《金新學案》高三數(shù)學一輪復習 函數(shù) 第一章第九節(jié) 函數(shù)與方程課件（理） 北師大必修1

第九節(jié)函數(shù)與方程1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的

稱為這個函數(shù)的零點，f(x)的零點是方程

的解．(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有

．橫坐標f(x)＝0零點

函數(shù)的零點是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點嗎？【提示】

(1)函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點，而是y＝f(x)與x軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)．(2)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得

，這個

也就是f(x)＝0的根．f(a)f(b)＜0f(c)＝0cy＝f(x)在[a，b]上圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＜0，僅是y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點的充分條件，不滿足這個條件，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)也可能有零點．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1,0)無交點零點個數(shù)兩個零點一個零點無零點(x1,0)，(x2,0)3.二分法(1)二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近

，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證

，給定精確度ε；第二步，求區(qū)間(a，b)的中點x1；第三步，計算f(x1)：f(a)f(b)＜0一分為二零點f(a)f(b)＜0①若

，則x1就是函數(shù)的零點；②若

，則令b＝x1(此時零點x0∈(a，x1))；③若

，則令a＝x1(此時零點x0∈(x1，b)；第四步，判斷是否達到精確過度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復第二、三、四步．f(x1)＝0f(a)f(x1)＜0f(x1)f(b)＜0

用二分法求一個方程的近似解時，選擇的區(qū)間可大可小，在同一精確度下，最好在滿足|a－b|＜ε的同時，再保證區(qū)間(a，b)的兩個端點a，b在精確度ε下的近似值相同．這樣所選的區(qū)間不同，但所得結(jié)果相同．1．若函數(shù)f(x)＝ax－b(b≠0)有一個零點3，那么函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax的零點是(

)A．0

B．－1C．0，－1D．0,1【解析】∵f(x)＝ax－b(b≠0)有一個零點為3，∴3a－b＝0,3a＝b.令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－1.∴g(x)的零點為0或－1【答案】

C2．函數(shù)圖象與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是(

)【解析】∵B中x0左右兩邊的函數(shù)值均大于零，不適合二分法求零點的條件．【答案】

B3．函數(shù)f(x)＝lgx－的零點所在的區(qū)間是(

)A．(0,1]

B．(1,10]C．(10,100]D．(100，＋∞)【解析】由于f(1)f(10)＝(－1)×＜0根據(jù)二分法得函數(shù)在區(qū)間(1,10]內(nèi)存在零點．【答案】

B4．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1僅有一個零點，則實數(shù)a的值是____________．【解析】

若a＝0，則f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，易知函數(shù)僅有一個零點；若a≠0，則函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，若其中有一個零點，則方程ax2－x－1＝0僅有一個實數(shù)根，故判別式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.綜上可知a＝0或a＝－.【答案】

0或－5．用二二分法法求函函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間間(2,4)上的近近似解解，驗驗證f(2)·f(4)＜0，給定定精確確度＝0.01，取區(qū)區(qū)間(2,4)的中點點x1＝＝＝3，計算算得f(2)·f(x1)＜0，則此此時零零點x0∈________(填區(qū)間間)．【解析】由f(2)·f(3)＜0可知．．【答案】(2,3)函數(shù)零零點的的判斷斷判斷下下列函函數(shù)在在給定定區(qū)間間是否否存在在零點點．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【解析】(1)∵f(1)＝－20＜0,f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零零點．．(2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零零點．．【思路點點撥】第(1)問利用用零點點的存存在性性定理理或直直接求求出零零點，，第(2)問利用用零點點的存存在性性定理理或利利用兩兩圖象象的交交點來來求解解．二次函函數(shù)的的零點點關(guān)于x的二次次方程程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間間[0,2]上有零零點，，求實實數(shù)m的取值值范圍圍．1．m為何值值時，，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且僅僅有一一個零零點；；(2)有兩個個零點點且均均比－－1大；【解析】(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅僅有一一個零零點?方程f(x)＝0有兩個個相等等實根根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.方式的的根與與函數(shù)數(shù)的零零點已知二二次函函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＞b＞c且f(1)＝0，試證明f(x)必有兩個零零點；(2)若對x1、x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝有有兩個不不等實根，，證明必有有一實根屬屬于(x1，x2)．【證明】(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0.又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等等實根，所以函數(shù)f(x)有兩個零點點．可將方程根根的問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)數(shù)零點的問問題，借助助函數(shù)的圖圖象和性質(zhì)質(zhì)進行解答答．2．x1與x2分別是實系系數(shù)方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一個根，，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求證：方程程x2＋bx＋c＝0有一個根介介于x1和x2之間．函數(shù)、方程程與不等式式之間的聯(lián)聯(lián)系是不可可分割的，，對函數(shù)是是否存在零零點，有多多少個零點點的判斷自自然會涉及及到函數(shù)的的圖象和性性質(zhì)，對函函數(shù)零點問問題的考查查，涉及的的知識面之之寬、方法法之多、靈靈活性之大大都是可以以想像的．．1．(2009年山東卷)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有兩個零點點，則實數(shù)數(shù)a的取值范圍圍是________．【解析】設函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個零點點，就是函函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)與函數(shù)y=x+a有兩個交交點，由由圖象可可知當0＜a＜1時兩函數(shù)數(shù)只有一一個交點點，不符符合；如如圖所示示，當a＞1時，因為為函數(shù)y=ax(a＞1)的圖象過過點(0,1)，而直線線y=x+a所過的點點一定在在點(0,1)的上方，，所以一一定