第三章1重力場基本理論

第三章1.地球重力場的基本理論——引力、離心力與重力——引力位與離心力位——地球的正常重力位——正常重力公式難，只需掌握基本概念重力場理論為研究課程上一講應掌握的內(nèi)容1、測量坐標參考系統(tǒng)由基準和坐標系兩方面要素構(gòu)成?；鶞适侵赣靡悦枋龅厍蛐螤畹膮⒖紮E球的參數(shù)以及參考橢球在空間中的定位及定向，甚至還包括單位長度。狹義的坐標系是指點位表示方法（3種），廣義的坐標系是由坐標原點、坐標軸的指向和尺度所定義的。2、建立地固坐標系統(tǒng)必須解決的問題確定橢球的形狀和大?。ㄩL半徑a和扁率α等）；確定橢球中心的位置（橢球定位）；確定橢球短軸的指向（橢球定向）；建立大地原點。()上一講應掌握的內(nèi)容3、1954年北京坐標系的特點4、1980年國家大地坐標系特點5、新1954年北京坐標系的特點6、WGS-84世界大地坐標系7、站心坐標系以測站為原點，測站上的法線(垂線)為Z軸方向的坐標系就稱為法線(或垂線)站心坐標系。常用來描述參照于測站點的相對空間位置關系。工程上在小范圍內(nèi)有時也直接采用站心坐標系。8、不同空間直角坐標系轉(zhuǎn)換考查學生一、牛頓萬有引力定律宇宙空間任意兩質(zhì)點，彼此相互吸引，其引力大小與他們的質(zhì)量乘積成正比，與他們之間的距離平方成反比。在相對運動中，行星相對于太陽運動的相對加速度：向心加速度二、引力、離心力與重力用F及P分別表示地球引力及質(zhì)點繞地球自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的離心力，這兩個力的合力稱地球重力用g表示離心力P在赤道達最大值，但數(shù)值比地球引力1/200還要小一些。故重力基本上由地球引力確定的。當高出地面35730km處，重力加速度將改變符號，背向地球。三、引力位和離心力位位函數(shù)的概念：設有一標量函數(shù)，它對被吸引點各坐標方向的偏導數(shù)等于引力在相應方向上的分力，則此函數(shù)稱為位函數(shù)。位函數(shù)的形式為：（一）引力位：單位質(zhì)點受物質(zhì)M的引力作用產(chǎn)生的位能稱為引力位，或者說將單位質(zhì)點從無窮遠處移動到該點引力所做的功。即：由牛頓第二定律可導出：單位質(zhì)點的物體在引力場中的加速度等于引力位的導數(shù)，方向與徑向方向相反。（一）引力位萬有引力定律：推導如下:假設沿力的方向做功為，則有此功等于位能的減少，積分則有：因為r→∞,V=0。所以C=0，則有取m=1，（二）離心力位質(zhì)點坐標可用質(zhì)點向徑r，地心緯度φ及經(jīng)度λ表示為：（圖3-2）地球自轉(zhuǎn)僅僅引起經(jīng)度變化，而它對時間的一階導數(shù)等于地球自轉(zhuǎn)角速度ω時，得坐標對時間的二階導數(shù)就是質(zhì)點的離心加速度，即該方向分力。（二）離心力位(續(xù))假定一個函數(shù)（離心力位）：則有：因此，我們可把Q稱為離心力位函數(shù)。（三）重力位重力是引力和離心力的合力，重力位W是引力位V和離心力位Q之和：對三坐標軸求偏導數(shù)求得重力的分力或重力加速度分量：由各分力可計算重力加速度（模）：重力位在任意方向的偏導數(shù)等于重力在該方向上的分力：

重力位(續(xù))當g與l相垂直時，那么dＷ=0，有Ｗ＝常數(shù)當給出不同的常數(shù)值，就得到一簇曲面，稱為重力等位面，也就是我們通常說的水準面?？梢娝疁拭嬗袩o窮多個。其中，我們把完全靜止的海水面所形成的重力等位面，專稱它為大地水準面。如果令g與l夾角等于π，則有：水準面之間既不平行，也不相交和相切。重力的單位對于某一單位質(zhì)點而言，作用其上的重力在數(shù)值上等于使它產(chǎn)生的重力加速度的數(shù)值，所以重力即采用重力加速度的量綱，單位是：伽(Gal=cms－２)，毫伽(mGal=Gal/1000=10－５ms－２)微伽(μGal=mGal/1000=10－８ms－２)地面點重力近似值980Gal，赤道重力值978Gal，兩極重力值983Gal。由于地球的極曲率及周日運動的原因，重力有從赤道向兩極增大的趨勢。地球上重力的大小與方向只與被吸引點的位置有關，理論上應該是常數(shù)，但重力是隨時間變化而變化，即相同的點在不同的時刻所觀測到的重力不相同。(微)極赤重力差約5伽四、地球的正常重力位要精確計算出地球重力位，必須知道地球表面的形狀及內(nèi)部物質(zhì)密度，但前者正是我們要研究的，后者分布極其不規(guī)則，目前也無法知道，故根據(jù)上式不能精確地求得地球的重力位，為此引進一個與其近似的地球重力位——正常重力位。正常重力位是一個函數(shù)簡單、不涉及地球形狀和密度便可直接計算得到的地球重力位的近似值的輔助重力位。當知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差異(稱擾動位)，便可求出大地水準面與這已知形狀(正常位水準面)的差異。最后解決確定地球重力位和地球形狀的問題。重力位用球諧函數(shù)表示的地球引力位的公式勒讓德多項式稱為n階主球函數(shù)(或帶球函數(shù))。稱為n階K級的勒讓德締合函數(shù)(或伴隨函數(shù))。

稱為締合球函數(shù)(其中，當k=n時稱為扇球函數(shù)，當k≠n時稱為田球函數(shù))。第n階地球引力位公式地球正常重力位當選取前3項時，將重力位W寫成U地球正常重力位的公式現(xiàn)在需要求系數(shù)：若地球是旋轉(zhuǎn)橢球體，則有轉(zhuǎn)動慣量，將系數(shù)代入則有：式中：

設赤道的離心力與重力之比為：令：地球形狀參數(shù)。則有：地球正常重力位的公式與大地水準面相近的正常位水準面方程注意：如果正常重力位已知，則對應的正常水準面已知，不同的正常重力位對應不同的正常位水準面，我們尋找的是與大地水準面相近的正常位水準面的形狀，上式中，對r和取不同的常數(shù)值，就得到一簇正常位水準面。取，求得與大地水準面相近的正常位水準面方程：聯(lián)立求解得：

將分母展開，并略去μ、q平方以上各高次項，就得到一個旋轉(zhuǎn)體，其表面是一個水準面：五、正常重力公式正常重力位對于正常水準面法線（n）的變化量即為正常重力:(忽略n與向量r的區(qū)別)

顧及r與a的關系得：特例：，赤道正常重力：

，極點處正常重力：設重力扁率為β克萊羅定理（一般正常重力公式）：精確的正常重力公式：正常重力公式反映地球扁率與重力扁率的關系用不同的觀測數(shù)據(jù)，導出的正常重力公式：1901～1909年赫爾默特公式：1930年卡西尼公式：1975年國際地球正常重力公式：ＷGS84坐標系中的橢球重力公式：

不推導給出高出水準橢球面H米的正常重力計算公式

大約每升高3m，重力值減少1mGal六、正常重力場參數(shù)在物理大地測量中,正常橢球重力場可用4個基本參數(shù)決定,即：

地球正常(水準)橢球的基本參數(shù)，又稱地球大地基準常數(shù)是：

其中：用地球大地基準常數(shù)表示的正常重力位式中：P2n為主球諧系數(shù)，J2n為J2的閉合表達式；J2與地球扁率α有如下關系：ae為橢球長半軸?？偨Y(jié)引力位：離心力位：重力位：正常重力位（前3項）：與大地水準面相近的正常位水準面：大地水準面正常重力：赤道正常重力：極點正常重力：總結(jié)旋轉(zhuǎn)橢球體為我們提供了一個非常簡單而又精確的地球幾何形狀的數(shù)學模型，使一些公式推導與計算很方便。為了地面上以鉛垂線為依據(jù)的觀測數(shù)據(jù)歸算到橢球面上，還必須給這個橢球模型加上密合于實際地球的引力場。為此，我們首先把旋轉(zhuǎn)橢球賦予與實際地球橢球相等的質(zhì)量，同時假定它與地球一起旋轉(zhuǎn)，進而用數(shù)學約束條件把橢球面定義為其本身重力場中的一個等位面，并且這個重力場中的鉛垂線方向與橢球面相垂直，由此決定的旋轉(zhuǎn)橢球的重力場稱為正常重力場。這樣的橢球稱為正常橢球，也稱為水準橢球。結(jié)束再見!扇諧函數(shù)田諧函數(shù)+-1954年北京坐標系的特點1954年北京坐標系坐標系源自于原蘇聯(lián)采用過的1942年普爾科沃坐標系，屬參心坐標系。該坐標系采用的參考橢球是克拉索夫斯基橢球，與現(xiàn)代精確的橢球參數(shù)的差異較大。還是一個只有幾何量表示的橢球。該橢球并未依據(jù)當時我國的天文觀測資料進行重新定位，而是直接由前蘇聯(lián)西伯利亞地區(qū)的一等鎖，經(jīng)我國的東北地區(qū)傳算過來的。橢球定向不十分明確，橢球的短半軸不指向國際通用的CIO極。參考橢球面與我國大地水準面呈西高東低的系統(tǒng)性傾斜，東部高程異常達60余米，最大達68米。該坐標系統(tǒng)的大地點坐標是經(jīng)過局部分區(qū)平差得到的，即沒有進行整體平差。區(qū)與區(qū)之間存在較大的隙距。1980年國家大地坐標系特點采用國際大地測量協(xié)會1975年推薦的參考橢球IAG-75國際橢球，有四個幾何和物理參數(shù)。橢球的短軸平行于地球的自轉(zhuǎn)軸（由地球質(zhì)心指向1968.0JYD地極原點方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。屬參心坐標系。按照橢球面與似大地水準面在我國境內(nèi)符合最好的約束條件進行定位，大地原點確定在我國中部。高程系統(tǒng)以1956年黃海平均海水面為高程起算基準。在1980年國家大地坐標系中的大地點成果是經(jīng)過整體平差。新1954年北京坐標系的特點采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)。是綜合BJ54和GDZ80建立起來的參心坐標系。采用多點定位，但橢球面與大地水準面在我國境內(nèi)不是最佳擬合。定向明確，坐標軸平行與GDZ80相平行，橢球短軸平行于地球質(zhì)心指向1968.0JYD地極原點方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面。大地原點與GDZ80相同，但大地起算數(shù)據(jù)不同。大地高程基準采用1956年黃海系。與BJ54舊相比，所采用的橢球參數(shù)相同，其定位相近，但定向不同。BJ54舊的坐標是局部平差的結(jié)果，而BJ54新是GDZ80整體平差結(jié)果的轉(zhuǎn)換值。WGS-84世界大地坐標系WGS-84坐標系是目前GPS所采用的坐標系統(tǒng)，GPS衛(wèi)星所發(fā)布的廣播星歷參數(shù)就是基于此坐標系統(tǒng)的。WGS-84坐標系統(tǒng)的全稱是WorldGeodicalSystem-84（世界大地坐標系-84），它是一個地心地固坐標系統(tǒng)。WGS-84坐標系統(tǒng)由美國國防部制圖局建立，于1987年取代了當時GPS所采用的坐標系統(tǒng)―WGS-72坐標系統(tǒng)而成為GPS的所使用的坐標系統(tǒng)。WGS-84坐標系的坐標原點位于地球的質(zhì)心，Z軸指向BIH1984.0定義的協(xié)議地球極方向，X軸指向BIH1984.0的啟始子午面和赤道的交點，Y軸與X軸和Z軸構(gòu)成右手系.WGS-84坐標系與國際地球參考系（ITRS，最精密的地心地固坐標系）很接近，差異在2cm以內(nèi)。不同空間直角坐標系轉(zhuǎn)換一般存在3個平移參數(shù)和3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)以及1個尺度變化參數(shù)，共計有7個參數(shù)。如5個公共點

一般利用3個以上的公共點求解轉(zhuǎn)換參數(shù)引力位的基本性質(zhì)位函數(shù)沿任