第3章機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)原理與可靠度計(jì)算產(chǎn)品可靠性設(shè)計(jì)(4h)-2015

機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)原理與可靠度計(jì)算2/1/20231概率設(shè)計(jì)的基本原理常規(guī)設(shè)計(jì)方法與可靠性設(shè)計(jì)方法的比較應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型可靠度的計(jì)算解決的三個(gè)問(wèn)題根據(jù)零件的可靠度設(shè)計(jì)零件(計(jì)算零件主要尺寸2/1/202321.概率設(shè)計(jì)的基本原理傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)和強(qiáng)度校核是基于確定性分析，即：設(shè)計(jì)中所采用的幾何尺寸、載荷、材料性能等數(shù)據(jù)，都是它們的平均值，沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)的分散性。實(shí)際上，這些參數(shù)都帶有一定的隨機(jī)性。隨機(jī)因素主要分為三類(lèi)：（1）幾何尺寸幾何尺寸的隨機(jī)波動(dòng)源于制造過(guò)程，不同制造工藝所能達(dá)到的尺寸精度也不同。2/1/202332/1/20234（2）材料性能材料經(jīng)冶煉、軋制、鍛造、機(jī)加工、熱處理等工藝過(guò)程，其機(jī)械性能指標(biāo)必然有分散性，呈現(xiàn)出隨機(jī)變量的特性。（3）載荷：力、力矩、溫度，較寬的范圍內(nèi)波動(dòng)。2/1/20235常規(guī)設(shè)計(jì)方法：引入安全系數(shù)考慮這些隨機(jī)因素的影響；是一種經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，沒(méi)有對(duì)隨機(jī)性加以量化；并且安全系數(shù)的選取往往與設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)和指導(dǎo)思想有很大關(guān)系。安全系數(shù)法不能回答所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品在多大程度上是安全的，也不能預(yù)測(cè)產(chǎn)品在使用中發(fā)生失效的概率2.常規(guī)設(shè)計(jì)方法與可靠性設(shè)計(jì)方法的比較2/1/20236可靠性設(shè)計(jì)方法：將載荷、材料性能與強(qiáng)度、零部件結(jié)構(gòu)尺寸等視為服從某種概率分布的隨機(jī)變量；利用概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論及強(qiáng)度理論，計(jì)算出在給定設(shè)計(jì)條件下產(chǎn)品的失效概率和可靠度；或給定可靠度要求直接確定零件的結(jié)構(gòu)尺寸。從對(duì)可靠性評(píng)價(jià)來(lái)看，常規(guī)設(shè)計(jì)只有安全系數(shù)一個(gè)指標(biāo)，可靠性設(shè)計(jì)有可靠度和安全系數(shù)兩個(gè)指標(biāo)。2/1/202373.應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型從可靠性角度考慮，影響產(chǎn)品失效的因素可概括為兩類(lèi)：應(yīng)力和強(qiáng)度。應(yīng)力：引起產(chǎn)品失效的各種因素的統(tǒng)稱(chēng)。除機(jī)械應(yīng)力外，還包括載荷（力、力矩、轉(zhuǎn)矩等）、位移、應(yīng)變、溫度等。強(qiáng)度：產(chǎn)品抵抗失效發(fā)生的各種因素的統(tǒng)稱(chēng)。除通常的機(jī)械強(qiáng)度外，還包括承受各種形式應(yīng)力的能力。2/1/20238在可靠性理論中，產(chǎn)品是正常還是失效決定于強(qiáng)度和應(yīng)力的關(guān)系。當(dāng)強(qiáng)度大于應(yīng)力時(shí)，其能夠正常工作；當(dāng)強(qiáng)度小于應(yīng)力時(shí)，其發(fā)生失效。因此，要求在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間內(nèi)能夠承載，必須滿(mǎn)足以下條件2/1/20239實(shí)際工程中的應(yīng)力和強(qiáng)度都是呈分布狀態(tài)的隨機(jī)變量，把應(yīng)力和強(qiáng)度的分布在同一坐標(biāo)系中表示.當(dāng)強(qiáng)度的均值大于應(yīng)力的均值時(shí)，在圖中陰影部分表示的應(yīng)力和強(qiáng)度“干涉區(qū)”內(nèi)就可能發(fā)生強(qiáng)度小于應(yīng)力——即失效的情況2/1/202310根據(jù)應(yīng)力和強(qiáng)度干涉情況，計(jì)算干涉區(qū)內(nèi)強(qiáng)度小于應(yīng)力的概率（失效概率）的模型，稱(chēng)為應(yīng)力——強(qiáng)度干涉模型。在應(yīng)力——強(qiáng)度干涉模型理論中，根據(jù)可靠度的定義，強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率可表示為失效概率為：且有：2/1/202311可靠度隨工作時(shí)間降低對(duì)于機(jī)械產(chǎn)品而言，即使應(yīng)力和強(qiáng)度在工作初期沒(méi)有干涉，但在長(zhǎng)期載荷作用下，強(qiáng)度會(huì)逐漸衰減，可能發(fā)生干涉。因此，隨工作時(shí)間的延長(zhǎng)，機(jī)械產(chǎn)品的可靠度一般逐漸降低直至產(chǎn)品失效。2/1/2023125.可靠度的一般表達(dá)式根據(jù)以上干涉模型計(jì)算在干涉區(qū)內(nèi)強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率—可靠度。當(dāng)應(yīng)力為S0時(shí)，強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率為

應(yīng)力處于區(qū)間內(nèi)的概率為應(yīng)力概率密度函數(shù)強(qiáng)度概率密度函數(shù)2/1/202313假設(shè)與為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)事件，因此兩獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率為因?yàn)樯鲜綖閼?yīng)力區(qū)間內(nèi)的任意值，現(xiàn)考慮整個(gè)應(yīng)力區(qū)間內(nèi)的情況，有強(qiáng)度大于應(yīng)力的概率（可靠度）為當(dāng)已知應(yīng)力和強(qiáng)度的概率密度函數(shù)時(shí)，根據(jù)以上表達(dá)式即可求得可靠度。

2/1/202314強(qiáng)度與應(yīng)力之差的概率密度函數(shù)積分法設(shè)應(yīng)力X和強(qiáng)度Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，令y=δ-S,則：Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：強(qiáng)度δ大于應(yīng)力S的概率（可靠度）R為：2/1/202315下面要解決的三個(gè)問(wèn)題知道了零件的應(yīng)力和強(qiáng)度的分布后，如何求零件的可靠度？一般的安全系數(shù)與可靠度意義下的安全系數(shù)的區(qū)別？一般機(jī)械零件設(shè)計(jì)中，應(yīng)力和強(qiáng)度的分布怎么知道？2/1/202316特殊情況（公式法）：

1）應(yīng)力和強(qiáng)度均為正態(tài)分布時(shí)的可靠性計(jì)算當(dāng)應(yīng)力S和強(qiáng)度δ均為正態(tài)分布時(shí)，則它們的差也是正態(tài)分布，且有問(wèn)題一：知道了應(yīng)力和強(qiáng)度的分布，求零件的可靠度2/1/202317不可靠度：2/1/202318化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令則當(dāng)y＝0時(shí)令可靠度:聯(lián)結(jié)方程2/1/202319當(dāng)強(qiáng)度和應(yīng)力的均值相等時(shí)，可靠度等于0.5當(dāng)強(qiáng)度均值大于應(yīng)力的均值時(shí)，方差越大，可靠度越小。討論2/1/202320例題1：2/1/2023212/1/202322例題2:2/1/2023232/1/202324設(shè)隨機(jī)變量s和δ服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即它們對(duì)數(shù)lns和lnδ服從正態(tài)分布，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

分別是lns和lnδ的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，即狀態(tài)分布下的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是變量S和δ的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則它們之間具有下列關(guān)系：2）當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)2/1/202325和正態(tài)分布一樣，化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。令：令則則有2/1/202326已知某機(jī)械零件的應(yīng)力和強(qiáng)度都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：60MPa和10MPa；強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：100MPa和10MPa。試計(jì)算該零件的可靠度。例題32/1/2023272/1/202328（3）應(yīng)力與強(qiáng)度均為指數(shù)分布時(shí)的可靠度2/1/202329幾種應(yīng)力分布下的可靠度計(jì)算公式2/1/2023302/1/202331（1)傳統(tǒng)的安全系數(shù)傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)以安全系數(shù)確定構(gòu)件的尺寸，僅僅以強(qiáng)度均值與應(yīng)力均值之比作為安全系數(shù)，忽視了強(qiáng)度的波動(dòng)(σδ的變化)以及應(yīng)力的波動(dòng)(σs的變化)，這種設(shè)計(jì)不能確切地反映結(jié)構(gòu)的可靠性。

問(wèn)題二：可靠性安全系數(shù)2/1/202332（2）可靠度安全系數(shù)概率設(shè)計(jì)條件下的安全系數(shù)n為：（在一定可靠度下）最小的強(qiáng)度δmin與最大的應(yīng)力Smax之比，即

δmin與Smax的取值和均方差相關(guān)。對(duì)于正態(tài)分布，一般可?。?/1/202333假定當(dāng)應(yīng)力和強(qiáng)度均為正態(tài)分布,方差相等,且n=1時(shí),有2/1/202334則在強(qiáng)度和應(yīng)力的可靠度分別為Rδ和Rs時(shí)的安全系數(shù)nR，稱(chēng)為可靠度意義下的安全系數(shù)，用下式表示：可靠度意義下的安全系數(shù)2/1/202335在結(jié)構(gòu)件的設(shè)計(jì)中，已知強(qiáng)度與應(yīng)力均服從正態(tài)分布，二批材料強(qiáng)度的均值都為μδ=500MPa。由于材料內(nèi)在質(zhì)量有所差別，強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差不同，分別為10MPa和120Mpa，二批材料應(yīng)力的均值為μS=300MPa,應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差均為σs=30MPa。請(qǐng)分別計(jì)算平均安全系數(shù)和可靠度。解：平均安全系數(shù)為：可靠度為：例題4：2/1/202336例5：某汽車(chē)零件，其強(qiáng)度和應(yīng)力均服從正態(tài)分布，強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:=350N/mm2、σδ=30N/mm2，應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:=310N/mm2、σS=10N/mm2，試計(jì)算該零件的安全系數(shù)、可靠度和“3σ”可靠度意義下的安全系數(shù)?解：(1)依照傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的方法，其安全系數(shù)應(yīng)當(dāng)為(2)如果該零件按照概率設(shè)計(jì)方法，則計(jì)算可靠度得到2/1/202337（3）“R3σ”可靠性含義下的安全系數(shù)：2/1/202338問(wèn)題三：零件設(shè)計(jì)中的強(qiáng)度和應(yīng)力分布（1）零件設(shè)計(jì)中的強(qiáng)度和應(yīng)力分布材料的靜強(qiáng)度分布試驗(yàn)證明，一般材料的強(qiáng)度極限、屈服極限、延伸率和硬度等均符合正態(tài)分布。可查表得到。應(yīng)力分布取決于力和尺寸的分布一般認(rèn)為，力為正態(tài)分布，均值和方差由試驗(yàn)確定；而尺寸也為正態(tài)分布，均值與公稱(chēng)尺寸相同，標(biāo)準(zhǔn)差為公差Δ的1/3,即：（以上假設(shè)與事實(shí)基本相符，略偏安全）2/1/202339（2）一般函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值例如：實(shí)心圓桿拉伸應(yīng)力齒輪齒根的彎曲應(yīng)力

式中：F為力，r為圓桿半徑，h為齒輪高度，b為齒輪寬度，t為齒輪厚度公式中的力F、尺寸r、h、b、t都是隨機(jī)變量，如果知道了這些變量的分布或統(tǒng)計(jì)特征值，如何求得應(yīng)力s的特征值？一般將強(qiáng)度和應(yīng)力都近似為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，這樣關(guān)鍵是求它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差2/1/202340一維隨機(jī)變量的函數(shù)略去三階以上的小量得2/1/202341略去三階以上的小量，求均值：2/1/202342如果方差較小，再進(jìn)一步略去二次項(xiàng)，則均值又可進(jìn)一步近似為：同樣，對(duì)于均方差，取泰勒級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)作為近似，則有＝02/1/202343例6：設(shè)，已知x的均值和均方差分別為求函數(shù)z的均值和均方差。解：（1）求均值可進(jìn)一步近似為（2）求均方差2/1/202344多維隨機(jī)變量的函數(shù)則在x＝μ處展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)得：式中R為余項(xiàng)2/1/202345若很小，則有對(duì)上式兩邊取方差，取線性近似解

對(duì)上式兩邊取數(shù)學(xué)期望，取線性近似解2/1/202346多維隨機(jī)變量的函數(shù)的特征值可以證明，當(dāng)隨機(jī)變量x1,x2,…,xn相互獨(dú)立時(shí)，取一級(jí)近似值有均值方差2/1/202347例題7：一圓柱拉桿，已知外力載荷的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差；截面均值和標(biāo)準(zhǔn)差解：應(yīng)力均值：2/1/202348應(yīng)力方差：應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差：2/1/202349應(yīng)力方差：應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差：2/1/202350例題8：則均值設(shè)2/1/202351基本函數(shù)形式的統(tǒng)計(jì)特征值函數(shù)期望標(biāo)準(zhǔn)差2/1/202352例9:某齒輪的載荷和有關(guān)尺寸為正態(tài)分布，數(shù)據(jù)如下：

載荷F~(24000,1600)N，齒高h(yuǎn)~(33,1)mm，齒寬b~(16,0.65)mm，齒根厚度t~(19,0.9)mm，求齒根彎曲應(yīng)力的均值和方差。第1步求均值：設(shè)應(yīng)力s為隨機(jī)變量x＝（F，h，b，t）的函數(shù)2/1/202353某齒輪的載荷和有關(guān)尺寸為正態(tài)分布，數(shù)據(jù)如下：

載荷F~(24000,1600)N，齒高h(yuǎn)~(33,1)mm，齒寬b~(16,0.65)mm，齒根厚度t~(19,0.9)mm，求齒根彎曲應(yīng)力的均值和方差。第2步求S對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)均值點(diǎn)的值：2/1/202354第3步應(yīng)力的標(biāo)準(zhǔn)差為：據(jù)前面的解2/1/202355強(qiáng)度分布的確定1、確定強(qiáng)度判據(jù)2、確定名義強(qiáng)度分布3、修正名義強(qiáng)度4、確定強(qiáng)度公式中每一參數(shù)和強(qiáng)度修正系數(shù)的分布5、確定強(qiáng)度分布2/1/202356用矩陣法綜合強(qiáng)度分布例題10：2/1/2023572/1/2023582/1/2023592/1/202360根據(jù)可靠度設(shè)計(jì)主要尺寸已知零件需要的可靠度，設(shè)計(jì)零件的主要尺寸。例題11：設(shè)有圓形拉桿，已知受載荷均值和標(biāo)準(zhǔn)差為材料的拉伸強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：求在可靠度R＝0.99條件下的最小半徑的2/1/202361取公差尺寸為其名義尺寸的0.015倍，即,同時(shí)取標(biāo)準(zhǔn)差為3σ水平，即拉桿斷面積均值和方差為：（1）（3）（2）解：設(shè)應(yīng)力、強(qiáng)度和可靠度均為正態(tài)分布。桿件的拉伸應(yīng)力公式為：s=Q/A,而A=πr2,為求A的標(biāo)準(zhǔn)差，先要確定r的標(biāo)準(zhǔn)差零件的可靠度設(shè)計(jì)例5-4續(xù)解2/1/202362設(shè)桿件的拉伸應(yīng)力的均值為：（6）（5）（4）所以有2/1/202363當(dāng)可靠度R＝0.99時(shí)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得ZR＝2.33，