簡單幾何體的表面積與體積【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義（Word含解析）

簡單幾何體的表面積與體積【知識(shí)點(diǎn)一】空間幾何體的表面積一般地，我們可以把多面體展開成平面圖形，求出展開圖中各個(gè)小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積．1.直棱柱和正棱錐的表面積(1)直棱柱的側(cè)面積①側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h(yuǎn)，因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(2)正棱錐的側(cè)面積①如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長都相等．②棱錐的側(cè)面展開圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積．如果正棱錐的底面周長為c，斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h′，它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.2.正棱臺(tái)的表面積正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)．與正棱錐的側(cè)面積公式類似，若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長分別為c′，c，斜高為h′，則其側(cè)面積是S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積【推導(dǎo)圓柱側(cè)面積及表面積】S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．【推導(dǎo)圓錐側(cè)面積及表面積】底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側(cè)＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．【推導(dǎo)圓臺(tái)側(cè)面積及表面積】由題圖知，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺(tái)上底周長，外弧長等于圓臺(tái)下底周長，則eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl，表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝πrl，表面積：S＝πr(r＋l)圓臺(tái)上底面面積：S上底＝πr′2，下底面面積：S下底＝πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)，表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【知識(shí)點(diǎn)21】空間幾何體的體積一、一、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式1．柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)．2．錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．3．臺(tái)體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S為上、下底面面積，h為高)．4．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.二、球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.三、球體的截面的特點(diǎn)1．球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓．2．利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑．【例1-1】已知正六棱柱的高為，底面邊長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．【例1-2】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長分別為和，側(cè)棱長為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）.A． B． C． D．【變式1-1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側(cè)面的對(duì)角線長是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．【變式1-2】棱長為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【例2-1】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（）A． B．1 C． D．【例2-2】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長為的直角三角形，俯視圖是半徑為，圓心角為的扇形，則該幾何體的表面積是（）A.B.C.D.【變式2-1】如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）

A． B． C． D．【變式2-3】正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【變式2-4】如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.

（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【例3】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【變式3-1】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺(tái)的表面積是________cm2.(結(jié)果中保留π)【變式3-2】把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A．10 B． C． D．【例4】已知圓錐的母線長為5，底面周長為，則它的體積為（）A． B． C． D．【變式4】將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【例5-1】已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比為（）A． B． C． D．【例5-2】已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長都為，求這個(gè)球的表面積（）A． B． C． D．【變式5-1】棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【變式5-2】將一個(gè)棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A． B． C． D．【例6】如圖，一個(gè)無蓋的器皿是由棱長為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（）A．54 B． C． D．【變式6】某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．【例7-1】（外接球）(1)設(shè)長方體的長，寬，高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為________．(2)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．【例3-3】在正三棱錐S-ABC中，SA=27A.7B.8C.9D.10【例3-4】（球的截面問題）已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面積與球的體積．【變式3-1】一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間．【變式3-2】長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，則它的外接球表面積為________．【變式3-3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為________．【變式3-4】三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【變式3-5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.【變式3-6】三棱錐中，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.課后練習(xí)題1．長方體的高為2，底面積等于12，過不相鄰兩側(cè)棱的截面（對(duì)角面）的面積為10，則此長方體的側(cè)面積為()A．12 B．24 C．28 D．322．一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．203．由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺(tái)體建筑物（方亭）如圖，下底邊長丈，上底邊長丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A． B． C． D．5．圓柱底面半徑為1，母線長為2，則圓柱側(cè)面積為（）A． B． C． D．6．已知圓柱的底面半徑為1，若圓柱的側(cè)面展開圖的面積為，則圓柱的高為________．7．把一個(gè)棱長為2的正方體木塊，切出一個(gè)最大體積的圓柱，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．8.在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（）A． B． C． D．9.正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．10.如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．簡單幾何體的表面積與體積【知識(shí)點(diǎn)一】空間幾何體的表面積一般地，我們可以把多面體展開成平面圖形，求出展開圖中各個(gè)小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積．1.直棱柱和正棱錐的表面積(1)直棱柱的側(cè)面積①側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h(yuǎn)，因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(2)正棱錐的側(cè)面積①如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長都相等．②棱錐的側(cè)面展開圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積．如果正棱錐的底面周長為c，斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h′，它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.2.正棱臺(tái)的表面積正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)．與正棱錐的側(cè)面積公式類似，若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長分別為c′，c，斜高為h′，則其側(cè)面積是S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積【推導(dǎo)圓柱側(cè)面積及表面積】S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．【推導(dǎo)圓錐側(cè)面積及表面積】底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側(cè)＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．【推導(dǎo)圓臺(tái)側(cè)面積及表面積】由題圖知，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺(tái)上底周長，外弧長等于圓臺(tái)下底周長，則eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl，表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝πrl，表面積：S＝πr(r＋l)圓臺(tái)上底面面積：S上底＝πr′2，下底面面積：S下底＝πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)，表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【知識(shí)點(diǎn)21】空間幾何體的體積一、一、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式1．柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)．2．錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．3．臺(tái)體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S為上、下底面面積，h為高)．4．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.二、球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.三、球體的截面的特點(diǎn)1．球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓．2．利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑．【例1-1】已知正六棱柱的高為，底面邊長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．【解析】由題知側(cè)面積為，兩底面積之和為，所以表面積.故選：A.【例1-2】已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長分別為和，側(cè)棱長為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）.A． B． C． D．【解析】由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上下底邊長為和，腰長為的等腰梯形等腰梯形的高為：等腰梯形的面積為：棱臺(tái)的側(cè)面積為：本題正確選項(xiàng)：【變式1-1】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側(cè)面的對(duì)角線長是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意側(cè)棱長為．所以表面積為：．故選：A.【變式1-2】棱長為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：A【例2-1】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是故選：A【例2-2】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長為的直角三角形，俯視圖是半徑為，圓心角為的扇形，則該幾何體的表面積是（）A.B.C.D.【分析】試題分析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓錐的，其中圓錐的底面半徑是，高是，從而可得該幾何體的表面積是，故選A.【變式2-1】如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：故選：C【變式2-3】正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.【變式2-4】如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.

（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.【例3】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖圓錐的軸截面是頂角為，即，，,所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.【變式3-1】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺(tái)的表面積是________cm2.(結(jié)果中保留π)【答案】1100π【解析】如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為c，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，故c＝π×SA＝2π×10，所以SA＝20.同理可得SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)×AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.【變式3-2】把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面圓周長為，所以底面圓的半徑為r=10，所以圓錐的高為.故選：B【例4】已知圓錐的母線長為5，底面周長為，則它的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，因?yàn)榈酌嬷荛L為，所以，解得，又因?yàn)槟妇€長為5，所以h=4，所以圓錐的體積是故選：B【變式4】將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧長公式可求得弧長，圓錐底面周長為，圓錐底面半徑，圓錐的高，圓錐的體積.故選：.【例5-1】已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則，球的表面積為，正方體的表面積為，.故選：B【例5-2】已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長都為，求這個(gè)球的表面積（）A． B． C． D．【解析】設(shè)該正三棱錐為，將三棱錐補(bǔ)成正方體，如下圖所示：

則正方體的棱長為，該正方體的體對(duì)角線長為，所以，正三棱錐的外接球直徑為，可得，該球的表面積為.故選：C.【變式5-1】棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C【變式5-2】將一個(gè)棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的棱長為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B【例6】如圖，一個(gè)無蓋的器皿是由棱長為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（）A．54 B． C． D．【答案】C【解析】器皿的表面積是棱長為3的正方體的表面積減去半徑為1的圓的面積，再加上半徑為1的半球的表面積，即器皿的表面積．故選：C．【變式6】某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A【例7-1】（外接球）(1)設(shè)長方體的長，寬，高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為________．(2)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．【答案】（1）6πa2解析長方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，由長方體的體對(duì)角線為eq\r(2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a，得球的半徑為eq\f(\r(6),2)a，則球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2＝6πa2.（2）解如圖，等邊△ABC為圓錐的軸截面，截球面得圓O.設(shè)球的半徑OE＝R，OA＝eq\f(OE,sin30°)＝2OE＝2R.∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan30°＝eq\r(3)R，∴V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)π·BD2×AD＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)R)2×3R＝3πR3，∴V球∶V圓錐＝4∶9.【例3-3】在正三棱錐S-ABC中，SA=27A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】作的外接圓，過點(diǎn)C作外接圓的直徑CM，連接PM，則PM為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，如圖所示;∵∴又平面∴∴，即∴,故選D.【例3-4】（球的截面問題）已知過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面積與球的體積．【答案】如圖所示，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于點(diǎn)O1，由于OA＝OB＝OC＝R，則O1是△ABC的外心，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于AC＝BC，則O1∈CM.設(shè)O1M＝x，易知O1M⊥AB，則O1A＝eq\r(22＋x2)，O1C＝CM－O1M＝eq\r(62－22)－x.又O1A＝O1C，∴eq\r(22＋x2)＝eq\r(62－22)－x，解得x＝eq\f(7\r(2),4).∴O1A＝O1B＝O1C＝eq\f(9\r(2),4).在Rt△OO1A中，O1O＝eq\f(R,2)，∠OO1A＝90°，OA＝R，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9\r(2),4)))2＝R2，解得R＝eq\f(3\r(6),2)，則S球＝4πR2＝54π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝27eq\r(6)π.【變式3-1】一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間．【答案】(1)設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l，則h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．(2)球放入圓錐體后的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為r，由△OCD∽△ACO1，得eq\f(OD,AO1)＝eq\f(OC,AC)，所以eq\f(r,6)＝eq\f(8－r,10)，解得r＝3.因?yàn)閳A錐體剩余的空間為圓錐的體積減去球的體積，所以V錐－V球＝eq\f(1,3)×π×62×8－eq\f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．【變式3-2】長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，則它的外接球表面積為________．【答案】9π【解析】設(shè)長方體共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(3)，,bc＝\r(5)，,ac＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴外接球半徑為eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面積為4π×(eq\f(3,2))2＝9π.【變式3-3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為________．【答案】eq\f(7,3)πa2【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.【變式3-4】三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當(dāng)最短時(shí)，即時(shí)直線與平面所成角的正切的最大．此時(shí)，，在直角△中，．三棱錐擴(kuò)充為長方體，則長方體的對(duì)角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.【變式3-5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】A由已知中知幾何體的正視圖是一個(gè)正三角形，側(cè)視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體是有一個(gè)側(cè)面垂直于底面，高為，底面是一個(gè)等腰直角三角形的三棱錐，如圖，則這個(gè)幾何體的外接球的球心在高線上，且是等邊三角形的中心，這個(gè)幾何體的外接球的半徑，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為，故選A.【變式3-6】三棱錐中，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作的外接圓，過點(diǎn)C作外接圓的直徑CM，連接PM，則PM為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，如圖所示;∵∴又