《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件

第九講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)回歸課本(n∈N*);3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)a>0,b>0,則aras=ar+s(r,s∈Q);(ar)s=ars(r,s∈Q);(ab)r=arbr(r∈Q).4.指數(shù)函數(shù)的定義形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).5.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象定義域(-∞,+∞)值域(0,+∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x<0時(shí),y>1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)[ZB)]考點(diǎn)陪練答案案:D答案案:D答案案:C答案案:D5.(2010·山東東青青島島二二模模)若y=e|x|(x∈∈[a,b])的值值域域?yàn)闉閇1,e2],則點(diǎn)點(diǎn)(a,b)的軌軌跡跡是是圖圖中中的的()A.線段段BC和OCB.線段段AB和BCC.線段段AB和OAD.線段段OA和OC解析析:據(jù)題題意意當(dāng)當(dāng)a=-2,0≤≤b≤≤2時(shí),函數(shù)數(shù)的的值值域域符符合合條條件件,其軌軌跡跡為為圖圖中中線線段段AB,當(dāng)-2≤≤a≤≤0,b=2時(shí),函數(shù)數(shù)值值域域符符合合條條件件,此時(shí)其軌軌跡為圖圖中線段段BC,故選B.答案:B類型一指指數(shù)冪冪的化簡(jiǎn)簡(jiǎn)與求值值解題準(zhǔn)備備:解決此類類問(wèn)題的的關(guān)鍵是是利用冪冪指式的的運(yùn)算性性質(zhì),將根式與與指數(shù)冪冪互化.一般地,進(jìn)行指數(shù)數(shù)冪的運(yùn)運(yùn)算時(shí),化負(fù)指數(shù)數(shù)為正指指數(shù),化根式為為分?jǐn)?shù)指指數(shù)冪,便于利用用冪的運(yùn)運(yùn)算性質(zhì)質(zhì),化繁為簡(jiǎn)簡(jiǎn).對(duì)于計(jì)算算結(jié)果,如果題目目以根式式形式給給出,則結(jié)果用用根式的的形式表表示,如果題目目以分?jǐn)?shù)數(shù)指數(shù)冪冪形式給給出,則結(jié)果用用分?jǐn)?shù)指指數(shù)冪的的形式表表示.①有理數(shù)指指數(shù)冪的的運(yùn)算性性質(zhì)中,其底數(shù)都都大于0,否則不能能用性質(zhì)質(zhì)來(lái)運(yùn)算算.②結(jié)果不能能同時(shí)含含有根號(hào)號(hào)和分?jǐn)?shù)數(shù)指數(shù),也不能既既有分母母又含有有負(fù)指數(shù)數(shù).類型二指指數(shù)函函數(shù)的圖圖象解題準(zhǔn)備備:指數(shù)函數(shù)數(shù)圖象的的特點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)數(shù)在同一一直角坐坐標(biāo)系中中的圖象象的相對(duì)對(duì)位置與與底數(shù)大大小的關(guān)關(guān)系如圖圖所示,則0<c<d<1<a<b.在y軸右側(cè),圖象從上上到下相相應(yīng)的底底數(shù)由大大變小;在y軸左側(cè),圖象從下下到上相相應(yīng)的底底數(shù)由大大變小;即無(wú)論在在y軸的左側(cè)側(cè)還是右右側(cè),底數(shù)隨逆逆時(shí)針?lè)椒较蜃兇蟠?[類型三指指數(shù)函函數(shù)的性性質(zhì)解題準(zhǔn)備備:(1)復(fù)合函數(shù)數(shù)問(wèn)題,應(yīng)細(xì)致分分析由哪哪些基本本函數(shù)復(fù)復(fù)合而成成,討論此類類函數(shù)的的單調(diào)性性應(yīng)分層層逐一求求解;(2)換元法,通過(guò)換元元將復(fù)雜雜的問(wèn)題題簡(jiǎn)單化化,求解過(guò)程程應(yīng)注意意中間變變量的取取值范圍圍及轉(zhuǎn)化化的等價(jià)價(jià)性.[分析]求定義域域與值域域時(shí)可根根據(jù)指數(shù)數(shù)函數(shù)的的概念和和性質(zhì),結(jié)合函數(shù)數(shù)自身有有意義去去求,對(duì)復(fù)合函函數(shù)的單單調(diào)區(qū)間間通常利利用復(fù)合合函數(shù)的的單調(diào)性性,“同則增,異則減””的原則則.(2)∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,則t>0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t>0,∴當(dāng)t=1時(shí),ymin=-6,故函數(shù)f(x)的值域是[-6,+∞).由于t=2x是增函數(shù),∴要求f(x)的增區(qū)間實(shí)際上是求f(t)的增區(qū)間,求f(x)的減區(qū)間實(shí)際上是求f(t)的減區(qū)間.∵f(t)在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增.故由t=2x≥1得x≥0;由t=2x≤1得x≤0,∴f(x)的增區(qū)間間是[0,+∞),減區(qū)間是是(-∞,0].的單調(diào)區(qū)區(qū)間時(shí)易易忽視定定義域.事實(shí)上,函數(shù)的單調(diào)性性區(qū)間是其定定義域的子集集.涉及復(fù)合函數(shù)數(shù)單調(diào)性問(wèn)題題,首先應(yīng)弄清函函數(shù)是由哪些些基本函數(shù)復(fù)復(fù)合得到的,求出復(fù)合函數(shù)數(shù)的定義域,然后分層逐一一求解內(nèi)層函函數(shù)的單調(diào)區(qū)區(qū)間和外層函函數(shù)的單調(diào)區(qū)區(qū)間.利用定義證明明時(shí)可分層比比較,對(duì)于內(nèi)外層函函數(shù),注意“同增異異減”.類型四 指數(shù)數(shù)函數(shù)的綜合合問(wèn)題解題準(zhǔn)備:指數(shù)函數(shù)是一一類重要函數(shù)數(shù),與其他知識(shí)綜綜合是高考考考查的熱點(diǎn).解決這類問(wèn)題題的關(guān)鍵是熟熟練掌握指數(shù)數(shù)函數(shù)的圖象象和性質(zhì),并注意分類討討論和等價(jià)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思思想和方法.[分析]先研究函數(shù)定定義域,再依照奇偶函函數(shù)的定義判判斷奇偶性;對(duì)于單調(diào)性,可結(jié)合指數(shù)函函數(shù)的單調(diào)性性進(jìn)行分析;對(duì)于恒成立問(wèn)問(wèn)題,則可借助單調(diào)調(diào)性,求出f(x)的最值,再求解b的范圍.(2)當(dāng)a>1時(shí),a2-1>0,y=ax為增函數(shù),y=a-x為減函數(shù),從而y=ax-a-x為增函數(shù),所以f(x)為增函數(shù).當(dāng)0<a<1時(shí),a2-1<0,y=ax為減函數(shù),y=a-x為增函數(shù),從而y=ax-a-x為減函數(shù).所以f(x)為增函數(shù).故當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),f(x)在定義域內(nèi)單單調(diào)遞增.[反思感悟]判斷函數(shù)的奇奇偶性時(shí)必須須先研究函數(shù)數(shù)的定義域,而研究函數(shù)的的單調(diào)性時(shí),可以在已知的的常見(jiàn)函數(shù)的的單調(diào)性的基基礎(chǔ)上進(jìn)行討討論,對(duì)于恒成立問(wèn)問(wèn)題,一般都會(huì)與與函數(shù)的最最值有關(guān),通過(guò)分離參參數(shù),求出函數(shù)的的最值,從而可得到到參數(shù)的取取值范圍.錯(cuò)源一忽忽視換元后后新元的取取值范圍[剖析]上述解法錯(cuò)錯(cuò)誤的原因因在于忽視視了換元后后新元t的范圍.事實(shí)上,新元t∈(0,+∞).[評(píng)析]換元法不管管在什么情情況下使用用,都必須要注注意確定新新元的范圍圍,因?yàn)樗菗Q換元后的新新函數(shù)的定定義域.錯(cuò)源二忽忽視對(duì)參數(shù)數(shù)的分類討討論造成漏漏解【典例2】如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值值是14,試求a的值.[剖析]本題的錯(cuò)解解在于忽視視了對(duì)參數(shù)數(shù)a的討論,誤認(rèn)為a>1.當(dāng)指數(shù)函數(shù)數(shù)和對(duì)數(shù)函函數(shù)的底數(shù)數(shù)含有參數(shù)數(shù)時(shí),要先對(duì)參數(shù)數(shù)進(jìn)行討論論,確定單調(diào)性性,進(jìn)而解決問(wèn)問(wèn)題.[正解]設(shè)t=ax,則y=t2+2t-1=(t+1)2-2.當(dāng)a>1時(shí),t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍);當(dāng)0<a<1時(shí),t∈[a,a-1],ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,解得a=或a=(舍).故所求a的值為3或.技法一快快速解題(構(gòu)造函數(shù))【典例1】已知x,y是實(shí)數(shù),且3x+5y>3-y+5-x,則下列式子子成立的是是( )A.x+y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x-y>0[答案]A技法二四四種策略比比較指數(shù)大大小一?若底數(shù)相同同,則可用單調(diào)調(diào)性比較【典例2】若0<a<1,則a,aa,aaa大小順序是是________.[解析]因?yàn)閒(x)=ax(0<a<1)在x∈R上是減函數(shù)數(shù),又0<a<1,所以a0>aa>a1,所以aa0<aaa<aa1,即a<aaa<aa.[答案]a<aaa<aa二?若指數(shù)相同同,則可用圖象象比較【典例3】比較0.7a與0.8a的大小.[解]設(shè)函數(shù)y=0.7x與y=0.8x,則兩個(gè)函數(shù)數(shù)的圖象關(guān)關(guān)系如圖.當(dāng)x=a≥0時(shí),0.8a≥0.7a;當(dāng)x=a<0時(shí),0.8a<0.7a.[方法與技巧巧]對(duì)于不同底底而同指數(shù)數(shù)的指數(shù)值值的大小的的比較,利用圖象法法求解快捷捷而準(zhǔn)確.三?若底數(shù)與指指數(shù)均不同同,則可用中間間值1【典例4】比較30.4與0.43的大小.[解]因?yàn)閥=3x是增函數(shù),所以30.4>30=1,又y=0.4x是減函數(shù),所以