(dǎo)函函數(shù)值為為正(或或0)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)時(shí)，導(dǎo)函函數(shù)值為負(fù)負(fù)，所以以當(dāng)x≤0或或x≥2時(shí)時(shí)函數(shù)y＝f(x)為增函函數(shù)，當(dāng)當(dāng)0＜x＜2時(shí)時(shí)，函數(shù)數(shù)y＝f(x)為減函函數(shù)，故故選項(xiàng)為為C.(1)證證明a>0；(2)若若z＝a＋2b，求z的取值范范圍．解析：f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.(1)由由函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極大值值，在x＝x2處取得極小值，知x1、x2是f′(x)＝0的兩兩個(gè)根．所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．當(dāng)x<x1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，，f′(x)>0，由x－x1<0，x－x2<0得a>0.(2)在題題設(shè)下，0<x1<1<x2<2等價(jià)價(jià)于圖4－2－21．求函數(shù)數(shù)的極值的的步驟：(1)確定定函數(shù)的定定義區(qū)間，，求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(2)求方方程f′(x)＝0的的根．(3)用函函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)為0的的點(diǎn)，順順次將函數(shù)數(shù)的定義區(qū)區(qū)間分成若若干小開區(qū)間間，并列成成表格．檢檢查f′(x)在方程根根左右的值值的符號(hào)，，如果左正右右負(fù)，那么么f(x)在這個(gè)根根處取得極極大值；如如果左負(fù)右右正，那么f(x)在這個(gè)根根處取得極極小值；如如果左右不不改變符號(hào)號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處處無(wú)極值．．2．求函數(shù)數(shù)最值的步步驟：(1)求出出f(x)在(a，b)上的的極值值．(2)求出出端點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)數(shù)值f(a)、f(b)．(3)比較較極值值和端端點(diǎn)值值，確確定最最大值值或最最小值值．1．(2010年年佛山山調(diào)研研)已已知函函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，，實(shí)數(shù)a、b為常數(shù)數(shù))．．(1)若a＝1，，b＝－1，求求函數(shù)數(shù)f(x)的極極值；；(2)若a＋b＝－2，討討論函函數(shù)f(x)的單單調(diào)性性．(1)求函函數(shù)f(x)為奇奇函數(shù)數(shù)的充充要條條件；；(2)若任任取a∈[0,4]，，b∈[0,3]，，求函函數(shù)f(x)在R上是增增函數(shù)數(shù)的概率率．所以f(x)為奇奇函數(shù)數(shù)．故f(x)為奇奇函數(shù)數(shù)的充充要條條件是是a＝1.(2)因?yàn)闉閒′(x)＝x2－2(a－1)