二項分布練習題2022年高二數(shù)學人教A版選擇性必修隨機變量及其分布

二項分布1.某人進行投籃訓練100次,每次命中的概率為(相互獨立),則命中次數(shù)的標準差等于() 2.已知某同學每次射箭射中的概率為p,且每次射箭是否射中相互獨立,該同學射箭3次射中多于1次的概率為,則p=() 甲、乙兩隊進行友誼賽,采取三局兩勝制,每局都要分出勝負,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽中甲隊獲勝的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,則甲隊戰(zhàn)勝乙隊的概率為()A. B. C. D.4.(多選題)若X～B(20,,則()(X)=3 (X≥1)=(X)= (X=10)=×5.袋中裝有2個紅球,3個黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是________.

6.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層停靠.若該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為,用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則P(ξ=4)=________.

7.設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立.(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的期望;(2)設M為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.8.現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題,設張同學答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),求X的分布列.9.某公司是否對某一項目投資,由甲、乙、丙三位決策人投票決定,他們?nèi)硕加小巴狻薄爸辛ⅰ薄胺磳Α比惼备饕粡?投票時,每人必須且只能投一張,每人投三類票中的任何一類的概率都是,他們的投票相互沒有影響,規(guī)定:若投票結果中至少有兩張“同意”票,則決定對該項目投資;否則,放棄對該項目的投資.(1)求該公司決定對該項目投資的概率;(2)求該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票的概率.擴展練習1.設隨機變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,則P(η≥2)的值為()A.B.C.D.2.在2019年女排世界杯比賽中,中國隊以十一連勝的驕人成績奪得了冠軍,成功衛(wèi)冕,收到習近平總書記的賀電,團結協(xié)作、頑強拼搏是中國女排精神,為學習女排精神,A,B兩校排球隊進行排球友誼賽,采取五局三勝制,每局都要分出勝負,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,則在此次比賽中,四局結束比賽的概率為()A. B. C. D.3.已知某人每次投籃投中的概率均為,計劃投中3次則結束投籃,則此人恰好在第5次結束投籃的概率是________.

4.位于直角坐標原點的一個質點P按下列規(guī)則移動:質點每次移動一個單位,移動的方向向左或向右,并且向左移動的概率為,向右移動的概率為,則質點P移動五次后位于點(1,0)的概率是________.

5.在4次獨立重復的試驗中,隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是________.

6.如圖是高爾頓板的改造裝置示意圖,小球從入口處自由下落,已知在下落過程中,小球遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是.(1)求小球落入A袋的概率P(A);(2)在入口處依次放入4個小球,設落入A袋中的小球個數(shù)為ξ,求ξ的分布列.參考答案1.某人進行投籃訓練100次,每次命中的概率為(相互獨立),則命中次數(shù)的標準差等于() 分析：選D.命中次數(shù)服從ξ～B(100,;所以命中次數(shù)的標準差等于=4.2.已知某同學每次射箭射中的概率為p,且每次射箭是否射中相互獨立,該同學射箭3次射中多于1次的概率為,則p=() 分析：選C.某同學每次射箭射中的概率為p,且每次射箭是否射中相互獨立,該同學射箭3次射中多于1次的概率為,則1-=,解得p=.3.甲、乙兩隊進行友誼賽,采取三局兩勝制,每局都要分出勝負,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽中甲隊獲勝的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,則甲隊戰(zhàn)勝乙隊的概率為()A. B. C. D.分析：選C.甲、乙兩隊進行友誼賽,采取三局兩勝制,每局都要分出勝負,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽中甲隊獲勝的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,甲隊戰(zhàn)勝乙隊包含兩種情況:①甲連勝2局,概率為p1==,②前兩局甲隊一勝一負,第三局甲隊勝,概率為p2=×××=,則甲隊戰(zhàn)勝乙隊的概率為p=p1+p2=+=.4.(多選題)若X～B(20,,則()(X)=3 (X≥1)=(X)= (X=10)=×分析：選CD.由X～B(20,,所以E(X)=20×=6,所以A錯誤;計算P(X≥1)=1-P(X=0)=,所以B錯誤;又D(X)=20××=,所以C正確;計算P(X=10)=××=×,所以D正確.5.袋中裝有2個紅球,3個黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是________.

分析：袋中裝有2個紅球,3個黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黃球的概率均為,所以3次中恰有2次抽到黃球的概率為:P==.答案:6.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層停靠.若該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為,用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則P(ξ=4)=________.

分析：考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗,這是5次獨立重復試驗,故ξ～B.即有P(ξ=k)=×,k=0,1,2,3,4,5,所以P(ξ=4)=×=.答案:7.設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立.(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的期望;(2)設M為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.分析：(1)甲上學期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為,故X～(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望為E(X)=3×=2.(2)設乙同學上學期間的三天中7:30到校的天數(shù)為Y,則Y～B,由題意,M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0},由事件的獨立性和互斥性,得P(M)=P{X=3,Y=1}+P{X=2,Y=0}=P{X=3}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=0}=×+×=.8.現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題,設張同學答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),求X的分布列.分析：隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=···=,P(X=1)=···+···=,P(X=2)=···+···=,P(X=3)=···=.所以X的分布列為X0123P9.某公司是否對某一項目投資,由甲、乙、丙三位決策人投票決定,他們?nèi)硕加小巴狻薄爸辛ⅰ薄胺磳Α比惼备饕粡?投票時,每人必須且只能投一張,每人投三類票中的任何一類的概率都是,他們的投票相互沒有影響,規(guī)定:若投票結果中至少有兩張“同意”票,則決定對該項目投資;否則,放棄對該項目的投資.(1)求該公司決定對該項目投資的概率;(2)求該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票的概率.分析：(1)該公司決定對該項目投資的概率為P=+=.(2)該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票,有以下四種情形:“同意”票張數(shù)“中立”票張數(shù)“反對”票張數(shù)事件A003事件B102事件C111事件D012P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(D)==.因為A,B,C,D互斥,所以P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.擴展練習1.設隨機變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=,則P(η≥2)的值為()A.B.C.D.分析：選B.因為隨機變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),又P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以η～B,則P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1--××=.2.在2019年女排世界杯比賽中,中國隊以十一連勝的驕人成績奪得了冠軍,成功衛(wèi)冕,收到習近平總書記的賀電,團結協(xié)作、頑強拼搏是中國女排精神,為學習女排精神,A,B兩校排球隊進行排球友誼賽,采取五局三勝制,每局都要分出勝負,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,則在此次比賽中,四局結束比賽的概率為()A. B. C. D.分析：選D.為學習女排精神,A,B兩校排球隊進行排球友誼賽,采取五局三勝制,每局都要分出勝負,根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,在此次比賽中,四局結束比賽包含兩種情況:①前3局A兩勝一負,第四局A勝;②前3局A一勝兩負,第四局A負.則在此次比賽中,四局結束比賽的概率為P=+=.3.已知某人每次投籃投中的概率均為,計劃投中3次則結束投籃,則此人恰好在第5次結束投籃的概率是________.

分析：依題意,恰好在第5次結束投籃,則前4次有2次投中,且第5次投中,所以概率為:P=×××=.答案:4.位于直角坐標原點的一個質點P按下列規(guī)則移動:質點每次移動一個單位,移動的方向向左或向右,并且向左移動的概率為,向右移動的概率為,則質點P移動五次后位于點(1,0)的概率是________.

分析：依題意得,質點P移動五次后位于點(1,0),則這五次移動中必有某兩次向左移動,另三次向右移動,因此所求的概率等于··=.答案:5.在4次獨立重復的試驗中,隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是________.

分析：由題知p(1-p)3≤p2(1-p)2,即4(1-p)≤6p,所以p≥,又0<p<1,所以≤p<1.答案:≤p<16.如圖是高爾頓板的改造裝置示意圖,小球從入口處自由下落,已知在下落過程中,小球遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是.(1)求小球