第三章：靜定梁和靜定剛架

第三章靜定梁和靜定剛架

主要任務(wù)

：要求靈活運(yùn)用隔離體的平衡條件，熟練掌握靜定梁內(nèi)力圖的作法。分析方法：按構(gòu)造特點(diǎn)將結(jié)構(gòu)拆成桿單元，把結(jié)構(gòu)的受力分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為桿件的受力分析問(wèn)題。1.反力以整體為研究對(duì)象，利用靜力平衡條件求支座反力（簡(jiǎn)支梁、外伸梁）3-1單跨靜定梁三個(gè)支座反力整體隔離體——平衡方程求解隔離體受力圖a.全部聯(lián)系（約束）要截?cái)?，以相?yīng)的約束力代替b.全部所受的力要畫全（荷載、約束力）c.未知力按正方向假設(shè)，已知力按實(shí)際方向畫（包括前面步驟求出的力）

——未知力結(jié)果符號(hào)即未知力符號(hào)（正，負(fù)）

——M的方向確定桿件的受拉面2.內(nèi)力

(1)截面法，取隔離體利用靜力平衡條件求截面內(nèi)力(a)ABF1FBmnKFAYFAXF2(b)F1AFNFSKFAXMFAY內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：（2）M、FS、FN圖正負(fù)號(hào)規(guī)定FNFNFFFSFSFSFSMMMM

①?gòu)澗豈：對(duì)梁而言，使桿件上凹者為正（也即下側(cè)纖維受拉為正），反之為負(fù)。一般情況下作內(nèi)力圖時(shí)，規(guī)定彎矩圖縱標(biāo)畫在受拉一側(cè)，不標(biāo)注正負(fù)號(hào)。

②剪力FS：使截開(kāi)后保留部分產(chǎn)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)者為正，反之為負(fù)。

③軸力FN

：拉為正，壓為負(fù)。剪力圖和軸力圖可繪在桿軸的任意一側(cè)，但必須標(biāo)注正負(fù)號(hào)。

（2）在q(x)＝常量段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。其凹下去的曲線象鍋底一樣兜住q(x)的箭頭。

（3）集中力作用點(diǎn)兩側(cè)，剪力值有突變、彎矩圖形成尖點(diǎn)；集中力偶作用點(diǎn)兩側(cè)，彎矩值突變、剪力值無(wú)變化。

（1）在無(wú)荷區(qū)段q(x)＝０，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。3.內(nèi)力與外力間的微分關(guān)系及內(nèi)力圖形狀判斷l(xiāng)/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷載作用點(diǎn)M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；Q圖有一突變，荷載向下突變亦向下。2、集中力矩作用點(diǎn)M圖有一突變，力矩為順時(shí)針向下突變；Q圖沒(méi)有變化。3、均布荷載作用段M圖為拋物線，荷載向下曲線亦向下凸；Q圖為斜直線，荷載向下直線由左向右下斜幾種典型彎矩圖和剪力圖繪制內(nèi)力圖的一般步驟：（1）求反力：三個(gè)平衡方程（2）分段：不連續(xù)點(diǎn)（集中力及力偶作用點(diǎn)，均布荷載的起止點(diǎn)）（3）定點(diǎn)：截面法求內(nèi)力（4）連線：直線或曲線

畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=6kN/mFAFB4m解：取整體BAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖B6kN18kN⊕○－⊕3m5512kN.m24kN.m27kN.mFAFs2AAC：MBFs4CB：MC左Fs3MC右AFA55Fs5M5FBq例畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整體Fs圖M圖2mB4455DAC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖M圖2mB4455DFA33Fs3M3AP⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs

圖M圖2mB4455DFA44Fs

4M4AP⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m例畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整體，F(xiàn)AFC4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs

圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕FAl/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷載作用點(diǎn)M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；Q圖有一突變，荷載向下突變亦向下。2、集中力矩作用點(diǎn)M圖有一突變，力矩為順時(shí)針向下突變；Q圖沒(méi)有變化。3、均布荷載作用段M圖為拋物線，荷載向下曲線亦向下凸；Q圖為斜直線，荷載向下直線由左向右下斜幾種典型彎矩圖和剪力圖3m3m4kN4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m（1）集中荷載作用下（2）集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖分段疊加法作彎矩圖分段疊加法對(duì)直桿任何區(qū)段都適用。MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM任意直桿段——適用疊加法作M圖（1）求控制截面值

外力不連續(xù)點(diǎn)

（F,M作用點(diǎn)，

q的起點(diǎn)，終點(diǎn)等）

（考慮全部荷載）（2）分段畫彎矩圖 控制截面間無(wú)荷載

——連直線 控制截面間有荷載(q、F)

——連虛線，

——再疊加標(biāo)準(zhǔn)M0圖5．繪制內(nèi)力圖的一般步驟（1）求反力（懸臂梁可不求）（2）分段

——外力不連續(xù)點(diǎn)：q端點(diǎn)，F(xiàn)、M作用點(diǎn)（3）定點(diǎn)

——求控制截面內(nèi)力值（全部荷載）（4）連線

——按微分關(guān)系連直線 曲線：連虛線，疊加簡(jiǎn)支梁M0圖例用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM圖2m8kN.m解：將梁分為AC，BC兩段。先求支座反力。FAFB例用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM圖16kN.m4kN.m⊕2m8kN.m⊕4kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN作剪力圖作彎矩圖CE段有均布荷載，利用疊加法作彎矩圖，D截面的彎矩值為：由數(shù)學(xué)計(jì)算：CE段Mmax=36.1kN·m（2）作彎矩圖

CE段有均布荷載，利用疊加法作彎矩圖D截面的彎矩值為：由數(shù)學(xué)計(jì)算：CE段Mmax=36.1kN·m（2）作彎矩圖例題:試?yán)L制圖示外伸梁的內(nèi)力圖。

解：（1）計(jì)算支座反力

校核：（2）作彎矩圖選擇A、C、D、B、E為控制截面，計(jì)算出其彎矩值。（3）作剪力圖選擇A、C、D、B、E為控制截面，計(jì)算出其剪力值。60202.532.52510KN/m4m20KN30KN.m2mVB=33.75KNCBADEM(KN.m)Q(KN)2m3m2013.7526.25VA=26.25kNHA=0*斜梁的內(nèi)力計(jì)算

計(jì)算斜梁或斜桿的方法仍然是截面法。與水平桿相比，不同點(diǎn)在于斜梁或斜桿的軸線是傾斜的。計(jì)算其軸力和剪力時(shí)，應(yīng)將各力分別向截面的法向、切向投影。

工程中，斜梁和斜桿是常遇到的，如樓梯梁、剛架中的斜梁等。斜梁受均布荷載時(shí)有兩種表示方法：（1）按水平方向分布的形式給出（人群、雪荷載等），用q表示。（2）按沿軸線方向分布方式給出（自重、恒載），用q’表示。[例題]試?yán)L制圖示斜梁內(nèi)力圖。（1）求支座反力：αVAHACDql/3l/3l/3ABVB（2）AC段受力圖：（3）AD段受力圖：αVAVAcosαVAsinαHAHAcosαHAsinαQCMCNCCHAcosααVAVAcosαVAsinαHAHAsinαQCMCNCCDql2cosα/3ql2/3ql2sinα/31.定義

公路橋梁

§3.2多跨靜定梁多跨靜定梁：若干單跨梁用中間鉸相聯(lián),并用若干支座與基礎(chǔ)相聯(lián)而組成的靜定梁。ABCD房屋建筑結(jié)構(gòu)中的木檁條

2.靜定多跨梁的特點(diǎn)(1)幾何組成：附屬部分由基本部分及附屬部分組成層次圖附屬部分是支承在基本部分的，要分清構(gòu)造層次圖。F1（2）受力分析（b）（a）F1VBVCF2F2■基本部分上的荷載不影響附屬部分受力。■附屬部分上的荷載影響基本部分受力。3.多跨靜定梁基本組成形式

a.基本－附屬部分——交互排列

b.基本－附屬部分——依次排列多跨靜定梁的計(jì)算原則計(jì)算的次序與構(gòu)造的次序相反。內(nèi)力圖：將各單跨梁的內(nèi)力圖連在一起，就是多跨梁的內(nèi)力圖。對(duì)多跨靜定梁進(jìn)行受力分析:

荷載在基本部分上，只基本部分受力，附屬部分不受力；荷載在附屬部分上，除附屬部分受力外，基本部分也受力。組成次序：先固定基本部分，后固定附屬部分。保證幾何不變。計(jì)算原則：先計(jì)算附屬部分，后計(jì)算基本部分。保證方程求解。例3-2試作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。解：(1)多跨梁各部分的關(guān)系:(2)對(duì)各部分進(jìn)行受力分析：基本部分附屬部分先附屬，后基本1018105先求控制截面彎矩，再區(qū)段疊加12MG=-5*4+7.5*2=-5G由彎矩圖斜率或桿段平衡條件得剪力圖2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH80k

N·m2020404040k

NC2025520502020k

N/mFGH1020405585255040k

NCABFGH20k

N/m80k

N·m構(gòu)造關(guān)系圖205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH2555585M圖（kN·m）2540k

N5558520k

N/m251520354540例3-3：圖示多跨靜定梁全長(zhǎng)受均布荷載q，各跨長(zhǎng)度均為l。欲使梁上最大正、負(fù)彎矩的絕對(duì)值相等，試確定鉸B、E的位置。(優(yōu)化設(shè)計(jì)題）由MC=M1，可求得x多跨簡(jiǎn)支梁

多跨靜定梁與一系列簡(jiǎn)支梁相比，材料用量可減少，但構(gòu)造要復(fù)雜些。=>MC=0.0858ql2例3-4作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖，并求出各支座的反力。方法：懸臂部分直接畫；中間鉸處的彎矩必定為零；無(wú)荷載區(qū)域彎矩為直線，剪力相同則彎矩斜率相同，疊加法(BC段)。由彎矩圖到剪力圖方法同前如何求支座C反力?注意:支座C左,右截面剪力方向

剛架是由梁和柱以剛性結(jié)點(diǎn)相連組成的，其優(yōu)點(diǎn)是將梁柱形成一個(gè)剛性整體，使結(jié)構(gòu)具有較大的剛度，內(nèi)力分布也比較均勻合理，便于形成大空間。(a)(b)(c)(d)(e)

下圖是常見(jiàn)的幾種剛架：圖（a）是車站雨蓬，圖（b）是多層多跨房屋，圖（c）是具有部分鉸結(jié)點(diǎn)的剛架。剛架結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)：（1）內(nèi)部有效使用空間大；（2）結(jié)構(gòu)整體性好、剛度大；（3）內(nèi)力分布均勻，受力合理。3.3靜定平面剛架平面剛架結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：靜定剛架的計(jì)算方法

先求出支座反力,然后采用截面法,由平衡條件求出各桿端的內(nèi)力,就可畫出內(nèi)力（彎矩,剪力和軸力）圖。內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：

軸力以拉力為正；彎矩不定義正負(fù)號(hào)，只將彎矩圖畫在受拉纖維的一側(cè)。剪力以對(duì)該截面有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)為正；

軸力圖與剪力圖可畫在桿件的任一側(cè),須注明正負(fù)號(hào)。原則上與靜定梁相同2.剛架的支座反力圖示三鉸剛架有四個(gè)未知反力整體平衡方程求FyA

和FyB利用右半邊剛架作隔離體，則圖示剛架為多跨剛架剛架的組成次序?yàn)椋合裙潭ㄓ疫叄俟潭ㄗ筮呌?jì)算反力的次序應(yīng)為：先算左邊，再算右邊考慮GE部分再考慮整體平衡例3-5

試作圖示靜定剛架的內(nèi)力圖。1.求反力48kN42kN22kN2.分段作彎矩圖(單位：kN*m)12619248MCA如何求?14412剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件由彎矩圖=>剪力圖由剪力圖=>軸力圖3.作剪力圖4.作軸力圖剛結(jié)點(diǎn)投影平衡條件例3-5作圖示門式剛架的內(nèi)力圖。解：（1）求支反力（2）作M圖，如圖(a)。（3）作FQ圖，取隔離體如圖(d)、(e)。

由隔離體平衡條件求桿端剪力，并作圖(b)。（4）作FN圖，取隔離體如圖(f)、(g)

由結(jié)點(diǎn)平衡條件求桿端軸力，并作圖(c)。（5）校核：取結(jié)點(diǎn)C驗(yàn)算平衡條件顯然滿足！例3-7試作圖示剛架的彎矩圖附屬部分基本部分§3-4

少求或不求反力繪制彎矩圖

靜定剛架常?？缮偾蠡虿磺蠓戳L制彎矩圖。

例如：1.

懸臂部分及簡(jiǎn)支梁部分，彎矩圖可先繪出。2.

充分利用彎矩圖的形狀特征(直線、零值)。3.

剛結(jié)點(diǎn)處的力矩平衡條件。4.

用疊加法作彎矩圖。5.

平行于桿軸的力及外力偶產(chǎn)生的彎矩為常數(shù)。6.

與桿軸重合的力不產(chǎn)生彎矩等。

以例說(shuō)明如下作M圖——本課程最重要的基本功之一方法：1．標(biāo)準(zhǔn)單跨梁：懸臂、簡(jiǎn)支

例3—8繪制剛架的彎矩圖。解：由剛架整體平衡條件∑FX=0得FBH=5kN(←)此時(shí)不需再求豎向反力便可繪出彎矩圖。有：MA=0,MEC=0MCE=20kN·m（外）MCD=20kN·m（外）MB=0MDB=30kN·m（外）MDC=40kN·m（外）5kNE2020304075450返回例3—9作剛架的彎矩圖。PaPaPaPaPaPa解：此剛架為多剛片結(jié)構(gòu)，可按“先附屬后基本”的順序計(jì)算。這里，我們不求反力直接作彎矩圖。0§3-5靜定結(jié)構(gòu)特性（1）靜力解答唯一性

——全部反力、內(nèi)力可用平衡條件唯一確定（2）非荷載因素（溫度改變，支座位移等）

——不引起內(nèi)力（3）平衡力系的影響平衡力系組成的荷載

——作用于靜定結(jié)構(gòu)的某一幾何