《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 平面向量的應(yīng)用課件

第二十六講平面向量的應(yīng)用回歸課本1.向量應(yīng)用的常用結(jié)論(1)兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)表示:a⊥b?a·b=0.坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)表示:若a∥b,b≠0,則a=λb.坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2),即或x1y2-x2y1=0.(3)夾角公式cosθ=

(0°≤θ≤180°).(4)模長公式|a|=

(a=(x,y)).(5)數(shù)量積性質(zhì)|a?b|≤|a|?|b|.2.向量應(yīng)用的分類概述(1)應(yīng)用平面向量解決函數(shù)與不等式的問題,是以函數(shù)和不等式為背景的一種向量描述,它需要掌握向量的概念及基本運(yùn)算,并能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合適的向量,利用向量的“數(shù)”?“形”兩重性解決問題.(2)平面向量與三角函數(shù)的整合,仍然是以三角題型為背景的一種向量描述,它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解答,三角知識(shí)是考查的主體.(3)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用,是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述,它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題,進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來解答,坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體.(4)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用,是以平面幾何中的基本圖形(三角形?平行四邊形?菱形等)為背景,重點(diǎn)考查平面向量的幾何運(yùn)算(三角形法則?平行四邊形法則)和幾何圖形的基本性質(zhì).(5)平面向量在物理力學(xué)等實(shí)際問題中的應(yīng)用,是以實(shí)際問題為背景,考查學(xué)科知識(shí)的綜合及向量的方法.注意:(1)在解決三角形形狀問題時(shí),回答要全面?準(zhǔn)確,處理四邊形問題時(shí),要根據(jù)平行四邊形或矩形?菱形?正方形及梯形的性質(zhì)處理.(2)用向量處理物理問題時(shí),一般情況下應(yīng)畫出幾何圖形,結(jié)合向量運(yùn)算與物理實(shí)際進(jìn)行解決.考點(diǎn)陪練答案:B答案案:D答案案:A4.若直直線線2x-y+c=0按向向量量a=(1,-1)平移移后后與與圓圓x2+y2=5相切切,則c的值值為為()A.8或-2B.6或-4C.4或-6D.2或-8解析析:直線線2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移移后后得得直直線線2(x-1)-(y+1)+c=0,即2x-y-3+c=0,由d=r,得得得c=8或-2.答案案:A5.已知知等等差差數(shù)數(shù)列列{an}的前前n項(xiàng)和和為為Sn,若a2+a2009,且A??B??C三點(diǎn)點(diǎn)共共線線(該直線不過點(diǎn)點(diǎn)O),則S2010等于()A.1005 B.1010C.2010 D.2015解析:由題意知A?B?C三點(diǎn)共線,則a2+a2009=1.∴S2010==1005×1=1005.故選A.答案:A類型一 利用用向量解決平平面幾何問題題解題準(zhǔn)備:一般情況下,用向量解決平平面幾何問題題,要用不共線的的向量表示題題目所涉及的的所有向量,再通過向量的的運(yùn)算法則和和性質(zhì)解決問問題.用向量方法解解決平面幾何何問題的“三步曲”:①建立平面幾何何與向量的聯(lián)聯(lián)系,用向量表示問問題中涉及的的幾何元素,將平面幾何問問題轉(zhuǎn)化為向向量問題;②通過運(yùn)算,研究幾何元素素之間的關(guān)系系,如距離、夾角角等問題;③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【典例1】如圖,正方形OABC兩邊AB?BC的中點(diǎn)分別為為D和E,求∠DOE的余弦值.[分析]把∠DOE轉(zhuǎn)化為向量夾夾角.解法二:如圖建立直角角坐標(biāo)系,設(shè)A(2,0),C(0,2),則D(2,1),E(1,2).[反思感悟]利用向量解幾幾何題,關(guān)鍵是將有關(guān)關(guān)線段設(shè)為向向量,不同的設(shè)法可可出現(xiàn)不同的的解法;或者建立平面面直角坐標(biāo)系系,用坐標(biāo)法解之之.利用向量解平平面幾何有時(shí)時(shí)特別方便,但要注意一點(diǎn)點(diǎn),不宜搞得過難難,因?yàn)楦呖荚谶@這方面要求不不高.類型二 向量量在解析幾何何的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:向量與解析幾幾何結(jié)合的綜綜合題是高考考命題的熱點(diǎn)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是是正確把握向向量與坐標(biāo)之之間的轉(zhuǎn)化和和條件的運(yùn)用用.常見技巧有兩兩個(gè):一是以向量的的運(yùn)算為切入入口;二是結(jié)合向量量的幾何意義義及曲線的有有關(guān)定義作轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化.【典例2】在平面直角坐坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)的的距離之之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A,B兩點(diǎn).(1)寫出C的方程;(2)若求求k的值;(3)若點(diǎn)A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時(shí),恒有[分析](1)由點(diǎn)P滿足的條件列列出等式,化簡可得C的方程;(2)由這這是解題題的突破口;(3)證明的關(guān)鍵是是寫出再再結(jié)結(jié)合題的條件件即可求證.[解](1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可可知,點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn),長半軸為2的橢圓.它的短半軸故曲線C的方程為x2+類型三 向量量在物理中的的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:用向量知識(shí)研研究物理問題題的基本思想想和方法是:(1)認(rèn)真分析物理理現(xiàn)象,深刻把握物理理量之間的相相互關(guān)系;(2)通過抽象?概括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為與之相相關(guān)的向量問問題;(3)利用向量知識(shí)識(shí)解決這個(gè)向向量問題,并獲得這個(gè)向向量的解;(4)利用這個(gè)結(jié)果果,對(duì)原物理現(xiàn)象象作出合理解解釋.即用向量知識(shí)識(shí)圓滿解決物物理問題.【典例3】一條河的兩岸岸平行,河寬為dkm,一艘船從A處出發(fā)航行到到對(duì)岸,已知船航行的的速度為|v1|km/h,水流速度為|v2|km/h.要使船抵達(dá)B的上游C處且BC=dkm,若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,則用時(shí)多少?[解]作出位移平行行四邊形AGCF,如圖所示,則CF=AG=|tv2|,在Rt△ABF中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式,得84t2-16t-8=0,解得t≈0.418(h).類型四 向量量在三角形中中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:平面向量與解解三角形的綜綜合題是高考考中的一個(gè)熱熱點(diǎn).其解題的基本本思路是:(1)在這些問題中中,平面向量實(shí)際際上主要呈現(xiàn)現(xiàn)為敘述問題題的一種語言言或者工具,其考查要求并并不高,解題時(shí)要綜合合利用平面向向量的幾何意意義等將題中中的條件翻譯譯成簡單的數(shù)數(shù)學(xué)問題.(2)在解題時(shí),既要考慮三角角形中的邊角角關(guān)系性質(zhì)的的應(yīng)用;又要考慮向量量的工具性作作用,如利用向量的的模與數(shù)量積積轉(zhuǎn)化邊長與與夾角問題;還要注意三角角形中邊角的的向量關(guān)系式式的表示形式式.[反思感悟]三角形的三邊邊可與三個(gè)向向量對(duì)應(yīng),這樣就可以利利用向量的知知識(shí)來解三角角形了,解決此類問題題要注意內(nèi)角角與向量的夾夾角之間的聯(lián)聯(lián)系與區(qū)別,還要注意向量量的數(shù)量積與與三角形面積積公式之間關(guān)關(guān)系的應(yīng)用.類型五 向量量在函數(shù)不等等式中的應(yīng)用用解題準(zhǔn)備:借助向量的坐坐標(biāo)表示,將已知條件實(shí)實(shí)數(shù)化并轉(zhuǎn)化化為函數(shù)問題題,利用函數(shù)的性性質(zhì)解之.向量主要是通通過模與不等等式聯(lián)系起來來,常用的工具有有均值不等式式及|a·b|≤|a|·|b|.【典例5】設(shè)0<|a|≤≤2且函數(shù)f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值為0,最小值為-4,且a與b的夾角為45°,求|a+b|.[分析]由于已知<a,b>=45°,故可求出|a|、|b|后再求|a+b|.[反思感悟]由于已知f(x)的最值,故可結(jié)合二次次函數(shù)的最值值確定|a|與|b|的大小,再結(jié)合<a,b>=45°,可求出|a+b|.本題充分體現(xiàn)現(xiàn)了函數(shù)與不不等式思想在在向量中的應(yīng)應(yīng)用.錯(cuò)源一 錯(cuò)誤誤地認(rèn)為|a?b|=|a||b|【典例1】已知向量a,b,試比較|a?b|與|a||b|的大小.[錯(cuò)解]|a?b|=|a||b|.[剖析]設(shè)向量a與b的夾角為θ.則a?b=|a||b|cosθ.(1)當(dāng)a⊥b時(shí),θ=90°°,a?b=0,所以|a?b|=0,但|a||b|>0,故有|a?b|<|a||b|;(2)當(dāng)a與b同向或反向時(shí)時(shí),cos0°°=1,cos180°°=-1,有|a?b|=|a||b|;(3)當(dāng)夾角θ為銳角或鈍角角時(shí),|a?b|=||a||b|cosθ|,|cosθ|<1,故有|a?b|<|a||b|.[正解]綜合上述可知知,|a?b|≤|a||b|.錯(cuò)源二“共線”運(yùn)用出錯(cuò)【典例2】如圖,半圓的直徑AB=2,O為圓心,C是半圓上不同同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑C上的動(dòng)點(diǎn),則的的最小小值是________.[剖析]本題的錯(cuò)誤在在于忽視向量量的方向,導(dǎo)致了計(jì)算上上的失誤.向量雖雖然共共線,但其方向相反反,所以向量運(yùn)算算時(shí),一定要看清方方向.技法一 整體體思想[解題切入點(diǎn)]解答本題的關(guān)關(guān)鍵是要結(jié)合合圖形,利用向量的三三角形法則找找出向量之間間的關(guān)系;或建立適當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)系,利用向量的坐坐標(biāo)形式來解解答.[解]以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊