第三章6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動

第三章剛體力學導讀定軸轉(zhuǎn)動角動量定理和機械能守恒律定軸轉(zhuǎn)動的軸上附加力§3.6剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動剛體平動方程1平動平動時剛體內(nèi)所有點都有相同的速度和加速度.通常用質(zhì)心的運動來代表剛體整體的運動.若有約束加輔助方程：相對質(zhì)心的力矩平衡方程2定軸轉(zhuǎn)動

剛體繞固定軸z軸轉(zhuǎn)動時,剛體中任何一點Pi,都在垂直于z軸的平面內(nèi),即xy平面內(nèi)作圓周運動.運動學獨立變量：1角量表示:角位移角加速度角速度virimiyxz設(shè)一質(zhì)點的位矢是ri,它和z軸距離為Ri,如果在某一時刻,質(zhì)點Pi的線速度為vi,則

virimiyxz(3.6.1)定軸轉(zhuǎn)動,方向不變,則

是角加速度.在定軸轉(zhuǎn)動中,它的指向與角速度相同或相反,并且也是沿著同一條轉(zhuǎn)動軸線.(3.6.3)直角坐標系分解定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理為有保守力作用的定軸轉(zhuǎn)動的機械能為動能例題1復(fù)擺：m繞過o點的水平軸作微小振動，試求：運動方程、振動周期。解：確定正方向方程可化為令解出周期討論：等價單擺周期以O(shè)’懸點測g的原理3定軸轉(zhuǎn)動時軸上的附加壓力

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動可以看作等價于空間兩點A和B保持不動時剛體的運動.

顯然是剛體受到了約束,可以用動量定理和角動量定理來確定作用在A、B兩點上的約束反力.BAyxzONBxNByNAxNAyNAzFnF1F2F3動量定理對A點的動量矩定理因為所以最后一式是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動力學方程,

其余五式,用來求約束反力如前五式是平衡方程,最后式子是平衡條件,對應(yīng)約束反力是靜力反作用力

靜力反作用力動力反作用力通常有附加壓力，無附加壓力時：

這分別是以xC、yC及Iyz,Izx為未知量的二元一次方程,但它們的系數(shù)行列式在轉(zhuǎn)動時都不等于零,故xC、yC及Iyz,Izx必須同時為零,即剛體的重心在轉(zhuǎn)動軸上,而且轉(zhuǎn)動軸是慣量主軸.這時,我們就說這樣的剛體己達到了動平衡,這時的轉(zhuǎn)動軸叫做自由轉(zhuǎn)動軸.這時即使取消約束剛體還是會繞著它繼續(xù)轉(zhuǎn)動.例2

渦輪可以看作是一個均質(zhì)圓盤,由于安裝不善,渦輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法線成交角＝1o.渦輪圓盤質(zhì)量為20千克,半徑0.2米,重心O在轉(zhuǎn)軸上,O至兩軸承A與B的距離均為0.6米.設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)／分的角速度勻速轉(zhuǎn)動,試求軸承上的壓力解

選取坐標軸如圖.圖中x,y,z是固定的坐標軸,而x’,y’,z’為幾何對稱軸.設(shè)在圖示瞬間,y和y’正好重合.顯然又如以O(shè)為參考點,則(1)首先要求出Izx,由坐標變換得這樣,求解式(1),得在NAx與NBx式中第一項代表靜力反作用,第二項代表動力反作用,亦即軸上的附加壓力.把題給的數(shù)據(jù)代入得附加壓力