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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正四面體的內切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.272.已知復數(shù)和復數(shù),則為A. B. C. D.3.已知實數(shù)滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]4.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.記單調遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.7.下列函數(shù)中既關于直線對稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.8.已知,若對任意,關于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.9.在中,角的對邊分別為,,若,,且,則的面積為()A. B. C. D.10.中,角的對邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.11.空間點到平面的距離定義如下:過空間一點作平面的垂線,這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點,點到,的距離都是3,點是上的動點,滿足到的距離與到點的距離相等,則點的軌跡上的點到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.12.自2019年12月以來,在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各級政府反應迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內.某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負責該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系中,若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點,則實數(shù)的取值范圍為_____.14.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)的和為________15.的展開式中項的系數(shù)為_______.16.設全集,,,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.18.(12分)已知,,求證:(1);(2).19.(12分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項,第3項,第4項.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和.20.(12分)已知函數(shù).(1)當a=2時,求不等式的解集;(2)設函數(shù).當時,,求的取值范圍.21.(12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點.(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求λ的值.22.(10分)已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍;(2)是否存在實數(shù),對于符合題意的任意,當時均有?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,則,,,設內切球的半徑為,內切球的球心為,則,解得:;設外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎題.2、C【解析】
利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點睛】熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵,復數(shù)問題高考必考,常見考點有:點坐標和復數(shù)的對應關系,點的象限和復數(shù)的對應關系,復數(shù)的加減乘除運算,復數(shù)的模長的計算.3、B【解析】
作出可行域,表示可行域內點與定點連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內點與定點連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.【點睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關鍵是理解非線性目標函數(shù)的幾何意義,本題表示動點與定點連線斜率,由直線與可行域的關系可得結論.4、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應用是解決本題的關鍵,屬于基礎題.5、C【解析】
先利用等比數(shù)列的性質得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質:(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.6、A【解析】
令,進而求得,再轉化為函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點睛】本題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)最值中的應用,考查了轉化的數(shù)學思想,恰當?shù)挠靡粋€未知數(shù)來表示和是本題的關鍵,屬于中檔題.7、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調性的特點,利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當時,,所以不關于直線對稱,則錯誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯誤;D中,,而,則,所以不關于直線對稱,則錯誤;故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)基本性質,根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調性,屬于基礎題.8、B【解析】
構造函數(shù)(),求導可得在上單調遞增,則,問題轉化為,即至少有2個正整數(shù)解,構造函數(shù),,通過導數(shù)研究單調性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數(shù)(),則(),所以在上單調遞增,所以,故問題轉化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設,,則,當時,單調遞增;當時,單調遞增.,整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數(shù)在判斷函數(shù)單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.9、C【解析】
由,可得,化簡利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面積.【詳解】解:,,且,,化為:.,解得..故選:.【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.10、A【解析】
先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數(shù)關系,兩角和的正弦公式與誘導公式,解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.11、D【解析】
建立平面直角坐標系,將問題轉化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程,得到,進而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價于在直角坐標系中,點,是第一象限內的動點,滿足到軸的距離等于點到點的距離,求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值.設,則,化簡得:,則,解得:,即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解,關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程,進而根據(jù)軌跡方程構造不等關系求得最值.12、C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點睛】此題考查的是排列組合知識,解此類題時一般先組合再排列,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用導數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點,利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【詳解】解:由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得:即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為:.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎題.14、1【解析】
設,令,的值即為所有項的系數(shù)之和?!驹斀狻吭O,令,所有項的系數(shù)的和為?!军c睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地,對于,展開式各項系數(shù)之和為,注意與“二項式系數(shù)之和”區(qū)分。15、40【解析】
根據(jù)二項定理展開式,求得r的值,進而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以,解得所以系數(shù)【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應用,屬于基礎題.16、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】
(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去,得到關于的一元二次方程,根據(jù)根的判別式,即可求出結論;(2)設,由(1)可得關系,再由直線l過點,可得,進而建立關于的方程,求解即可.【詳解】(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數(shù)根,整理得,,解得且.雙曲線C與直線l有兩個不同交點時,k的取值范圍是.(2)設交點,直線l與y軸交于點,,.,即,整理得,解得或或.又,或時,的面積為.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系、三角形面積計算,要熟練掌握根與系數(shù)關系解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)見解析.【解析】
(1)結合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個式子,三式相加可證結論.【詳解】(1)∵,∴,當且僅當a=b=c等號成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當且僅當a=b=c等號成立∴.【點睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式,方法是綜合法.19、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:,所以,所以解得設等比數(shù)列的公比為,所以又(2)由(1)知,因為①當時,②由①②得,,即,又當時,不滿足上式,.數(shù)列的前2020項的和設③,則④,由③④得:,所以,所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質,錯位相減法求和,考查學生的邏輯推理能力,化歸與轉化能力及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學運算.是中檔題.20、(1);(2).【解析】試題分析:(1)當時;(2)由等價于,解之得.試題解析:(1)當時,.解不等式,得.因此,的解集為.(2)當時,,當時等號成立,所以當時,等價于.①當時,①等價于,無解.當時,①等價于,解得.所以的取值范圍是.考點:不等式選講.21、(1).(2)1【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標系,求得向量和向量的坐標,再利用線線角的向量方法求解.(2,由AN=λ,設N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一個法向量,利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,由|cos〈,〉|===求解.【詳解】(1)因為PA⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因為∠BAD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因為M為PC的中點,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.(2)因為AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1
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