第三章 函數(shù)逼近與曲線擬合

第三章函數(shù)逼近與曲線擬合

在科學(xué)與工程技術(shù)的很多領(lǐng)域，人們常碰到大量帶有誤差的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這時(shí)采用高次插值會(huì)出現(xiàn)震蕩，采用分段插值則會(huì)使函數(shù)非常復(fù)雜，無(wú)法準(zhǔn)確反映被插函數(shù)的整體性態(tài)，因此，不適合用插值法。§1引言

如何在給定精度下，求出計(jì)算量最小的近似表達(dá)式，這就是函數(shù)逼近要解決的問(wèn)題。

一、問(wèn)題的提出二、函數(shù)逼近問(wèn)題的一般提法注：本章中所研究的函數(shù)類(lèi)通常為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記做;而函數(shù)類(lèi)通常是代數(shù)多項(xiàng)式或三角多項(xiàng)式。對(duì)于函數(shù)類(lèi)中給定的函數(shù)，要求在另一類(lèi)較簡(jiǎn)單的且便于計(jì)算的函數(shù)類(lèi)中尋找一個(gè)函數(shù)，使與之差在某種度量意義下最小。三、常用的度量標(biāo)準(zhǔn)：

(一)一致逼近若以函數(shù)f(x)和P(x)的最大誤差作為度量誤差

f(x)－P(x)

“大小”的標(biāo)準(zhǔn),在這種意義下的函數(shù)逼近稱(chēng)為一致逼近或均勻逼近。(二)平方逼近采用作為度量誤差“大小”標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)逼近稱(chēng)為平方逼近或均方逼近。四、一致逼近的概念定義1設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意給定的，如果存在多項(xiàng)式，使不等式成立，則稱(chēng)多項(xiàng)式在區(qū)間上一致逼近于函數(shù)。五、一致逼近多項(xiàng)式的存在性定理1（維爾斯特拉斯定理）

若f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意給定的

>0，總存在多項(xiàng)式

P(x)，使對(duì)一切a≤x≤b

有在意義下，能否在所有次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式中找到一個(gè)，使得空間中的最佳一致逼近問(wèn)題。這就是上的最佳一致逼近一、其中，表示由所有次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間?！?最佳一致逼近二、上最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性

定理2在

中都存在對(duì)

的最佳一致逼近多項(xiàng)式,記為

的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式。稱(chēng)為簡(jiǎn)稱(chēng)最佳逼近多項(xiàng)式。,使得

成立.對(duì)任意的

三、相關(guān)概念1、偏差與最小偏差上的偏差。為與在它有下界0.注：

顯然的全體組成一個(gè)集合，定義2

則稱(chēng)若若記集合的下確界為則稱(chēng)

為

在上的最小偏差。2、偏差點(diǎn)定義3

設(shè)

若在

上有

則稱(chēng)

是

的偏差點(diǎn)。

若

若

則稱(chēng)

則稱(chēng)

為“正”偏差點(diǎn)。

為“負(fù)”偏差點(diǎn)。

3、交錯(cuò)點(diǎn)組若函數(shù)

定義4

在其定義域的某一區(qū)間

個(gè)點(diǎn)

上存在使得

則稱(chēng)點(diǎn)集

為函數(shù)

在區(qū)間

上的一個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組，稱(chēng)為交錯(cuò)點(diǎn)。點(diǎn)四、上的最佳一致逼近的特征定理3設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式，則必同時(shí)存在正負(fù)偏差點(diǎn)。定理4

（Chebyshev定理）設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則是的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是:在區(qū)間上存在一個(gè)至少由個(gè)點(diǎn)組成的交錯(cuò)點(diǎn)組。推論1

在中存在惟一的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式。推論2推論3設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則的次最佳一致逼近多項(xiàng)式是的某個(gè)次插值多項(xiàng)式。

設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式，若在內(nèi)存在且保號(hào)，則在區(qū)間上恰好存在一個(gè)由個(gè)點(diǎn)組成的交錯(cuò)點(diǎn)組，且兩端點(diǎn)都在交錯(cuò)點(diǎn)組中。五、一次最佳逼近多項(xiàng)式1、推導(dǎo)過(guò)程設(shè)

，且

在內(nèi)不變號(hào)，要求在上的一次最佳一致逼近多項(xiàng)式由推論3，在上恰好有3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的交錯(cuò)且區(qū)間端點(diǎn)屬于這個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組，組，設(shè)另一個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)為則解得即即由可算出2、舉例求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式。解：故解得由得于是得的最佳一次逼近多項(xiàng)式為故誤差限為(*)在（*）式中若令，則可得一個(gè)求根的公式六、Chebyshev多項(xiàng)式及其應(yīng)用(1)定義稱(chēng)為n次Chebyshev多項(xiàng)式.[注]Itisveryimportant

令則而故為關(guān)于的次代數(shù)多項(xiàng)式。(2)性質(zhì)正交性：由Tn(x)所組成的序列{Tn(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)

的正交多項(xiàng)式序列。且

遞推關(guān)系相鄰的三個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式具有如下遞推關(guān)系式：

奇偶性：

切比雪夫多項(xiàng)式

，當(dāng)

為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)；

為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)。

在區(qū)間[-1,1]上有

個(gè)不同的零點(diǎn)令得

Tn(x)

在[-1,1]上有n+1個(gè)不同的極值點(diǎn)使Tn(x)輪流取得最大值1

和最小值-1。

切比雪夫多項(xiàng)式的極值性質(zhì)Tn(x)

的最高次項(xiàng)系數(shù)為2n-1(n=1,2,…)。

在區(qū)間[-1,1]上，在所有首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中,與零的偏差最小，即對(duì)于任何，有該性質(zhì)又被稱(chēng)為Chebyshev多項(xiàng)式的最小模性質(zhì).注：區(qū)間上的最小零偏差多項(xiàng)式且其偏差為在上首項(xiàng)系數(shù)為1的最小零偏差多項(xiàng)式為。(3)應(yīng)用多項(xiàng)式的降階（最小零偏差問(wèn)題）在所有次數(shù)為的多項(xiàng)式中求多項(xiàng)式

,在給定的有界閉區(qū)間上與零的偏差最小。使其最小零偏差多項(xiàng)式問(wèn)題。這一問(wèn)題被稱(chēng)為不失一般性，可設(shè)的首項(xiàng)系數(shù)為1，有界閉區(qū)間為

.所討論的對(duì)一般區(qū)間，可先將換為，考慮在上的逼近，再將換回，得到。最后尋求最小零偏差多項(xiàng)式的問(wèn)題事實(shí)上等價(jià)于求次多項(xiàng)式的不超過(guò)次最佳一致逼近多項(xiàng)式問(wèn)題。

即求使其滿足：設(shè)由于首項(xiàng)系數(shù)為1的次Chebyshev多項(xiàng)式無(wú)窮范數(shù)最小，故有(1)于是例1設(shè)f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.求f(x)

在［-1,1］中的3次最佳一致逼近元p3(x).解由f(x)的表達(dá)式可知b４＝４,注：對(duì)區(qū)間為［a,b］的情形，先作變換

x=(b-a)t/2+(b+a)/2(2)然后對(duì)變量為t的多項(xiàng)式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2)式的反變換得到［a,b］上的最佳一致逼近多項(xiàng)式.由(1)式得首項(xiàng)系數(shù)為1的4次Chebyshev多項(xiàng)式為:§3

最佳平方逼近一、內(nèi)積空間1、定義5稱(chēng)二元關(guān)系為內(nèi)積。設(shè)為(實(shí))線性空間,對(duì)中每一對(duì)元素,在上定義了內(nèi)積是指都有一實(shí)數(shù)，記為與之對(duì)應(yīng)，且這個(gè)對(duì)應(yīng)滿足:（2）（1）（3）（4）則稱(chēng)為內(nèi)積空間，2、兩種重要的內(nèi)積空間n維歐氏空間，內(nèi)積就是兩向量的數(shù)量積，即連續(xù)函數(shù)空間，內(nèi)積可以定義為積分的運(yùn)算或帶權(quán)函數(shù)的積分運(yùn)算，即或3、權(quán)函數(shù)的定義設(shè)

(x)定義在有限或無(wú)限區(qū)間[a,b]上，如果具有下列性質(zhì)：(1)對(duì)任意x

[a,b]，

(x)≥0；(2)積分存在，(n=0,1,2,…)；(3)對(duì)非負(fù)的連續(xù)函數(shù)g(x)

若

則在(a,b)上g(x)0。稱(chēng)滿足上述條件的

(x)為[a,b]上的權(quán)函數(shù)。

4、Euclid范數(shù)及其性質(zhì)定義6設(shè)為的Euclid范數(shù)。則稱(chēng)量性質(zhì)對(duì)于任何下列結(jié)論成立：1、2、3、（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四邊形定律)二、相關(guān)概念1、距離

線性賦范空間中兩元素之間的距離為連續(xù)函數(shù)空間中，與的距離即為因此，中兩點(diǎn)與之間的距離即為也稱(chēng)為2-范數(shù)意義下的距離2、正交則稱(chēng)f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)

(x)正交。

若則稱(chēng)與正交。

進(jìn)一步，設(shè)在[a,b]上給定函數(shù)系，若滿足條件則稱(chēng)函數(shù)系是[a,b]上帶權(quán)

(x)的正交函數(shù)系。連續(xù)函數(shù)空間中，設(shè)，若特別地，當(dāng)Ak1時(shí)，則稱(chēng)該函數(shù)系為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。

若上述定義中的函數(shù)系為多項(xiàng)式函數(shù)系，則稱(chēng)之為[a,b]上帶權(quán)

(x)的正交多項(xiàng)式系。并稱(chēng)是上帶權(quán)的

次正交多項(xiàng)式。3、正交化手續(xù)

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)權(quán)函數(shù)及區(qū)間給定以后，可以由冪函數(shù)系利用正交化方法構(gòu)造出正交多項(xiàng)式系。4、正交多項(xiàng)式的性質(zhì)(1)是最高次項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式.(2)任一次多項(xiàng)式均可表示為的線性組合.(3)當(dāng)時(shí),且與任一次數(shù)小于的多項(xiàng)式正交.(4)遞推性其中這里且都在區(qū)間內(nèi).(5)設(shè)是在上帶權(quán)項(xiàng)式序列,的正交多則的個(gè)根都是單重實(shí)根,三、常用的正交多項(xiàng)式1、第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式(1)定義(2)性質(zhì)2、Legendre(勒讓德)多項(xiàng)式(1)定義

多項(xiàng)式稱(chēng)為n次勒讓德多項(xiàng)式。(2)性質(zhì)勒讓德多項(xiàng)式序列是[-1,1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列。即正交性:遞推關(guān)系:相鄰的三個(gè)勒讓德多項(xiàng)式具有如下遞推關(guān)系式：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

為奇函數(shù)。

在區(qū)間[-1,1]內(nèi)部存在n個(gè)互異的實(shí)零點(diǎn)。奇偶性：

的最高次項(xiàng)系數(shù)為在所有首項(xiàng)系數(shù)為1的

次多項(xiàng)式中，勒讓德多項(xiàng)式在上與零的平方誤差最小。證明：它可表示為設(shè)是任意一個(gè)最高項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式，于是3、其他常用的正交多項(xiàng)式(1)第二類(lèi)Chebyshev(切比雪夫)多項(xiàng)式定義：

稱(chēng)為第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式。性質(zhì):①是區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列。②相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：(2)拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式定義：稱(chēng)多項(xiàng)式為拉蓋爾多項(xiàng)式。拉蓋爾多項(xiàng)式的性質(zhì)：①是在區(qū)間[0,+∞]上帶權(quán)

的正交多項(xiàng)式序列。

②相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：

(3)埃爾米特(Hermite)多項(xiàng)式定義：稱(chēng)多項(xiàng)式

為埃爾米特多項(xiàng)式。性質(zhì):的正交多項(xiàng)式序列。①是區(qū)間(-,+)上帶權(quán)②相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：四、內(nèi)積空間上的最佳平方逼近1．函數(shù)系的線性關(guān)系定義7設(shè)函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，如果關(guān)系式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才成立，函數(shù)在上是線性無(wú)關(guān)，否則稱(chēng)線性相關(guān)。則稱(chēng)

連續(xù)函數(shù)在上線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它們的克萊姆(Gram)行列式定理4其中，

是任意實(shí)數(shù)，則并稱(chēng)是生成集合的一個(gè)基底。的全體是

的一個(gè)子集，記為設(shè)是上線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù),為的最佳平方逼近元。2、最佳平方逼近元的定義定義8在的子空間

中，對(duì)任意的求的在2-范數(shù)意義下的最佳逼近元，

即求，使不等式對(duì)任意成立.若滿足上式的存在，稱(chēng)個(gè)線性無(wú)關(guān)元，記由張成的的子空間，為上設(shè)為線性內(nèi)積空間，即3.最佳平方逼近元的存在性定理5設(shè)為線性內(nèi)積空間，由線性無(wú)關(guān)組張成的線性空間

為的子空間，存在為的最佳平方逼近元.則對(duì)任意的Remark:線性內(nèi)積空間的子空間

的線性無(wú)關(guān)組選取不同，在中求得的對(duì)的最佳平方逼近元也不同，求解的難易程度也不同。4.最佳平方逼近元的充要條件定理6內(nèi)積空間)為的最佳平方逼近元的充要條件是：(線性與一切正交。其中，為

的個(gè)線性無(wú)關(guān)元。REMARK：定理6中所說(shuō)的與一切

正交，

與一切

的內(nèi)積等于零，是指即證：必要性(用反證法).設(shè)為的最佳平方逼近元，但不與所有的

正交,即存在,使得則令且這說(shuō)明不是對(duì)的最佳平方逼近元，與假設(shè)條件矛盾，所以必須與一切

正交.充分性.仍記則對(duì)任意的有而所以

對(duì)任意成立,進(jìn)而有即為的最佳平方逼近元。推論為的最佳平方逼近元，設(shè)則有5.最佳平方逼近元的惟一性定理7最佳平方逼近元，則惟一.線性內(nèi)積空間的子空間

中若存在對(duì)的證：都為的最佳平方逼近元，設(shè)因?yàn)樗郧覐亩?.最佳平方逼近元的求解現(xiàn)假定線性內(nèi)積空間上的內(nèi)積已定義，并且的子空間的一組基底也確定，那么，對(duì)具體的被逼近元如何求使其為的最佳平方逼近元.由最佳平方逼近元的充要條件，若假定則可以得出其中為待定系數(shù)。恒等變形為用矩陣式表示這個(gè)方程組為此方程組稱(chēng)為法方程組。若所選取的一組基底滿足則稱(chēng)其為正交基，此時(shí)五、連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近

1.

對(duì)于給定的函數(shù)要求函數(shù)使若這樣的存在，上的最佳平方逼近函數(shù)。則稱(chēng)為在區(qū)間特別地，若則稱(chēng)為在上的次最佳平方逼近多項(xiàng)式。求最佳平方逼近函數(shù)的問(wèn)題可歸結(jié)為求它的系數(shù),使多元函數(shù)取得極小值。由于是關(guān)于的二次函數(shù)，故利用多元函數(shù)取得極值的必要條件，可得得方程組如采用函數(shù)內(nèi)積記號(hào)方程組可以簡(jiǎn)寫(xiě)為寫(xiě)成矩陣形式為法方程組！

由于0,1,…,n線性無(wú)關(guān)，故Gn

0，于是上述方程組存在唯一解。從而肯定了函數(shù)f(x)在中如果存在最佳平方逼近函數(shù)，則必是2.舉例求在中的最佳平方逼近元。解：這是上的最佳平方逼近問(wèn)題.取,記因?yàn)榍彝瑯涌汕蟮盟?，關(guān)于的法方程組為解得即為中對(duì)的最佳平方逼近元。3.函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開(kāi)設(shè)為其中上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系，