學(xué)科前沿專題

學(xué)科前沿專題第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日金融數(shù)學(xué)一、金融數(shù)學(xué)學(xué)科介紹金融數(shù)學(xué)是指運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法,研究金融運(yùn)行規(guī)律的一門新型交叉學(xué)科。核心問(wèn)題是證券組合理論與資產(chǎn)定價(jià)理論。在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論中現(xiàn)代證券組合理論,資本資產(chǎn)定價(jià)模型、套利定價(jià)、期權(quán)定價(jià)理論和資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論占據(jù)重要地位。第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日二、數(shù)學(xué)理論與方法主要有隨機(jī)分析,隨機(jī)控制,數(shù)學(xué)規(guī)劃,微分對(duì)策,非線性分析,泛函分析,鞅理論等。也有人在證券價(jià)格分析中引進(jìn)了新型的非線性分析工具,如分形幾何,混沌學(xué),子波理論,模式識(shí)別等。在金融計(jì)算方法與仿真技術(shù)中也逐漸引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,人工智能方法,模擬退火法和遺傳算法等。三、金融數(shù)學(xué)的幾個(gè)重要理論1、馬爾柯維茨現(xiàn)代證券組合理論把投資組合中的股票價(jià)格作為隨機(jī)變量,以均值衡量收益,用方差表示風(fēng)險(xiǎn)。也就是研究當(dāng)收益一定，使組合風(fēng)險(xiǎn)最小的組合投資問(wèn)題。第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日在數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為求如下的二次規(guī)劃的最優(yōu)解的問(wèn)題：V為所持組合收益的協(xié)差陣，r為投資者要求的最低收益率。為買空賣空的限制。第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日馬爾柯維茨證明了多個(gè)證券的投資組合比投資單個(gè)證券可以降低風(fēng)險(xiǎn)，這一直成為風(fēng)險(xiǎn)投資的指導(dǎo)原則。2、資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAMP模型）由于馬爾柯維茨模型涉及到股票之間協(xié)差陣的計(jì)算，運(yùn)算量太大，在馬爾柯維茨理論的基礎(chǔ)上,在一系列假設(shè)條件下建立了資本資產(chǎn)定價(jià)模型

CAMP模型的理論表明證券的預(yù)期收益可以用資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)β來(lái)度量。一方面為潛在的投資提供了一種估計(jì)其收益率的方法，另一方面也可為不在市場(chǎng)上交易的資產(chǎn)同樣作出合理的估價(jià)。第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日3、期權(quán)定價(jià)理論（Black-Scholes模型）

期權(quán)是一紙合約，規(guī)定了合約的購(gòu)買者在規(guī)定的時(shí)間以規(guī)定的價(jià)格購(gòu)買或出售某項(xiàng)金融資產(chǎn)的權(quán)利。

相應(yīng)的可將之劃分為看漲期權(quán)（買權(quán)）與看跌期權(quán)（賣權(quán)），投資者如果認(rèn)為這項(xiàng)金融資產(chǎn)會(huì)漲價(jià)，那么他可以購(gòu)買對(duì)應(yīng)這項(xiàng)金融資產(chǎn)的看漲期權(quán)，反之可以購(gòu)買看跌期權(quán)。

按照期權(quán)合約執(zhí)行方式的不同又可以分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)。歐式期權(quán)規(guī)定合約的持有人只能在到期日行權(quán)，而美式期權(quán)則可以在購(gòu)買后的任意時(shí)刻行權(quán)。

對(duì)期權(quán)合約的定價(jià)一直是金融數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要的課題，因?yàn)槠跈?quán)這種功能強(qiáng)大的金融衍生產(chǎn)品在國(guó)外金融市場(chǎng)上所占的比重越來(lái)越大。第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

Black與Scholes假設(shè)股票的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,無(wú)套利機(jī)會(huì),沒(méi)有交易費(fèi)用等一系列理想假設(shè)下推導(dǎo)出了股票不付紅利歐式期權(quán)在任意時(shí)刻t的價(jià)格C(t)所滿足的微分方程：邊界條件為：通過(guò)求解上面的帶邊值問(wèn)題的微分方程得出了著名的B-S公式第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日由于公式中的若干參數(shù)，關(guān)鍵是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r都與投資者偏好無(wú)關(guān)，故也將B-S定價(jià)方法稱之為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，在金融資產(chǎn)的定價(jià)中起著非常重要的作用。四、金融數(shù)學(xué)中的未解問(wèn)題與探索1、美式期權(quán)問(wèn)題

B—S公式解決的是歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,而市場(chǎng)上交易的期權(quán)大部分是美式期權(quán)，由于美式期權(quán)對(duì)投資者的執(zhí)行時(shí)機(jī)不加限制所以也造成了它的定價(jià)的巨大困難。一般情況下,美式期權(quán)沒(méi)有精確的解析定價(jià)公式,只能用數(shù)值算法和解析近似解,如蒙特卡羅模擬法、數(shù)圖法（二叉樹(shù)）、有限差方法等，對(duì)計(jì)算機(jī)能力要求較高。2、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率問(wèn)題一般常假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)服從某一隨機(jī)過(guò)程,象幾何布朗運(yùn)動(dòng)。但是金融市場(chǎng)多數(shù)情況下并不滿足穩(wěn)定的假設(shè),時(shí)常出現(xiàn)異常的波動(dòng),第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日在B—S模型中,假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)率為常數(shù),也不符合實(shí)際情況。實(shí)務(wù)中常用的方法比如隨機(jī)最優(yōu)控制，隨機(jī)微分方程，自回歸條件異方差等方法。3、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率的準(zhǔn)確分布問(wèn)題

B-S模型中假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率服從正態(tài)分布，也即價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但是經(jīng)過(guò)大量的實(shí)務(wù)研究發(fā)現(xiàn)，價(jià)格收益率并不是嚴(yán)格的正態(tài)分布，而是比正態(tài)分布具有更尖的峰與更厚的尾部，也成為尖峰厚尾性。而選擇怎樣的分布來(lái)描述金融資產(chǎn)收益率這樣的特性卻并沒(méi)有特定的標(biāo)準(zhǔn)，所謂的仁者見(jiàn)仁。4、突發(fā)事件問(wèn)題突發(fā)事件是小概率事件。一般的隨機(jī)分析不能解釋重大的金融震蕩，如股市崩盤，次貸危機(jī)等金融危機(jī)。雖然說(shuō)從統(tǒng)計(jì)上來(lái)說(shuō)是小概率事件，但是一旦發(fā)生將是災(zāi)難性的。所以這也是金融數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。返回第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)金融一、介紹

顧名思義，所謂的統(tǒng)計(jì)金融也即用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)研究金融問(wèn)題的一門新興學(xué)科。二、主要用的統(tǒng)計(jì)方法總體說(shuō)來(lái)，不外乎參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法兩大類。1、參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法也即基于具體的隨機(jī)變量（金融中主要是隨機(jī)過(guò)程）的分布而進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)，至多分布中含有未知的參數(shù)，但都可以通過(guò)抽取的樣本進(jìn)行估計(jì)。

如基于正態(tài)分布的回歸分析，方差分析或一些特定的時(shí)間序列分析等。但必須對(duì)總體的分布有所把握。第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日也就是說(shuō)參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法有弱點(diǎn)，如要解決以股票價(jià)格作為標(biāo)的的期權(quán)價(jià)格，則必須知道股票收益率的分布，但是現(xiàn)實(shí)中的股票的收益率的分布并不是已知的，所以必須進(jìn)行假設(shè)，而這就對(duì)解決問(wèn)題帶來(lái)了人為假定的隱患。正是基于參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析方法的這一先天缺陷，所以實(shí)務(wù)中很多問(wèn)題所用的是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的方法。如解決股票價(jià)格的波動(dòng)率的問(wèn)題，實(shí)務(wù)中并不是假定波動(dòng)率為常數(shù)，而是通過(guò)某一段時(shí)期的樣本數(shù)據(jù)得出樣本波動(dòng)率并在穩(wěn)定的條件下以此來(lái)對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)，而這樣的估計(jì)是與分布無(wú)關(guān)的，這也正是一種最簡(jiǎn)單的非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法。2、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法是一種不依賴于分布而最大限度地挖掘樣本數(shù)據(jù)中所包含的信息來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)診斷的一種重要的統(tǒng)計(jì)方法。第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日這里我們不全面探討非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的方方面面，而是選擇幾種在金融分析中常用的統(tǒng)計(jì)診斷方法來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單闡述，它們就是多元統(tǒng)計(jì)分析中的判別分析、聚類分析、主成分分析等，這里我們介紹一下判別分析，其它的可參見(jiàn)相關(guān)統(tǒng)計(jì)參考書(shū)。(1)判別分析-距離判別馬氏距離：判別分析第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用原理判別準(zhǔn)則為：應(yīng)用舉例我們知道一般來(lái)說(shuō)，投資者會(huì)把某一段時(shí)期的股市成為牛市，而把另一段時(shí)期的股票市場(chǎng)成為熊市。問(wèn)題是怎樣根據(jù)某一段時(shí)期的股市走勢(shì)來(lái)較準(zhǔn)確地判斷牛熊市卻并不是一個(gè)容易把握的問(wèn)題。第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日我們可以按照這樣的步驟來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題。首先可以選取幾個(gè)可以反映股市形勢(shì)的重要指標(biāo)，然后自我們公認(rèn)的牛市及熊市的總體中選取兩組不同的樣本，用這些樣本分別估計(jì)牛熊市的樣本均值向量與樣本協(xié)差陣；最后對(duì)于給定的一組新的樣本，計(jì)算并比較此樣本與牛熊市兩總體的距離，進(jìn)而從統(tǒng)計(jì)上判別分析的角度來(lái)判斷牛熊市，從而為投資者進(jìn)入或退出股票市場(chǎng)提供一定的理論支持。(2)判別分析-Bayesian判別

Bayesian判別的基礎(chǔ)核心部分是在距離判別的基礎(chǔ)上增加了先驗(yàn)信息這一項(xiàng)，也就是說(shuō)在判別之前人們已經(jīng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)有了“先驗(yàn)”的認(rèn)識(shí)，如主觀上可能認(rèn)為現(xiàn)在是牛市的概率比熊市的概率要大些，那這個(gè)先驗(yàn)的概率考慮進(jìn)去后可能對(duì)由數(shù)據(jù)得出的距離判別產(chǎn)生主觀上的影響。正是因?yàn)锽ayesian判別的主觀性以及它仍然是以距離判別為基礎(chǔ)的，所以這里略。第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日(3)判別分析-Fisher判別返回第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日精算理論一、什么是精算精算是一門基于概率統(tǒng)計(jì)、金融、保險(xiǎn)理論的一門新興學(xué)科。主要任務(wù)是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析、產(chǎn)品（金融、保險(xiǎn)產(chǎn)品）設(shè)計(jì)與定價(jià)、資產(chǎn)和債務(wù)管理等。進(jìn)行精算工作的人員稱為精算師，精算師職業(yè)是一種專業(yè)性非常強(qiáng)的職業(yè)，需要從業(yè)者具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)及精算學(xué)的理論基礎(chǔ)并通過(guò)相關(guān)專業(yè)協(xié)會(huì)組織的統(tǒng)一的職業(yè)資格認(rèn)定考試。隨著國(guó)內(nèi)特別是上海的精算業(yè)的發(fā)展，精算師正成為真正的金牌職業(yè)。在保險(xiǎn)公司甚至是銀行、證券公司等金融行業(yè)中，精算工作已成為公司必不可少的甚至是關(guān)乎公司發(fā)展規(guī)劃大計(jì)的重要工作，而在保險(xiǎn)公司中取得相關(guān)專業(yè)協(xié)會(huì)認(rèn)定的精算師人數(shù)的多少已直接成為衡量保險(xiǎn)公司實(shí)力的最重要的指標(biāo)。第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日二、精算學(xué)科的主要理論構(gòu)成主要包括利息理論（復(fù)利數(shù)學(xué)）、壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)、壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)、非壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)、生命表理論等主要部分。其中利息理論是精算數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，所有的其它理論部分都是建立在嚴(yán)格的復(fù)利數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之上的；壽險(xiǎn)精算與生命表理論是基于投保人的剩余壽命這一隨機(jī)變量而進(jìn)行的保單定價(jià)或準(zhǔn)備金計(jì)算、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等工作；而非壽險(xiǎn)精算是對(duì)事物而不是對(duì)人的保險(xiǎn)精算，如財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)，房產(chǎn)險(xiǎn)，車險(xiǎn)，火災(zāi)險(xiǎn)，氣象災(zāi)害險(xiǎn)等等。由于內(nèi)容太多而大家也沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)，所以我們特意挑選了利息理論中的確定型年金這一重要理論簡(jiǎn)單討論。至于與投保人的剩余壽命相聯(lián)系的不確定型年金的討論，是壽險(xiǎn)精算中一個(gè)非常重要的課題，有興趣的可參見(jiàn)相關(guān)教材三、確定型年金(Annuity-Certain)1、什么是確定型年金第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日所謂確定型年金就是指確定數(shù)額的資金在確定的有規(guī)律的時(shí)間點(diǎn)（多為以年或月等）支付給投資人，這樣的合約就是確定型年金。2、確定型年金的分類(1)等額確定型年金即每年初（或年末）支付相同數(shù)額的一系列的資金的支付。不失此種年金的現(xiàn)值為：此理論直接導(dǎo)致了分期付款支付方式的產(chǎn)生，如：購(gòu)買一輛價(jià)值100000元的汽車，購(gòu)車人可選擇分期付款，五年付清，若年利率i=0.06，則我們可求得每期付款額第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日顯然，若在這個(gè)利率下5年等額分期付款額超過(guò)R，則可以放棄此種還款方式。當(dāng)然，如果分期付款額每期低于R，則馬上選擇這種支付方式。當(dāng)然，商家不會(huì)傻成這樣。反過(guò)來(lái)，如果讓我們?nèi)ベu汽車的話，讓購(gòu)車人選擇分期付款，那么讓他每期支付的金額不要低于R.現(xiàn)在購(gòu)買汽車一般來(lái)說(shuō)可以選擇首付款占總款的某個(gè)比例，如果首付50%的話，那么五年分期的付款額就要發(fā)生變化了?？梢郧蟮茫旱谑彭?yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日下面我們從這兩種方式利息的支付數(shù)額的角度來(lái)分析這兩種支付方式的所謂優(yōu)劣。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的無(wú)首付款的購(gòu)車者來(lái)說(shuō)，5年之內(nèi)共支付的利息數(shù)額為而對(duì)于首付款五成的購(gòu)車者來(lái)說(shuō)，5年內(nèi)共需支付的利息數(shù)額為顯然，支付的首付款的比例越大，則需支付的利息金額就越少，極限的情況如一次付清的情形則并不需要支付利息，但是如果要省利息當(dāng)然要考研消費(fèi)者的一次消費(fèi)能力。第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日另外，如果還款間隔不是以年為單位，現(xiàn)在大多是按月還款，此時(shí)只要考慮月利率就可以了。事實(shí)上，按年金的方式來(lái)進(jìn)行還款已經(jīng)是大大的降低了利息的支付金額了，為說(shuō)明這一個(gè)問(wèn)題我們可以參考下面的一個(gè)例子。例：在上面的購(gòu)車的例子中，分別計(jì)算按照下面三種還款方式所總共支付的利息金額。(1)本金與利息在5年后一次性支付；(2)每年末僅支付利息，本金在5年后支付；(3)按年金方式每年初支付一部分金額。解

第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日(2)變額確定型年金

遞增型年金則此年金的現(xiàn)值為

此種年金的還款方式對(duì)應(yīng)著投資者在每年的還款額隨著時(shí)間的推移而逐漸增多。也就是說(shuō)如果投資者覺(jué)得自己的還款能力會(huì)隨著時(shí)間的后移而有大幅度的提高的話，那么他可以選擇這種還款方式。當(dāng)然，這是一種按照還款額等差遞增的方式進(jìn)行的還款方式，也可以選擇按照等比的原則，如下一期比上一期