08年湖南省湘潭市高三數(shù)學教學研討會湘潭縣一中示范課

與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題湘潭縣第一中學

李小清2/2/2023

最值問題是三角中考試頻率最高的重點內(nèi)容之一,需要綜合運用三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)以及誘導公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角變換等。求與三角函數(shù)有關(guān)的最值,除了考慮三角函數(shù)的性質(zhì)外,主要還是根據(jù)求函數(shù)最值的方法.自主探索:2、函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）1、函數(shù)在區(qū)間的最小值為____xoy1、函數(shù)在區(qū)間的最小值為______函數(shù)的最小值為1\1oyx2、函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A法二、部分分式法－４法一、有界性法法三:而點(sinx,3sinx)在線段y=3x(-1≤x≤1)上xyopBA法三:數(shù)形結(jié)合法法一、有界性法法二:點(cosx,sinx)在圓x2+y2=1上XY數(shù)形結(jié)合法變式2:有界性法法二:點(-cosθ,sinθ)在圓x2+y2=1的一段段弧上設切線PA方程為y=kx+2,代入入x2+y2=1,得(1+k2)x2+4kx+3=0得(1+k2)x2+4kx+3=0xoy變式2:數(shù)形結(jié)合法法法三:變式2:導數(shù)法（2008江蘇卷17題改編編）某地有有三家工廠廠，分別位于矩形ABCD的的頂點A,B及及CD的中中點P處處，已知AB=20km,CB=10km，，為了處處理三家工工廠的污水水，現(xiàn)要在矩形形ABCD的區(qū)域域上（含邊邊界），且且與A,B等距離的一點點O處建建造一個污污水處理廠廠，并鋪設設排污管道道AO,BO,OP，設排排污管道的的總長為ykm．設設BAO=θ(rad)(1)將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系系式；(2)確定定污水處理理廠的位置置，使三條條排污管道道總長度最最短．Qθ綜合應用（2008江蘇卷17題改編編）某地有有三家工廠廠，分別位于矩形ABCD的的頂點A,B及及CD的中中點P處處，已知AB=20km,CB=10km，，為了處處理三家工工廠的污水水，現(xiàn)要在矩形形ABCD的區(qū)域域上（含邊邊界），且且與A,B等距離的一點點O處建建造一個污污水處理廠廠，并鋪設設排污管道道AO,BO,OP，設排排污管道的的總長為km．設BAO=θ(rad)(1)將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系系式；(2)確定定污水處理理廠的位置置，使三條條排污管道道總長度最最短．分析:(1)由條件件知PQ垂垂直平分分AB，若若∠BAO=θ(rad)，Qθ問題轉(zhuǎn)化為為前面的變變式2,這時點P位位于線段段AB的的中垂線上上，且距離離AB邊邊km處。Qθ求與三角函函數(shù)有關(guān)的的最值問題題的方法方法歸納:１、已知向向量,向向量則的的最最大值，最最小值分別別是（））鞏固練習:2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：１、已知向向量,向向量則的的最最大值，最最小值分別別是（））xyoD鞏固練習:有界性法數(shù)形結(jié)合法法O1xy-12、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:-11Oxy2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:-11Oxy2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:-11Oxy2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:Oxy1-1⑴當即a≥2時y的最小值為f(-1)=4-ay的最大值為f(1)=4+a函數(shù)在[-1,1]上是增函函數(shù)2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：Oxy1-1y的最大值為f(1)=4+a⑵當即0≤a<2時y的最小值為f()鞏固練習:Oxy1-1⑶當即-2≤a<0時y的最大值為f(-1)=4-ay的最小值為f()2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:Oxy1-1⑷當即a<-2時y的最小值為f(1)=4+ay的最大值為f(-1)=4-a函數(shù)在[-1,1]上是增函函數(shù)2、求函數(shù)數(shù)y=sin2x+asinx+3的最值：鞏固練習:綜上:⑴當a≥2時y的最小值值為4-a最大值為4+a⑵當0≤a<2時y的最小值值為最大值為