《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 兩直線(xiàn)的位置關(guān)系課件

第三十八講兩直線(xiàn)的位置關(guān)系回歸課本1.兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定(1)兩條直線(xiàn)平行對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.特別地,當(dāng)直線(xiàn)l1、l2的斜率都不存在時(shí),l1與l2的關(guān)系為平行.(2)兩條直線(xiàn)垂直如果兩條直線(xiàn)l1,l2的斜率存在,分別設(shè)為k1,k2,則l1⊥l2?k1·k2=-1.一般地:若直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),直線(xiàn)l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,l1與l2重合?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).

2.三種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式

特別地,原點(diǎn)(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離點(diǎn)P0(x0,y0)到直線(xiàn)l:Ax+By+C=0的距離(3)兩條平行線(xiàn)的距離 兩條平行線(xiàn)Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離考點(diǎn)陪練1.已知兩條直線(xiàn)y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于()A.2 B.1C.0 D.-1解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D2.已知兩直線(xiàn)l1:x+ysinθ-1=0,l2:2xsinθ+y+1=0,若l1∥l2,則θ=________.解析:當(dāng)sinθ=0時(shí),不合題意.當(dāng)sinθ≠0時(shí),=2sinθ,∴sinθ=∴θ=kπ±,k∈Z.答案:kπ±

,k∈Z3.過(guò)點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程為()A.x+2y-5=0 B.3x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0解析:所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直時(shí)滿(mǎn)足條件,此時(shí)kOA=2,故所求直線(xiàn)的斜率為 所以直線(xiàn)方程為 即x+2y-5=0.答案:A4.已知P1(x1,y1)是直線(xiàn)l:f(x,y)=0上的一點(diǎn),P2(x2,y2)是直線(xiàn)l外一點(diǎn),由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直線(xiàn)與直線(xiàn)l的位置關(guān)系是()A.互相重合 B.互相平行C.互相垂直 D.互相斜交答案:B5.將直線(xiàn)l:x+2y-1=0向左平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位后得到直線(xiàn)l′,則直線(xiàn)l與l′的距離為()答案:B類(lèi)型一兩兩條直線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系系的判定和和應(yīng)用解題準(zhǔn)備:判斷兩條直直線(xiàn)平行或或垂直時(shí),往往從兩條條直線(xiàn)斜率率間的關(guān)系系入手加以以判斷,當(dāng)直線(xiàn)方程程中含有字字母系數(shù)時(shí)時(shí),要考慮斜率率不存在的的特殊情況況.判斷兩直線(xiàn)線(xiàn)垂直時(shí),若用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0可不用分類(lèi)類(lèi)討論,但在兩直線(xiàn)線(xiàn)平行的判判斷中,既要看斜率率,又要看截距距.【典例1】已知直線(xiàn)l1:ax+2y+6=0和直線(xiàn)l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),求a的值.[分析]可以把直線(xiàn)線(xiàn)化成斜截截式,運(yùn)用斜率或或截距的數(shù)數(shù)量關(guān)系來(lái)來(lái)判斷求解解,但由于直線(xiàn)線(xiàn)的斜率可可能不存在在,就必須進(jìn)行行分類(lèi)討論論;也可以運(yùn)用用一般式方方程中的關(guān)關(guān)系來(lái)判斷斷或求解,這樣可以避避免討論.[反思感悟](1)直線(xiàn)l1:y=k1x+b1,直線(xiàn)l2:y=k2x+b2,“l(fā)1∥l2?k1=k2且b1≠b2”的前提條件件是l1,l2的斜率都存存在,若不能確定定斜率的存存在性,應(yīng)對(duì)其進(jìn)行行分類(lèi)討論論:當(dāng)l1,l2中有一條存存在斜率,而另一條不不存在斜率率時(shí),l1與l2不平行;當(dāng)l1,l2的斜率都不不存在(l1與l2不重合)時(shí),l1∥l2;當(dāng)l1,l2均有斜率且且k1=k2,b1≠b2時(shí),有l(wèi)1∥l2.為避免分類(lèi)類(lèi)的討論,可采用直線(xiàn)線(xiàn)方程的一一般式,利用一般式式方程中的的“系數(shù)關(guān)關(guān)系”的形形式來(lái)判斷斷兩直線(xiàn)是是否平行,如本例解法法二.(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),可分斜率不不存在與斜斜率存在,且k1·k2=-1解決問(wèn)題,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分類(lèi)類(lèi)討論.類(lèi)型二距距離問(wèn)題3.點(diǎn)到幾種特特殊直線(xiàn)的的距離:(1)點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|.(2)點(diǎn)P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|.(3)點(diǎn)P(x0,y0)到與x軸平行的直直線(xiàn)y=a的距離d=|y0-a|.(4)點(diǎn)P(x0,y0)到與y軸平行的直直線(xiàn)x=b的距離d=|x0-b|.【典例2】?jī)蓷l互相平平行的直線(xiàn)線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A(6,2),B(-3,-1),并且各自繞繞著A,B旋轉(zhuǎn),如果兩條平平行直線(xiàn)間間的距離為為d.求:(1)d的變化范圍圍;(2)當(dāng)d取最大值時(shí)時(shí),兩條直線(xiàn)的的方程.[解](1)解法一:①當(dāng)兩條直線(xiàn)線(xiàn)的斜率都都不存在時(shí)時(shí),即兩直線(xiàn)分分別為x=6和x=-3,則它們之間間的距離為為9.②當(dāng)兩條直線(xiàn)線(xiàn)的斜率存存在時(shí),設(shè)這兩條直直線(xiàn)方程為為l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0.∴即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤且d≠9.綜合①②可可知,所求的d的變化范圍圍為解法二:如圖所示,顯然有0<d≤|AB|.(2)由圖可知,當(dāng)d取最大值時(shí)時(shí),兩直線(xiàn)垂直直于AB.則∴所求的直直線(xiàn)的斜率率為-3.故所求的直直線(xiàn)方程分分別為y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.類(lèi)型三交交點(diǎn)及直線(xiàn)線(xiàn)系問(wèn)題解題準(zhǔn)備:符合特定條條件的某些些直線(xiàn)構(gòu)成成一個(gè)直線(xiàn)線(xiàn)系,常見(jiàn)的直線(xiàn)線(xiàn)系方程有有如下幾種種:(1)過(guò)定點(diǎn)M(x0,y0)的直線(xiàn)系方方程為y-y0=k(x-x0)(這個(gè)直線(xiàn)系系方程中未未包括直線(xiàn)線(xiàn)x=x0).(2)和直線(xiàn)Ax+By+C=0平行的直線(xiàn)線(xiàn)系方程為為Ax+By+C′=0(C≠≠C′).(3)和直線(xiàn)Ax+By+C=0垂直的直線(xiàn)線(xiàn)系方程為為Bx-Ay+C′=0.(4)經(jīng)過(guò)兩相交交直線(xiàn)A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直直線(xiàn)系方程程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(這個(gè)直線(xiàn)系系方程中不不包括直線(xiàn)線(xiàn)A2x+B2y+C2=0).【典例3】求經(jīng)過(guò)直線(xiàn)線(xiàn)l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn),且垂直于直直線(xiàn)l3:3x-5y+6=0的直線(xiàn)l的方程.[分析]本題可先求求出交點(diǎn)坐坐標(biāo),然后由直線(xiàn)線(xiàn)間的位置置關(guān)系求得得;也可由直線(xiàn)線(xiàn)系方程,根據(jù)直線(xiàn)間間位置關(guān)系系求得.解法二:∵l⊥l3,故l是直線(xiàn)系5x+3y+C=0中的一條,而l過(guò)l1、l2的交點(diǎn)(-1,2),故5×(-1)+3××2+C=0.由此求出C=-1,故l的方程為5x+3y-1=0.解法三:∵l過(guò)l1、l2的交點(diǎn),故l是直線(xiàn)系3x+2y-1+λλ(5x+2y+1)=0中的一條,將其整理,得(3+5λλ)x+(2+2λλ)y+(-1+λλ)=0.其斜率解解得λ=代入直線(xiàn)系系方程即得得l的方程為5x+3y-1=0.[反思感悟]對(duì)直線(xiàn)系方方程的形式式不熟悉或或不能正確確運(yùn)用直線(xiàn)線(xiàn)系方程,是出錯(cuò)的原原因之一.運(yùn)用直線(xiàn)系系方程,有時(shí)會(huì)給解解題帶來(lái)方方便,常見(jiàn)的直線(xiàn)線(xiàn)系方程有有:(1)與直線(xiàn)Ax+By+C=0平行的直線(xiàn)線(xiàn)系方程是是:Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)(2)與直線(xiàn)Ax+By+C=0垂直的直線(xiàn)線(xiàn)系方程是是Bx-Ay+m=0(m∈R)(3)過(guò)直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直直線(xiàn)系方程程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λλ∈R),但不包括l2.類(lèi)型四對(duì)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解題準(zhǔn)備:(1)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題主主要包括中中心對(duì)稱(chēng)和和軸對(duì)稱(chēng).中心對(duì)稱(chēng):①點(diǎn)P(x,y)關(guān)于O(a,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(x′′,y′)滿(mǎn)足②直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)可可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題題來(lái)解決.軸對(duì)稱(chēng):①點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線(xiàn)Ax+By+C=0(B≠0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(m,n),則有②直線(xiàn)關(guān)于于直線(xiàn)的對(duì)對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化化為點(diǎn)關(guān)于于直線(xiàn)的對(duì)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)來(lái)解決.(2)在對(duì)稱(chēng)問(wèn)題題中,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的的對(duì)稱(chēng)是中中心對(duì)稱(chēng)中中最基本的的,處理這類(lèi)問(wèn)問(wèn)題主要抓抓住:已知點(diǎn)與對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連成成線(xiàn)段的中中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)稱(chēng)中心;點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)線(xiàn)對(duì)稱(chēng)是軸軸對(duì)稱(chēng)中最最基本的,處理這類(lèi)問(wèn)問(wèn)題要抓住住兩點(diǎn):一是已知點(diǎn)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)的連線(xiàn)與與對(duì)稱(chēng)軸垂垂直;二是已知點(diǎn)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)為端點(diǎn)的的線(xiàn)段的中中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)稱(chēng)軸上.【典例4】求直線(xiàn)a:2x+y-4=0關(guān)于直線(xiàn)l:3x+4y-1=0對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)線(xiàn)b的方程.[分析]本題的思路路較多,可以根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)斜式或兩兩點(diǎn)式寫(xiě)出出直線(xiàn)b的方程,也可以利用用軌跡或?qū)?duì)稱(chēng)觀點(diǎn)求求出直線(xiàn)b的方程.錯(cuò)源一缺缺乏分類(lèi)意意識(shí)【典例1】求過(guò)直線(xiàn)4x-2y-1=0與直線(xiàn)x-2y+5=0的交點(diǎn)且與與兩點(diǎn)A(0,8),B(4,0)距離相等的的直線(xiàn)l的方程.[剖析]錯(cuò)解缺乏分分類(lèi)討論的的意識(shí),對(duì)直線(xiàn)的位位置關(guān)系考考慮不全,事實(shí)上當(dāng)直直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí)也也滿(mǎn)足條件件.[正解]由已知可求求得兩直線(xiàn)線(xiàn)的交點(diǎn)為為(1)若點(diǎn)A,B在直線(xiàn)l的同側(cè),則l∥AB,AB的斜率k=-2.所以直線(xiàn)l的方程為即即4x+2y-15=0.(2)若點(diǎn)A,B在直線(xiàn)l的兩側(cè),則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)(2,4),可求出直線(xiàn)線(xiàn)方程為x=2.綜上可得,直線(xiàn)l的方程為4x+2y-15=0或x=2.錯(cuò)源二忽忽視隱含條條件【典例2】如果直線(xiàn)(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,求m的值.[錯(cuò)解]因?yàn)橹本€(xiàn)(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,所以m2+3m+2=0.解得m=-1或m=-2.所以當(dāng)m=-1或m=-2時(shí)直線(xiàn)與y軸平行.[剖析]方程Ax+By+C=0表示直線(xiàn),其中隱含著著A·B≠0這一條件.當(dāng)m=-2時(shí),直線(xiàn)方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2為0·x+0·y=0,它不表示直直線(xiàn),所以出現(xiàn)錯(cuò)錯(cuò)誤.[正解]因?yàn)闉橹敝本€(xiàn)線(xiàn)(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平平行行,所以以m2+3m+2=0,且m+2≠0,解得得m=-1,所以以當(dāng)當(dāng)m=-1時(shí)直直線(xiàn)線(xiàn)與與y軸平平行行.技法法一一數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合【典例例1】】已知知△△ABC中,A點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(1,3),AB、AC邊上上的的中中線(xiàn)線(xiàn)所所在在直直線(xiàn)線(xiàn)方方程程分分別別為為x-2y+1=0和y-1=0,求△△ABC各邊邊所所在在直直線(xiàn)線(xiàn)的的方方程程.[解題題切切入入點(diǎn)點(diǎn)]畫(huà)出出草草圖圖幫幫助助思思考考,欲求求各各邊邊所所在在直直線(xiàn)線(xiàn)的的方方程程,只需需求求出出三三角角形形頂頂點(diǎn)點(diǎn)B、C的坐坐標(biāo)標(biāo).B點(diǎn)應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)滿(mǎn)足足的的兩兩個(gè)個(gè)條條件件是是:①B在直直線(xiàn)線(xiàn)y-1=0上;②BA的中中點(diǎn)點(diǎn)D在直直線(xiàn)線(xiàn)x-2y+1=0上.由①①可可設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)B的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(xB,1),進(jìn)而而再再由由②②確確定定xB,依照照同同樣樣的的方方法法可可以以確確定定頂頂點(diǎn)點(diǎn)C的坐坐標(biāo)標(biāo),故△△ABC各邊邊所所在在的的直直線(xiàn)線(xiàn)方方程程可可求求.[解]設(shè)AB、AC邊上上的的中中線(xiàn)線(xiàn)分分別別為為CD??BE,其中中D??E為中中點(diǎn)點(diǎn).∵B在中中線(xiàn)線(xiàn)y-1=0上,∴設(shè)B點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(xB,1).又∵∵D為AB的中中點(diǎn)點(diǎn),A(1,3),∴D的坐坐標(biāo)標(biāo)為為[方法法與與技技巧巧]依據(jù)據(jù)已已知知條條件件求求平平面面圖圖形形中中某某些些直直線(xiàn)線(xiàn)的的方方程程,必須須““數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合””.通過(guò)過(guò)數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合,特別別是是借借助助平平面面圖圖形形分分析析出出隱隱含含條條件件,這樣樣可可以以達(dá)達(dá)到到化化難難為為易易?化繁繁為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)的的目目的的,以形形助助數(shù)數(shù)也也是是平平面面解解析析幾幾何何中中常常用用的的方方法法.技法法二二對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)問(wèn)問(wèn)題題的的解解法法(1)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于直直線(xiàn)線(xiàn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)【典例例2】】已知知直直線(xiàn)線(xiàn)l:3x-y+3=0,求點(diǎn)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于于直直線(xiàn)線(xiàn)l的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn).[解題題切切入入點(diǎn)點(diǎn)]利用用對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性質(zhì)質(zhì)列列有有關(guān)關(guān)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)的的方方程程組組進(jìn)進(jìn)而而求求解解.[方法法與與技技巧巧]解法法一一的的應(yīng)應(yīng)用用最最為為廣廣泛泛,其關(guān)關(guān)鍵鍵是是利利用用““垂垂直直””?““平分分””.點(diǎn)P(a,b)關(guān)于于特特殊殊直直線(xiàn)線(xiàn)的的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)列列表表如如下下:(2)直線(xiàn)線(xiàn)關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)【典例例3】】求直直線(xiàn)線(xiàn)l1:2x-y+1=0關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)P(2,1)的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)直直線(xiàn)線(xiàn)l2的方方程程.[解題題切切入入點(diǎn)點(diǎn)]利用用好好中中心心對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)的的性性質(zhì)質(zhì)是是解解對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)問(wèn)問(wèn)題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵.[解]解法法一一:因?yàn)闉閘1與l2關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)稱(chēng),所以以l1∥l2.設(shè)l2:2x-y+C=0.由點(diǎn)點(diǎn)P(2,1)到兩兩直直線(xiàn)線(xiàn)的的距距離離相相等等,有:解得得C=-7或C=1(舍去去).故所所求求的的方方程