【優(yōu)化方案】高中數(shù)學(xué) 第2章2.2.2反證法課件 新人教選修12

2．2.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法．2．理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題．知能優(yōu)化訓(xùn)練課前自主學(xué)案

2．2.2反證法課堂互動(dòng)講練課前自主學(xué)案綜合法是“________”，而分析法則是“________”．它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸罚C合法便于過(guò)程的敘述，兩種方法各有所長(zhǎng)，在解決具體的問(wèn)題時(shí)，綜合運(yùn)用效果會(huì)更好．溫故夯基由因?qū)Ч麍?zhí)果索因1．反證法假設(shè)原命題______(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明________，從而證明了__________，這種證明方法叫做反證法．2．反證法常見(jiàn)矛盾類(lèi)型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與________、____、____、____等矛盾．知新益能不成立假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立已知條件公理定義定理用反證法證明命題“若p，則q”時(shí)，為什么q假q就真？提示：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯(cuò)誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論q的反面q錯(cuò)誤時(shí)，q就一定正確．問(wèn)題探究課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一用反證法證明否定性命題考點(diǎn)突破結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題，此類(lèi)命題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．【思路點(diǎn)撥】直接說(shuō)明，不易入手，故應(yīng)用反證法.例1【思維總結(jié)】本題涉及方程的根，所以應(yīng)從根的范圍上或者從值域的表達(dá)式上尋找矛盾．變式式訓(xùn)訓(xùn)練練1已知知a＋b＋c＝0，求求證證：：ab＋bc＋ca不大大于于零零．．證明明：：假設(shè)設(shè)ab＋bc＋ca>0，因?yàn)闉閍2＋b2＋c2≥0.則(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.所以以(a＋b＋c)2>0，即即a＋b＋c≠0，這這與與a＋b＋c＝0矛盾盾，，所所以以假假設(shè)設(shè)不不成成立立，，故故ab＋bc＋ca≤0.當(dāng)命命題題中中出出現(xiàn)現(xiàn)“至少少………””、“至多多………””、“不都都………””、“都不不………””、“沒(méi)有有………””、“唯一一”等指指示示性性詞詞語(yǔ)語(yǔ)時(shí)時(shí)，，宜宜用用反反證證法法．．注注意意“至少少有有一一個(gè)個(gè)”、“至多多有有一一個(gè)個(gè)”、“都是是”的否否定定形形式式分分別別為為“一個(gè)個(gè)也也沒(méi)沒(méi)有有”、“至少少有有兩兩個(gè)個(gè)”、“不都都是是”．考點(diǎn)二用反證法證明存在性問(wèn)題已知知a≥－1，求證三三個(gè)方程程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少少有一一個(gè)方方程有有實(shí)數(shù)數(shù)解．．例2【思維總總結(jié)】反證法法的主主要依依據(jù)是是邏輯輯中的的排中中律，，排中中律的的一般般表現(xiàn)現(xiàn)形式式是：：或者者是A，或者者非A，即在在同一一討論論過(guò)程程中，，A和非A有一個(gè)個(gè)且僅僅有一一個(gè)是是對(duì)的的，不不能有有第三三種情情形出出現(xiàn)．．結(jié)論以以“有且只只有一一個(gè)”、“只有一一個(gè)”、“唯一存存在”等形式式出現(xiàn)現(xiàn)的命命題，，由于于反設(shè)設(shè)結(jié)論論易于于導(dǎo)出出矛盾盾，所所以用用反證證法證證其唯唯一性性簡(jiǎn)單單明了了．已知：：一點(diǎn)點(diǎn)A和平面面α.求證：：經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)A只能有有一條條直線(xiàn)線(xiàn)和平平面α垂直．．考點(diǎn)三用反證法證明唯一性問(wèn)題例3【思路點(diǎn)點(diǎn)撥】【證明】根據(jù)點(diǎn)A和平面α的位置關(guān)系系，分兩種種情況證明明．圖1(1)如圖1，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，假設(shè)經(jīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面面α的兩條垂線(xiàn)線(xiàn)AB、AC，那么AB、AC是兩條相交交直線(xiàn)，它它們確定一一個(gè)平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)A的一條直線(xiàn)線(xiàn)a.因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線(xiàn)線(xiàn)都和直線(xiàn)線(xiàn)a垂直，這與與平面幾何何中經(jīng)過(guò)直直線(xiàn)上一點(diǎn)點(diǎn)只能有已已知直線(xiàn)的的一條垂線(xiàn)線(xiàn)相矛盾．．(2)如圖2，點(diǎn)A在平面α外，假設(shè)經(jīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面面α的兩條垂線(xiàn)線(xiàn)AB和AC(B、C為垂足)，那么AB、AC是兩條相交交直線(xiàn)，它它們確定一一個(gè)平面β，平面β和平面α相交于直線(xiàn)線(xiàn)BC，因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.圖2在平面β內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線(xiàn)線(xiàn)都和BC垂直，這與與平面幾何何中經(jīng)過(guò)直直線(xiàn)外一點(diǎn)點(diǎn)只能有已已知直線(xiàn)的的一條垂線(xiàn)線(xiàn)相矛盾．．綜上，經(jīng)過(guò)過(guò)一點(diǎn)A只能有平面面α的一條垂線(xiàn)線(xiàn)．【思維總結(jié)】證明“有且只有一一個(gè)”的問(wèn)題，需需要證明兩兩個(gè)命題，，即存在性性和唯一性性．變式訓(xùn)練3求證方程2x＝3有且僅有一一個(gè)實(shí)根．．證明：∵2x＝3，∴x＝log23，這說(shuō)明明方程有有一個(gè)根根．下面用反反證法證證明根的的唯一性性．假設(shè)方程程2x＝3有兩個(gè)根根b1，b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3，兩式相相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾．．如果b1－b2<0，則2b1－b2<1，這與2b1－b2＝1相矛盾．．因此b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2相矛盾．．如果方程程的根多多于兩個(gè)個(gè)，同樣樣可推出出矛盾．．故方程2x＝3有且只有有一個(gè)根根．方法技巧巧1．反證法法不是直直接去證證明結(jié)論論，而是是先否定定結(jié)論，，在否定定結(jié)論的的基礎(chǔ)上上，運(yùn)用用演繹推推理，導(dǎo)導(dǎo)出矛盾盾，從而而肯定結(jié)結(jié)論的真真實(shí)性．．方法感悟2．結(jié)論為為肯定形形式或者者否定形形式的命命題的證證明常用用反證法法，通過(guò)過(guò)反設(shè)將將肯定命命題轉(zhuǎn)化化為否定定命題或或?qū)⒎穸ǘ}轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為肯肯定命題題，然后后用轉(zhuǎn)化化后的命命題作為為條件進(jìn)進(jìn)行推理理，很容容易推出出矛盾，，從而達(dá)達(dá)到證題題的目的的．3．常用正正面詞語(yǔ)語(yǔ)的否定定形式正面詞語(yǔ)否定正面詞語(yǔ)否定等于不等于都是不都是(至少有一個(gè)不是)小于不小于(大于或等于)