《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 數(shù)列求和課件

第三十講數(shù)列求和回歸課本1.公式法對于等差數(shù)列和等比數(shù)列,在求和時可直接套用它們的前n項和公式:①等差數(shù)列前n項和公式:Sn=na1+②等比數(shù)列前n項和公式:Sn=另外,還有一些常見的求和公式:(1)1+2+3+…+n=(2)1+3+5+…+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+…+n2=2.倒序相加法一個數(shù)列如果距首末兩項等距離的兩項和相等,那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法.如等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).3.錯位相減法如果當(dāng)數(shù)列的每一項可分解為兩個因式的乘積,各項的第一個因子成公差為d的等差數(shù)列,第二個因子成公比為q的等比數(shù)列,可將此數(shù)列前n項的和乘以公比q,然后錯項相減從而求出Sn.4.拆項分組法把不能直接求和的數(shù)列分解成幾個可以求和的數(shù)列,分別求和.5.裂項相消法把數(shù)列的每一項變?yōu)閮蓴?shù)之差,以便大部分項能“正”?“負”相消,只剩下有限的幾項.裂項時可直接從通項入手,并且要判斷清楚消項后余下哪些項,常用的裂項公式為:6.并項轉(zhuǎn)化法有時候把兩項并成一項考慮,也可以實現(xiàn)我們的轉(zhuǎn)化目的.通常適用于數(shù)列中各項的符號是正負間隔的情況.考點陪練答案:A2.已知an=(n∈N*),記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則使Sn>0的n的最小值值為()A.10B.11C.12D.13答案:B3.首項為2,公比為3的等比數(shù)數(shù)列,從第n項到第N項的和為為720,則n,N的值分別別為( )A.2,6B.2,7C.3,6D.3,7解析:由題意知知SN-Sn-1=720,代入得解得n=3,N=6,故選C.答案:C答案:B5.(2010·黃岡中學(xué)學(xué)月考題題)化簡Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的結(jié)果是是( )A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2C.2n-n-2D.2n+1-n-2解析:將Sn兩邊同時時乘以2,可以得到到:2Sn=2n+(n-1)××22+(n-2)××23+…+2×2n-1+2n,與Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1兩邊同時時相減可可得到2Sn-Sn=-n+(2+22+23+…+2n-1)+2n=-n++2n,∴Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.故選D.答案:D類型一公公式法法求和解題準備備:如果數(shù)列列是等差差數(shù)列或或等比數(shù)數(shù)列等特特殊數(shù)列列時,直接應(yīng)用用求和公公式求解解.[解]當(dāng)n為奇數(shù)時時,奇數(shù)項組組成以a1=1為首項,公差為12的等差數(shù)數(shù)列,偶數(shù)項組組成以a2=4為首項,公比為4的等比數(shù)數(shù)列.類型二分分組轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法求求和解題準備備:1.有一類數(shù)數(shù)列,既不是等等差數(shù)列列,也不是等等比數(shù)列列,但若把數(shù)數(shù)列的每每一項分分成多個個項或把把數(shù)列的的項重新新組合,就能轉(zhuǎn)化化為等差差數(shù)列或或等比數(shù)數(shù)列.從而可以以利用等等差、等等比數(shù)列列的求和和公式解解決.這種求和和方法叫叫分組轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法.2.此類問題題求解的的關(guān)鍵是是要分析析研究數(shù)數(shù)列的通通項公式式.[反思感悟悟]有一類數(shù)數(shù)列,既不是等等差數(shù)列列,也不是等等比數(shù)列列.若將這類類數(shù)列適適當(dāng)拆開開,可分為幾幾個等差差?等比或常常見的數(shù)數(shù)列,即能分別別求和,然后再合合并.類型三裂裂項相相消法求求和解題準備備:1.裂項相消消法是分分解與組組合思想想在數(shù)列列求和中中的具體體應(yīng)用,其實質(zhì)是是將數(shù)列列中的某某些項分分解,然后重新新組合,使之能消消去一些些項,最終達到到求和的的目的.2.數(shù)列中的的每一項項均能分分裂成一一正一負負兩項,這是裂項項相消法法使用的的前提,一般地,形如(其中{an}是等差數(shù)數(shù)列)的數(shù)列可可嘗試采采用此法法.常用的裂裂項技巧巧有:[分析]準確寫出出an的表達式式,然后用裂裂項相消消法.類型四錯錯位相相減法求求和解題準備備:錯位相減減法是推推導(dǎo)等比比數(shù)列的的前n項和公式式時所用用的方法法,也是數(shù)列列求和中中經(jīng)常用用到的一一種方法法.【典例4】已知數(shù)列列{an}是等差數(shù)數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求數(shù)列{an}的通項公公式;(2)令bn=anxn(x∈R).求數(shù)列{bn}的前n項和公式式.[分析]用錯位相相減法解解(2).[解](1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d,則a1+a2+a3=3a1+3d=12,∵a1=2,∴∴d=2,∴an=2n.(2)令Sn=b1+b2+…+bn,則由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn.①xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1.②當(dāng)x≠1時,①減去②,得(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1=-2nxn+1,∴Sn=錯源一思思維定定勢,數(shù)錯項數(shù)數(shù)[剖析]本題的錯錯誤原因因在于乘乘公比錯錯位相減減后,中間是n-1項求和,錯當(dāng)成了了n項和,對相減后后的結(jié)構(gòu)構(gòu)認識不不清楚或或認識模模糊.錯源二忽忽略基基本“特征”【典例2】已知兩個個等差數(shù)數(shù)列{an}和{bn}的前n項和為Sn和Tn,且對一切切正整數(shù)數(shù)n都有試試求的的值.[錯解]設(shè)Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,則a9=S9-S8=(5××9+3)k-(5××8+3)k=5k.b9=T9-T8=(2××9+7)k-(2××8+7)k=2k.因此[剖析]錯解忽略略了等差差數(shù)列前前n項和公式式的基本本“特征”.其實,等差數(shù)列列的前n項和是關(guān)關(guān)于n的二次函函數(shù),且常數(shù)項項為零.[正解]設(shè)Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么,a9=S9-S8=(5××9+3)×9k-(5×8+3)×8k=88k,b9=T9-T8=(2××9+7)×9k-(2×8+7)×8k=41k,因此技法一分分類討討論思想想【典例1】定義“等和數(shù)列列”:在一個數(shù)數(shù)列中,如果每一一項與它它的后一一項的和和都為同同一個常常數(shù),那么這個個數(shù)列叫叫做等和和數(shù)列,這個常數(shù)數(shù)叫做該該數(shù)列的的公和.已知數(shù)列列{an}是等和數(shù)數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為________;這個數(shù)列列的前n項和Sn的計算公公式為________.[解題切入入點]本題重點點考查同同學(xué)們在在新情境境下的獨獨立分析析問題和和解決問問題的能能力.[解析]由定義知知a1+a2=a2+a3=…=a2k-1+a2k=a2k+a2k+1=5.且a1=2,所以a1=a3=…=a2k+1=2,a2=a4=…=a2k=3.所以a18=3.技法二 函數(shù)數(shù)思想【典例2】若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),則此數(shù)列的通通項公式為________;數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的的項是第________項.[解析]當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11.①當(dāng)n=1時,S1=a1=-9,也滿足①式.所以an=2n-11.nan=(2n-11)n=2n2-11n.所以n=時,nan最小.由于n∈N*,所以n=3時,使得nan最小.故通項公式為為an=2n-11,數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的的項是第3項.[答