大三上課件-概率統(tǒng)計概統(tǒng)

1

袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球的概率是多少？第i個人取得紅球的概率是多少？(i=1,…,10)EX推廣：m+n個球，其中有m個白球，n個黑球。則第i個人摸到白球的概率為m/(m+n)。2若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？3概率與統(tǒng)計

第四講條件概率和獨立性

開課系：理學(xué)院統(tǒng)計與金融數(shù)學(xué)系主講教師:趙慧秀4例1

設(shè)袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;（2）求第二次取到紅球的概率解：設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球.1.5條件概率

一、定義注：條件概率計算的思想，直接在事件A發(fā)生的條件下重新考慮樣本空間計算。5?有沒有其它更易操作的計算方法？考慮：擲一顆均勻的骰子，A:擲出2點，B:擲出偶數(shù)點，如何計算P(A/B)?A={2},B={2,4,6}6S=AAB例1：A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球7顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p14)

一般地，設(shè)A、B是S中的兩個事件，P(A)>0,則8?“條件概率”是“概率”嗎？何時P(A|B)=P(A)?何時P(A|B)>P(A)?何時P(A|B)<P(A)?概率P(A)，滿足：P(A)≥0；=>P(B|A)=P(AB)/P(A)≥0P(S)＝1;=>P(S|A)=P(AS)/P(A)=1(3)可列可加性

設(shè)BC=￠,P(BC|A)=P{(BC)A}/P(A)=P(BACA)/P(A)=P(BA)/P(A)+P(CA)/P(A)=P(B|A)+P(C|A)注：下列性質(zhì)中的事件的逆不要取錯位置：9例2

一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設(shè)A--從盒中隨機取到一只紅球.B--從盒中隨機取到一只新球.

AB10

某牌號的電視機使用到3萬小時的概率為0.6，使用到5萬小時的概率為0.24，一臺電視機已使用到3萬小時，求這臺電視機能使用到5萬小時的概率。EX解:設(shè)A={使用到3萬小時},B={使用到5萬小時}，于是則11二、乘法公式(p15)設(shè)A、B為兩個事件，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(5.2)式(1.4.1)就稱為事件A、B的概率乘法公式。式(1.4.1)還可推廣到三個事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).

計算的思想：復(fù)雜事件的概率按照事件發(fā)生的先后順序分解成簡單事件的概率計算。直觀的理解：試驗結(jié)果按照先后順序由n步組成，例：10個人摸球（9白1紅），P(A5)=12例3

盒中有3個紅球，2個白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時取到白球，則13EX

某商店搞抽獎活動.顧客需過三關(guān),第i關(guān)從裝有i+1個白球和一個黑球的袋子中抽取一只,抽到黑球即過關(guān).連過三關(guān)者可拿到一等獎.求顧客能拿到一等獎的概率.解:設(shè)Ai:“顧客在第i關(guān)通過”;B:“顧客能拿到一等獎”,答:顧客能拿到一等獎的概率為1/60.141.6、全概率公式與貝葉斯公式例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B15B16定義(p19)事件組A1，A2，…，An

(n可為)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：A1A2……………AnB17定理1

(全概率公式,p19)

設(shè)A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BS有

注：(1)常見錯誤:例如：統(tǒng)計南京市人口的死亡率，95％為普通人口（死亡率5％），5％為非普通（死亡率95％），則南京市人口的死亡率為：95％*5％+5％*95％（2）為了便于計算，引入一個適當(dāng)?shù)膭澐帧澐值睦斫猓阂鹗录﨎發(fā)生的兩兩互不相容的全部原因：A1,…,An，全概率公式：由原因——結(jié)果。18例4.（續(xù)）市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，若買到一個次品，則它是甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解：設(shè)B—買到一件次品；Ai,i=1,2,3分別表示買到甲、乙、丙廠產(chǎn)品。答：若買到一個次品，則它是甲廠生產(chǎn)的概率是0.22.19定理2(貝葉斯公式p20)

設(shè)A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BS，有

20例5

有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，(1)問此球是紅球的概率？(2)若從乙袋中取到一個紅球,則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少?甲乙21解：設(shè)A——從甲袋放入乙袋的是白球；

B——從乙袋中任取一球是紅球；甲乙22EX

已知某種疾病的發(fā)病率為0.1%,該種疾病患者一個月內(nèi)的死亡率為90%；且知未患該種疾病的人一個月以內(nèi)的死亡率為0.1%；現(xiàn)從人群中任意抽取一人，問此人在一個月內(nèi)死亡的概率是多少？若已知此人在一個月內(nèi)死亡，則此人是因該種疾病致死的概率為多少？23解:設(shè)A:“某人在一個月內(nèi)死亡”;B:“某人患有該種疾病”,則241.5事件的獨立性

一、兩事件獨立

定義

(p16)

設(shè)A、B是兩事件，若

P(AB)＝P(A)P(B) (5.5)則稱事件A與B相互獨立。注：1.當(dāng)P(A)≠0,式(5.5)等價于：

P(B)＝P(B|A)2.必然事件，不可能事件與任何事件獨立

3獨立性的判別條件：5.5式或者由獨立性的直觀含義：事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生25從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？A與B是否獨立EX解:26定理以下四件事等價(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。證:(1)=>(2)設(shè)A、B相互獨立,即P(AB)=P(A)P(B),(4)=>(1)設(shè)事件A、B相互獨立,即P(AB)=P(A)P(B),27二、多個事件的獨立定義2、若三個事件A、B、C滿足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C相互獨立。28注:兩兩獨立未必相互獨立!例:從分別標(biāo)有1,2,3,4四個數(shù)字的4張卡片中隨機抽取一張,以事件A表示“取到1或2號卡片”;事件B表示“取到1或3號卡片”;事件C表示“取到1或4號卡片”.則事件A,B,C兩兩獨立但不相互獨立.29一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n，具有等式

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)成立。則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立。（共有2n-n-1個等式成立）思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨立，則2.一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？(德·梅耳問題)答:0.518,0.49630全概率公式Bayes公式獨立性兩事件獨立小結(jié)獨立事件組條件概率乘法公式概率定義31n架轟炸機獨立地飛往目標(biāo)投彈.已知每架飛機能夠飛到目標(biāo)上空的概率為p1,在目標(biāo)上空投彈,命中目標(biāo)的概率為p2.求目標(biāo)被命中的概率.EX解:設(shè)Ai--第i架飛機飛到目標(biāo)上空,i=1,…,n;B--目標(biāo)被命中.32概率與統(tǒng)計

第五講第一章小結(jié)

開課系：理學(xué)院統(tǒng)計與金融數(shù)學(xué)系主講教師:趙慧秀33第一章小結(jié)

本章包括六個概念:（隨機試驗、樣本空間、事件、概率、條件概率、獨立性）四個公式:（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個概型:（古典概型）34例1

從5雙不同的鞋中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只能配成一雙的概率。解:設(shè)法1：法2：習(xí)題課--習(xí)題選解35例2將一枚骰子重復(fù)擲n次，試求擲出最大點數(shù)為5的概率法2：A：擲出最大點數(shù)不大于5；B：擲出最大點數(shù)不大于4則A-B：擲出最大點數(shù)為5,且。P(A-B)=P(A)-P(B)=解：法1：C:擲出最大點數(shù)為5.則事件C的所有情形有：n次投擲中只出現(xiàn)一個5且其它點數(shù)都≤4，n次投擲中只出現(xiàn)2個5且其它點數(shù)都≤4，…，n次投擲中只出現(xiàn)n個5且其它點數(shù)都≤4，則C的樣本點總數(shù)為：所以可得P(C)=36例3：從0,1,…,9這10個數(shù)字中任取4個進行排列，求排成的數(shù)首位不為0且末位為偶數(shù)的概率。解：設(shè)A:排成的數(shù)首位不為0且末位為偶數(shù)法一：末位數(shù)為0的個數(shù)：，末位數(shù)不為0的個數(shù)：P(A)=法二：首位為奇數(shù)：，首位為偶數(shù)：則：P(A)=37例4(p2122)商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？38解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品.已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:39例5甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.5,0.6,0.7.飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.3,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若被三人擊中，則必被擊落.求飛機被擊落的概率.40解:設(shè)Ai,i=1,2,3分別表示甲、乙、丙擊中飛機;Bi,i=1,2,3分別表示只有i人擊中飛機;B:飛機被擊落.由全概率公式,則41例6．如圖，1、