高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-2017高數(shù)講義

主講：張宇張宇：名師，博士，著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，教育部“國家精品課程建設(shè)骨育《入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試參考書（大綱解析》編者之一，2007年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會受邀專家（15分鐘主旨。首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對歡迎使用 TOC\o"1-1"\h\z\u第一講極 第二講高等數(shù)學(xué)的基本概念串 第三講高等數(shù)學(xué)的基本計算串 第四講高等數(shù)學(xué)的基本定理串 第五講微分方 第六講多元函數(shù)微積分初 第一講極限考點概述一、極限的定義lim是什么？lim是什么？ ①x”xxxxxxxxx sinxsin1 x【例】計算

xsinxsinxsin1 sinxsin1

0（|k|為充分大的正整數(shù) x x使 在該點沒有定義，故lim 不存在xsinx

xsinx極限的定義limf(xA0,0,當(dāng)0

xx0時，恒有f(xA1limxa0,N0nNxan （1）0，X0xX時，恒有

f(xAe10”是“

f(x)A”“正整數(shù)N正整數(shù)K0limf(x)A”

xx0

時，恒有f(xA1 二、極限的性質(zhì)唯一性xlimexlimex0（2）limsinx不存在（3）limarctanx不存在x

11 kI

karctankIx0 xex 2局部有界性f(x

|x|sin(xx(x1)(x

在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（ (0,) 【注】函數(shù)有界性判別法總結(jié)如下理論型判別—f(x在閉區(qū)間[abf(x)在閉區(qū)間[ab]計算型判別—f(x在開區(qū)間(abxa

fxxb

f(xf(x在開區(qū)間(ab內(nèi)有界x

f(x)，則局部保號性若limf(xA0xf(x0【例】設(shè)limf(x)f(0)，且 f 2，則x0 x01cos極大值點（B）極小值點（C）不是極值點（D）三、極限的計算函數(shù)極限的計算

2sinx(sinx tan3313x13x31 00

0ex2e22cos 2】求limlnxln(1第二s

2【例】求極限lim( x0sin2 41 1】求lim(x

1x2)12】求極限lim(tanxcosxsinxsinxx1x3o(x3)arcsinxx1x3o(x36tanxx1x3o(x3)arctanxx1x3o(x33cosx11x21x4o(x4 ln(1x)x1x21x3o(x3 ex1x1x21x3o(x3 (1x)1x(1)x2o(x225B11x1x

2與cxk為等價無窮小，求ckp(xabxcx2dx3x0p(xtanxx3為同階無窮小，求a,b,c,d.數(shù)列極限的計算xn連續(xù)化，轉(zhuǎn)化 61)準(zhǔn)則，2)定積分定義 3)利用冪級數(shù)求和（僅數(shù)學(xué)一要求 【例】lim nnn nn nn 【例】設(shè)a0,x10,xn1 (2xn 2

n ，證明

}收斂并求limnx

四、連續(xù)與間斷l(xiāng)imf(x)f(x0)

f(xxx0limf(x

f 700

f(x)00

f(x)f(x0limf(x

f(x) limf(x

f(x ln(1ax3),xxarcsin【例】設(shè)f(x) ,xeaxx2ax

xsin

,x f(xx0x0f(x的可去間斷點8第二講高等數(shù)學(xué)的基本概念串講一、一元函數(shù)微分需的概念及使用考查導(dǎo)數(shù)定義的基本形式

ln(12x)2xf【例】設(shè)0，f(x)在[,]上有定義，f(0)1,且滿足lim 0 xf(0)f(0)考查導(dǎo)數(shù)定義中增量的廣義化【例】設(shè)f(0)0，下列命題能確定f(0)存在的是 （A）

f(1

存

f(1ehh

f(h

存 （D）

f(2h)fh9二、一元函數(shù)積分學(xué)的概念及其使不定積分、變限積分和定積分不定積分原函數(shù)與不定積分．FxfxFxfxI上的一個原函數(shù)稱f(x)dxF(x)fxI上的不定積分，其中C為任意常數(shù)fxf(x所定義的區(qū)間x1fx在[abF(xaf(t)dt在[ab上可導(dǎo)，F(xiàn)x)fx)（本題即為變限積分函數(shù)求導(dǎo)的知識點）.x2fx在包含該間斷點的區(qū)間內(nèi)必沒有原函數(shù)Fx).f(x)2xsin1cos1 x0, x其在(,x0，但是它在(,) 1x

x x

即，對于(,上任一點都Fxfx成立綜合以上幾點，可以得出重要結(jié)論：可導(dǎo)函數(shù)Fx)求導(dǎo)后的函數(shù)Fxfx不一定積分存在定理定積分的存在性，也稱之為一元函數(shù)的（常義）可積性.這里的“常數(shù)”的“反?！狈e分有所區(qū)別.在本講中所談到的可積性都是指的常義可積性.bb【例】在區(qū)間1,2上，以下四個結(jié)①f(x)

xx01,x2xsin12cos1,x②f(x)

,x

1,x③f(x)

2xcos1sin1,x④f(x)

,x

反常積分無窮區(qū)間上反常積分的概念與斂散性 xa① f(x)xa

f(x)dx

f若上述極限存在，則稱反常積分 f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散b②b

f(x)dx

f(x)dx bfbabb若上述極限存在，則稱反常積分f(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散b ③f(x)dx的定 f(x)dx f(x)dxf若右邊兩個反常積分都收斂，則稱反常積分（2）函數(shù)的反常積分的概念與斂散

f(x)dxb 若b是f(x)的唯一奇點， 函數(shù)f(x)的反常積分af(x)dx定義為 f(x)dx

f 0b若上述極限存在，則稱反常積分af(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散b 若a是f(x)的唯一奇點， 函數(shù)f(x)的反常積分af(x)dx定義為 f(x)dxlim f 0

b若上述極限存在，則稱反常積分af(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散b③若c(a,b)是f(x)的唯一奇點， 函數(shù)f(x)的反常積分af(x)dx定義 af(x)dxaf(x)dxcfb若上述右邊兩個反常積分都收斂，則稱反常積分af(x)dx收斂，否則稱為發(fā)散第三講高等數(shù)學(xué)的基本計算考點概述一、一元函數(shù)微分學(xué)的基本計算四則運算fxgxg2fxgg2

fxgfxgxfxgg g

fxgxf dfxgxdfxdfxgxgxdfxf f gxdfxf gx g2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)sin2【例】y x，求反函數(shù)求導(dǎo)yf(x),f(x0xy，則ydx1

1f參數(shù)方程求導(dǎo)dydxx dydx設(shè)函數(shù)yy(x)由y(t)確定，t為參數(shù)，則dx dxxdx【例】設(shè)函數(shù)由ysin2隱函數(shù)求導(dǎo)x(1y 1【例】設(shè)yf(x)是由方程yx 所確定的，求limnf 1 n 對數(shù)求導(dǎo)法5【例】y 5冪指函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)（1）(uv)(n)u(n)v( C k(nk)(knkyf(xf(n)(x yf(x) 0(xx0yf(x)

f(n)yf(xf(n)(0),f(n)(x0yx3sinxy(6)(0參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)xyy(x由參數(shù)方程y(t確定，其中tdydxdy dydxd2

dd

(t)(t)(t) dx 反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)yf(xf(xyx,yxy(xy0)ydy1 d2

dy 1 1d d dxy dx yy

xyy 2

(xy F(x) 2(x f(x)(x)f(ftt 1(x

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式c dcxxsinxcos

（實常數(shù)） dsinxcos

（實常數(shù)cosxsintanxsec2cotxcsc2

secxsecxtancscxcscxcotdcosxsinxdxdtanxsec2xdx

dcotxcsc2dsecxsecxtandcscxcscxcot

x xln

a0,a1 dlogax

a0,alnxxex

dlnx1xdaxaxlnadxa0,adexex1xarcsinx darcsinx1x11x1xarccosx1xarctanx

darccosxdarctanx

11x1x 1xarccotx 1x

darccotx 1xx dx x2a2x dx x2ax2a x2alnx

dlnx

x2a2 x2x2ax2a湊微分法（1）基本思想f[g(x)]g(x)dxf[g(x)]d[g(xfdf(u)du的形式，則湊微分f②當(dāng)被積函數(shù)可分為f(x)g(x)

f(xf(x求導(dǎo)數(shù)（的有exxsinxcosxcos2xsin)【例】求cosx(1cosxesinx)換元法ug1(基本思想f(x)dxxg(u)fug1(

f ugug1(f[g(u)]g(u)duf[g(u)]g(u容易積分，a2 xasina2

a2 xatant,ta2 x2xasect,0x2 ax2ax2bx

(x

2(x)2(x)kk222(x)knaxaxcxaebxnaxaxcxaebx*naxlax *naxlax1 tn⑤復(fù)雜函數(shù)的直接代換——當(dāng)被積函數(shù)中含有ax，ex，lnx，arcsinx，arctanx等時，可考慮直接令復(fù)雜函數(shù)t，值 的是，當(dāng)lnx，arcsinx，arctanx與P(x)或eaxn(2x(2x1)34x分部積分法 udvuvvdu，一目了然，這個方法主要適用于“求udv比 11有理函數(shù)積分Q定義形如Qm

Q方法先將Qm(x)Qm

A②Q(x)的k重因式(axb)k產(chǎn)生k項，分別為A1 ； ax Ax

(ax

(axQm(xpxqxrpx2qxrQm(xk重二次因式px2qxrkkA1xB1 A2x Akx .px2qx

(px2qx

(px2qxx2ax關(guān)于定積分的計算x2 121【例1】設(shè)f(x)1 dt，求0xf(x)dx121e12e12

lnxdx，

12I1

2(x3sin2x)cos2xdx2, n1n 1,

【注】2sinnxdx2cosnxdx n 2

, n ,

x2三、應(yīng)用f(xx0nf(x00f(nx0,(n20

f(x0)

f(n1)(x0)0f(nx0x nf(nx0x yy(xy(42y5yyecosxy(2)y(2y(2)0xf(xx0nf(x00f(nx0,(n30

(x0)

f(n1)(x)00【例】設(shè)y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4，則其拐點為 0 （C） limf(xxalimf(xbyblimyxlim(f(x)kx)4x24x2

ln(21)的漸近線 x 若給出[ab]，找三類點1）f(x0x0（駐點）f(x不存在x1（不可導(dǎo)點f(x0f(x1),f(a),f(b【注】若給出(a,b)，則端f(xex2sinx2by2(x)y1(x)S1r2r22 1）Vbf2 b2）Vya2xf(x)bx ye2sinxx0xDDx轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V第四講高等數(shù)學(xué)的基本定理涉及函數(shù)f(x)的中值定理f(x在[ab上連續(xù)，則1（有界定理

f(x)M(M2（最值定理）mf(xMmMf(x在[ab上的最小值與最大3（介值定理）mM[ab]f(4（零點定理）f(af(b0(abf(05（費馬定理

(1)f(x0點處 (2)取極 6（羅爾定理(3)f(a)=f7（拉格朗日中值定理設(shè)f(x)滿足兩(1)[ab]上連

(abf(bf(af()(b (2)(a,

f(b)f.b8（柯西中值定理

f(b)f f((3)g(x)f(xg(x滿足(2)(ab)內(nèi)可導(dǎo)，則(abg(bg(a)(3)g(x)9（泰勒公式 f(n1)( f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

(x0)(xx0)

(n

(xx0 xx0f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)2 1f(n)(x)(xx)no((xx)n ff f(n1)(①f(x)f(0)f(0)x x2 x xn1 (n②f(x)f(0)f(0)x

f(0)x2

f(n)(0)xn

o(xn)①eu1u1u2 1uno(un).②sinuu

3

o(u2n1) 2n n ③cosu1

o(u)1④11⑤1

1uu2 uno(un)1uu2 1n1uno(un) n ⑥ln1uu

)n 1 n ⑦1u1u u

uo(u)1f(x在[ab上連續(xù)，則至少存在[ab]baf(x)dxf()(ba)bf(21f(x)dx0 3f(x在[0上的一階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，在(0f(00 ) 第五講微分方一、概念及其使用微分方程：F(x,y,y,y ,y(n))y1y2yp(xyq(xy1y2是該方程的解，y1y2是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，求形如：

f(x,y)g(x)h(dy

g(x)dxh(y)ysinxdxcosxdy0 y

yf( 令u，則yux, duxu

ff(u) f(u) xdyy(lnylnx)dx3.yp(xy兩邊同乘積分因子epx)dxep(x)dxyp(x)yep(ep(x)dxyep(x)dxq(x)dxyep(x)dxep(x)dxq(x)dx

y

的通解 2第六講多元函數(shù)微積分(xx)2(yy上（這樣的點嚴(yán)格來說叫做聚點）.如果存在常數(shù)A，對于任給的正數(shù)，總存在正數(shù)，只要點P(x,y)D滿足0PP0 ，恒有f(xx)2(yyy

f(xyA【例】lim(x

y 連續(xù)y

f(xy)f(x0y0f(xy在點(x0y0【注】若上式不成立(x0,y0)為不連續(xù)點，但不討論間斷類2zf(xy在點(x0y0limf(x0 x,y0)f(x0,y0 zf(xy在點(x0y0x

zxxf(xyxx0y

xxy

y

f(x,y)limf(x0 x,y0)f(x0,y0)limf(x,y0)f(x0,y0)

x xf(x,y)limf(x0,y0 y)f(x0,y0)limf(x0,y)f(x0,y0)

y

y yx2【例】設(shè)f(x,y) ，求f(0,0)，fx2 可定義3如果函數(shù)zf(x,y)在點(x,y)的全增量zf(x x,y y)f(x,y)

(x)2z x y(x)2其中，A,B不依賴于x， y而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)zf(x,y)在點(x,y)可微， x y為函數(shù)zf(x,y)在點(x,y)的全微分，記作dz，即dz x y(x2y2)f(xy

(x,y)(0,x2x2 (x,y)(0,fx(0,0)，fy(0,0)，并討論f(x,y在點(0,0)處是否可微多元微分法 z z設(shè)zf(u,v)，u(t)，