第三章 粉體層靜力學(xué)

粉體層靜力學(xué)西南科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院陳金祥摩擦力靜止?fàn)顟B(tài)保持靜止——摩擦角

——摩擦系數(shù)一.粉體的摩擦特性

1.基礎(chǔ)理論應(yīng)力:作用力與受力面積的比值主應(yīng)力t=0時(shí)的垂直應(yīng)力。主應(yīng)力作用面——主應(yīng)力面任意點(diǎn)的應(yīng)力都可分解為相互垂直的三個(gè)主應(yīng)力面s1>s2>s3，最大主應(yīng)力s1和最小主應(yīng)力s3組成的平面應(yīng)力系。剪應(yīng)力鉛垂應(yīng)力2.粉體均質(zhì)性假定

對(duì)于實(shí)際粉體來(lái)說(shuō)，填充狀態(tài)和力學(xué)性質(zhì)均一的情況很少。假定粉體完全均質(zhì)。不討論構(gòu)成粉體層的單個(gè)顆粒，而將整體看作連續(xù)體。3.粉體力學(xué)分析

莫爾圓概念二元應(yīng)力系分析,粉體中任取一點(diǎn),建立平面坐標(biāo)系,在次點(diǎn)任取一單位厚度的微元三角形,則該點(diǎn)的受力狀態(tài)在靜態(tài)時(shí)可表示為如圖X方向和y方向的受力平衡方程消去l

直角坐標(biāo)系圓的方程莫爾圓由下列方程所表達(dá)的圓,可給出任意θ角的壓應(yīng)力和剪應(yīng)力,該圓就稱為莫爾圓或者:4.莫爾圓分析對(duì)下式求導(dǎo),并取為0,則可計(jì)算其極值,即其最大值和最小值取此時(shí)的θ為ψ,整理上式則:此時(shí)的ψ就是最大主應(yīng)力的作用方向與x軸的夾角,在無(wú)剪切力時(shí),垂直應(yīng)力即主應(yīng)力,得最大最小主應(yīng)力如下:變換:代入上式:莫爾圓與粉體層的對(duì)應(yīng)關(guān)系在x,y坐標(biāo)中,σx,τxy相當(dāng)于作用在θ=0的面上,σy,τyx相當(dāng)于作用于θ=π/2的面上.在莫爾圓中,以σ,τ為坐標(biāo),他們是處于圓心的對(duì)稱位置,僅差π.因此,可以寫(xiě)出關(guān)系式:如果將x,y軸取在主應(yīng)力面上,則有:5.莫爾圓的圖解法已知:最大主應(yīng)力σ1,最小主應(yīng)力σ3,最小主應(yīng)力面和x軸的夾角φ,見(jiàn)圖a求:任意方向面A-B上所作用的應(yīng)力.

作圖:以σ1

,σ3作莫爾圓(圖b)從σ3點(diǎn)C引線CP并與σ軸成夾角φ由P點(diǎn)作A-B的平行線和莫爾圓交于QQ點(diǎn)的坐標(biāo)即為作用于A-B面上的應(yīng)力值(σ,τ)第三章粉體靜力學(xué)三、極限應(yīng)力狀態(tài)

在粉體層加壓不大時(shí)，因粉體層的強(qiáng)度足以抵御外界壓力，此時(shí)粉體層外觀不起變化，當(dāng)壓力達(dá)到某一極性狀態(tài)時(shí)，此時(shí)的應(yīng)力稱極限應(yīng)力。分體層就會(huì)突然崩壞，這與金屬脆性材料的斷裂是一致的。

如三軸壓縮試驗(yàn)時(shí)，其破壞大都在與主應(yīng)力方向成附近，直接剪切試驗(yàn)也表明了這一點(diǎn)，無(wú)論采用什么方法試驗(yàn)，我們只要做出實(shí)驗(yàn)過(guò)程中應(yīng)力圓（Mohr）找出其各Mohr圓的包絡(luò)線與軸的夾角即為該粉體層的內(nèi)摩擦角。如果該粉體的包絡(luò)線呈一條直線，我們稱該粉體為庫(kù)倫粉體，否則稱作粗輪分體，在現(xiàn)行工業(yè)中（硅酸鹽行業(yè)）大部分粉體屬于庫(kù)倫粉體，且有下式第三章粉體靜力學(xué)對(duì)于庫(kù)倫粉體上式還有另一種表示其中

為分體的表觀抗拉強(qiáng)度，即包絡(luò)線與軸交點(diǎn)距原點(diǎn)距離，當(dāng)粉體為非粘附性粉體時(shí)則有K為Rankine系數(shù)（非粘附性粉體），對(duì)于粘附性粉體，則有，則有第三章粉體靜力學(xué)解上述三個(gè)方程有第三章粉體靜力學(xué)四、主動(dòng)及被動(dòng)受壓

此時(shí)水平應(yīng)力和鉛直應(yīng)力之比

稱為粉體壓系數(shù)，

為主動(dòng)粉體壓系數(shù)，

為被動(dòng)粉體壓系數(shù)。當(dāng)

時(shí)從上式中我們可以看到

（在非粘附性分體條件下）

6.摩擦角粉體流動(dòng)（顆粒從運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變?yōu)殪o止?fàn)顟B(tài)）所形成的角度，是表征粉體力學(xué)行為和流動(dòng)狀況的重要參數(shù)。由于顆粒間的摩擦力和內(nèi)聚力形成的角度統(tǒng)稱為摩擦角。根據(jù)顆粒群運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同，分為內(nèi)摩擦角壁面摩擦角運(yùn)動(dòng)摩擦角安息角/休止角7.內(nèi)摩擦角的測(cè)定方法剪切盒法三軸壓縮試驗(yàn)流出法抽棒法活塞法慢流法壓力法

8.內(nèi)摩擦角的確定粉體層受力小，粉體層外觀上不產(chǎn)生變化摩擦力的相對(duì)性作用力達(dá)到極限應(yīng)力，粉體層突然崩壞極限應(yīng)力狀態(tài)，由一對(duì)正壓力和剪應(yīng)力組成在粉體層任意面上加一垂直應(yīng)力，并逐漸增加該層面的剪應(yīng)力，當(dāng)剪應(yīng)力達(dá)到某一值時(shí)，粉體層將沿此面滑移。內(nèi)摩擦角的確定內(nèi)摩擦角即表示該極限應(yīng)力狀態(tài)下剪應(yīng)力與垂直應(yīng)力的關(guān)系，它可用莫爾圓和破壞包絡(luò)線來(lái)描述。破壞包絡(luò)線與σ的夾角稱為內(nèi)摩擦角剪切盒試驗(yàn)剪切盒試驗(yàn)剪切盒試驗(yàn)表：剪切試驗(yàn)測(cè)定例垂直應(yīng)力s（*105Pa）0.2530.5050.7551.01剪應(yīng)力t（*105Pa）0.4500.5370.6290.718二.莫爾-庫(kù)侖定律

莫爾最初提出的強(qiáng)度理論，認(rèn)為材料破壞是剪切破壞，在破壞面上τf=f(σ)，由此函數(shù)關(guān)系所定的曲線，稱為莫爾破壞包絡(luò)線。1776年，庫(kù)侖總結(jié)出粉體（土）的抗剪強(qiáng)度規(guī)律。

庫(kù)侖定律是莫爾強(qiáng)度理論的特例。此時(shí)莫爾破壞包線為一直線。以庫(kù)侖定律表示莫爾破壞包絡(luò)線的理論稱莫爾—庫(kù)侖破壞定律。法國(guó)軍事工程師在摩擦、電磁方面奠基性的貢獻(xiàn)1773年發(fā)表土壓力方面論文，成為經(jīng)典理論。庫(kù)侖（C.A.Coulomb）(1736-1806)

莫爾-庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律對(duì)于非粘性粉體τ=σtgφi

對(duì)于粘性粉體τ=c+σtgφi一、粉體的抗剪強(qiáng)度規(guī)律莫爾-庫(kù)侖定律①莫爾圓Ⅰ位于破壞包絡(luò)線IYF的下方，說(shuō)明該點(diǎn)在任何平面上的剪應(yīng)力都小于極限剪切應(yīng)力，因此不會(huì)發(fā)生剪切破壞；

②莫爾圓Ⅱ與破壞包絡(luò)線IYF相切，切點(diǎn)為A，說(shuō)明在A點(diǎn)所代表的平面上，剪應(yīng)力正好等于極限剪切應(yīng)力，該點(diǎn)就處于極限平衡狀態(tài)。圓Ⅱ稱為極限應(yīng)力圓；③破壞包絡(luò)線IYF是摩爾圓Ⅲ的一條割線，這種情況是不存在的，因?yàn)樵擖c(diǎn)任何方向上的剪應(yīng)力都不可能超過(guò)極限剪切應(yīng)力。莫爾-庫(kù)侖定律

把莫爾應(yīng)力圓與庫(kù)侖抗剪強(qiáng)度定律互相結(jié)合起來(lái)。通過(guò)兩者之間的對(duì)照來(lái)對(duì)粉體所處的狀態(tài)進(jìn)行判別。把莫爾應(yīng)力圓與庫(kù)侖抗剪強(qiáng)度線相切時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，破壞狀態(tài)—稱為莫爾－庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則，它是目前判別粉體(粉體單元)所處狀態(tài)的最常用或最基本的準(zhǔn)則。

根據(jù)這一準(zhǔn)則，當(dāng)粉體處于極限平衡狀態(tài)即應(yīng)理解為破壞狀態(tài)，此時(shí)的莫爾應(yīng)力圓即稱為極限應(yīng)力圓或破壞應(yīng)力圓，相應(yīng)的一對(duì)平面即稱為剪切破壞面（簡(jiǎn)稱剪破面）。τ-σ線為直線a：處于靜止?fàn)顟B(tài)τ-σ線為直線b：臨界流動(dòng)狀態(tài)/流動(dòng)狀態(tài)τ-σ線為直線c：不會(huì)出現(xiàn)的狀態(tài)莫爾圓與抗剪強(qiáng)度線間的位置關(guān)系：1.莫爾圓位于抗剪強(qiáng)度線的下方；2.抗剪強(qiáng)度線與莫爾圓在S點(diǎn)相切；3.抗剪強(qiáng)度線與莫爾圓相割。庫(kù)侖摩擦系數(shù)可以表示成?i－粉體的內(nèi)摩擦角FNG類比法粉體的極限平衡條件ABDOτστ＝τf極限平衡條件莫爾－庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則極限應(yīng)力圓破壞應(yīng)力圓剪切破壞面粉體分類MolerusⅠ類粉體：初始抗剪強(qiáng)度為零的粉體MolerusⅡ類粉體：初始抗剪強(qiáng)度不為零，但與預(yù)壓縮應(yīng)力無(wú)關(guān)的粉體MolerusⅢ類粉體：初始抗剪強(qiáng)度不為零，且與預(yù)壓縮應(yīng)力有關(guān)的粉體，內(nèi)摩擦角也與預(yù)應(yīng)力有關(guān)特點(diǎn)：MolerusⅠ類粉體：不團(tuán)聚、不可壓縮、流動(dòng)性好且流動(dòng)性與粉體預(yù)壓縮應(yīng)力無(wú)關(guān)。MolerusⅡ類粉體：有一定的團(tuán)聚性、可壓縮性和流動(dòng)性，且流動(dòng)性與預(yù)壓縮應(yīng)力無(wú)關(guān)，即初抗剪強(qiáng)度c與外載N無(wú)關(guān)。MolerusⅢ類粉體：有較強(qiáng)團(tuán)聚性和可壓縮性、較差流動(dòng)性且流動(dòng)性與預(yù)壓縮應(yīng)力有關(guān)。

粉體流動(dòng)和臨界流動(dòng)的充要條件，臨界流動(dòng)條件在（σ，τ）坐標(biāo)中是直線：IYF

莫爾-庫(kù)侖定律：粉體內(nèi)任一點(diǎn)的莫爾應(yīng)力圓在IYF的下方時(shí)，粉體將處于靜止?fàn)顟B(tài)；粉體內(nèi)某一點(diǎn)的莫爾應(yīng)力圓與IYF相切時(shí)，粉體處于臨界流動(dòng)或流動(dòng)狀態(tài)庫(kù)侖粉體：符合庫(kù)侖定律的粉體1壁面摩擦效應(yīng)粉體的摩擦性(其他表達(dá))

2.安息角/休止角安息角/休止角AngleofRepose安息角/休止角，是指物料堆積層的自由表面在靜平衡狀態(tài)下，與水平面形成的最大角度。它是通過(guò)特定方式使物料自然下落到特定平臺(tái)上形成的，是由自重運(yùn)動(dòng)形成的角。往往將該角度視作粉體的“粘度”。安息角對(duì)物體的流動(dòng)性影響最大：安息角越小，粉體的流動(dòng)性越好。-安息角也稱自然坡度角，是由物料間相互摩擦系數(shù)決定的，它會(huì)影響到料堆的形狀。

FluidflowPowderflowVessels實(shí)驗(yàn)觀察WaterRice保持靜止的最大角度ωFluidPowderCylinder安息角/休止角安息角/休止角安息角的測(cè)定方法排出角法注入角法滑動(dòng)角法剪切盒法……不同方法測(cè)得的安息角數(shù)值有明顯差異，即使同一方法也可能得到不同值——粉體顆粒的不均勻性以及實(shí)驗(yàn)條件限制所致。靜止?fàn)顟B(tài)的粉體堆積體自由表面與水平面之間的夾角為休止角，用α表示,α越小流動(dòng)性越好。測(cè)定方法不同所得數(shù)據(jù)有所不同，重現(xiàn)性差。

汽車斗倒沙子攪拌機(jī)中沙石混合存儲(chǔ)糧食的各種料倉(cāng)結(jié)構(gòu)BT-1000PowderIntegrativeCharacteristicTesterMulti-functiondevices安息角/休止角3728.852.0鋪路石358.730.8小麥3524.943.9沙子3413.635.5黃米284.934.0玻璃珠3610.234.9小米276.530.0玻璃珠358.238.2薏米339.350.8大楂子235.647.6香米3511.035.7小楂子317.621.6黑米308.330.1花豆3511.041.0大米298.730.2豇豆3410.332.5粘高粱米2610.241.7黃豆3111.836.9高粱米α(o)Φω(o)ΦI(o)粉體α(o)Φω(o)ΦI(o)粉體內(nèi)摩擦角、壁面摩擦角、安息角。表2-4一些粉體安息角的測(cè)量結(jié)果幾點(diǎn)討論：球形顆粒：a=23～28°，流動(dòng)性好。規(guī)則顆粒：a

≈30°，流動(dòng)性較好。不規(guī)則顆粒：a≈35°，流動(dòng)性一般。極不規(guī)則顆粒：a＞40°，流動(dòng)性差。安息角/休止角注：對(duì)于細(xì)顆粒，安息角與粉體從容器流出的速度、容器的提升速度、轉(zhuǎn)筒的旋轉(zhuǎn)速度有關(guān)。所以，安息角不是細(xì)顆粒的基本物性。安息角/休止角空隙率對(duì)粉體摩擦特性的影響若以μi為內(nèi)摩擦系數(shù),ε為空隙率,根據(jù)庫(kù)侖摩擦方程和顆粒堆積模型假設(shè),可推出如下公式:內(nèi)摩擦系數(shù)μ內(nèi)聚力C粉體被動(dòng)和主動(dòng)側(cè)壓系數(shù)朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)朗肯主動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)朗肯被動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)被動(dòng)土壓主動(dòng)土壓朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)朗肯主動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)莫爾－庫(kù)侖定律為

朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)

朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)c=0朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)KA－朗肯主動(dòng)應(yīng)力系數(shù)，簡(jiǎn)稱主動(dòng)態(tài)系數(shù)MolerusI類粉體:KA是臨界流動(dòng)狀態(tài)時(shí)，最小主應(yīng)力與最大主應(yīng)力之比朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)朗肯被動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)莫爾－庫(kù)侖定律為c=0朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)KA－朗肯被動(dòng)應(yīng)力系數(shù)，簡(jiǎn)稱被動(dòng)態(tài)系數(shù)MolerusI類粉體:KP是臨界流動(dòng)狀態(tài)時(shí)，最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之比。被動(dòng)態(tài)應(yīng)力σP與主動(dòng)態(tài)應(yīng)力σA之比等于朗肯(Rankine,1957)應(yīng)力狀態(tài)朗肯主動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)朗肯被動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)第三章粉體靜力學(xué)五、倉(cāng)內(nèi)粉體層壓力分布（一）Janssen公式在圖中考慮松密度的粉體成為均勻填充場(chǎng)合下，深度h處取微單元分析其受力,容器壁與粉體摩擦系數(shù)為

（因?yàn)槭侵鲃?dòng)受壓情況）容器直徑,對(duì)微單元體進(jìn)行受力分析并在鉛直方向取力平衡整理后得

積分得第三章粉體靜力學(xué)五、倉(cāng)內(nèi)粉體層壓力分布