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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.162.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.3.設一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.4.在等腰直角三角形中,,為的中點,將它沿翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612426.在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知集合,則元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.已知復數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.29.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.10.已知集合,則為()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]11.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.612.已知復數(shù),為的共軛復數(shù),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),14.設定義域為的函數(shù)滿足,則不等式的解集為__________.15.某公園劃船收費標準如表:某班16名同學一起去該公園劃船,若每人劃船的時間均為1小時,每只租船必須坐滿,租船最低總費用為______元,租船的總費用共有_____種可能.16.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)為了加強環(huán)保知識的宣傳,某學校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設置了四個箱子,分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干張,每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張,按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則,每正確投放一張卡片得分,投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.從所有參賽選手中隨機抽取人,將他們的得分按照、、、、分組,繪成頻率分布直方圖如圖:(1)分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù);(2)從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手,以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.19.(12分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(1)求的值;(2)若,且,求的值.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標為,,求的值.21.(12分)已知凸邊形的面積為1,邊長,,其內(nèi)部一點到邊的距離分別為.求證:.22.(10分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設二面角的大小為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.2、C【解析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.3、D【解析】
由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當時,,故選:D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題,關鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關系,這是常用的方法,屬于難度題.4、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點,這樣根據(jù)幾何關系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點,設幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時,一般可以用補形法,因正方體,長方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關于外接球半徑的方程求解.5、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應用,屬基礎題。6、B【解析】
化簡復數(shù)為的形式,然后判斷復數(shù)的對應點所在象限,即可求得答案.【詳解】對應的點的坐標為在第二象限故選:B.【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎題.7、B【解析】
作出兩集合所表示的點的圖象,可得選項.【詳解】由題意得,集合A表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點,作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示,得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B,所以兩個集合有兩個公共元素,所以元素個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查集合的交集運算,關鍵在于作出集合所表示的點的圖象,再運用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎題.8、C【解析】
由復數(shù)的除法運算整理已知求得復數(shù)z,進而求得其模.【詳解】因為,所以故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算與求復數(shù)的模,屬于基礎題.9、B【解析】
圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負情況?!驹斀狻浚势婧瘮?shù),四個圖像均符合。當時,,,排除C、D當時,,,排除A。故選B?!军c睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。10、B【解析】
先求出,得到,再結(jié)合集合交集的運算,即可求解.【詳解】由題意,集合,所以,則,所以.故選:B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算,其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎題.11、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當且僅當時取“=”號.
答案:C【點睛】本題考查基本不等式的應用,“1”的應用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗證等號能否成立,屬于基礎題.12、C【解析】
求出,直接由復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù).【詳解】.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,共軛復數(shù),屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1080【解析】
按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,然后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.14、【解析】
根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x),求函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】設F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關鍵.15、36010【解析】
列出所有租船的情況,分別計算出租金,由此能求出結(jié)果.【詳解】當租兩人船時,租金為:元,當租四人船時,租金為:元,當租1條四人船6條兩人船時,租金為:元,當租2條四人船4條兩人船時,租金為:元,當租3條四人船2條兩人船時,租金為:元,當租1條六人船5條2人船時,租金為:元,當租2條六人船2條2人船時,租金為:元,當租1條六人船1條四人船3條2人船時,租金為:元,當租1條六人船2條四人船1條2人船時,租金為:元,當租2條六人船1條四人船時,租金為:元,綜上,租船最低總費用為360元,租船的總費用共有10種可能.故答案為:360,10.【點睛】本小題主要考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查實際應用問題,屬于基礎題.16、【解析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關【解析】
(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對應的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬)(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計男100400500女200300500合計3007001000,所以有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關.【點睛】本題主要考查獨立性檢測的相關知識、分層抽樣與古典概念計算概率、考查學生的綜合分析與計算能力,難度較易.18、(1)所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)將分別乘以區(qū)間、對應的矩形面積可得出結(jié)果;(2)由題可知,隨機變量的可能取值為、、,利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率,可得出隨機變量的分布列,并由此計算出隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】(1)由題意知,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有(人),得分落在組的人數(shù)有(人).因此,所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人,得分落在組的人數(shù)有人;(2)由題意可知,隨機變量的所有可能取值為、、,,,,所以,隨機變量的分布列為:所以,隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù),同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望的求解,考查計算能力,屬于基礎題.19、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因為,則,因為,故,故,解得,故,則.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標準式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標方程,
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