五章正弦穩(wěn)態(tài)電路

第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路第一節(jié)正弦量的基本概念第二節(jié)正弦量的相量表示法第三節(jié)電阻元件伏安關系的相量形式第四節(jié)電感元件伏安關系的相量形式第五節(jié)電容元件伏安關系的相量形式第六節(jié)基爾霍夫定律的相量形式第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復阻抗第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復導納第九節(jié)無源二端網(wǎng)絡的等效復阻抗和復導納第十一節(jié)正弦電流電路的分析計算第十二節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率第十三節(jié)二端網(wǎng)絡的功率第十四節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量第十五節(jié)串聯(lián)電路的諧振第十六節(jié)并聯(lián)電路的諧振一、交流電的概念如果電流或電壓每經過一定時間（T）就重復變化一次，則此種電流、電壓稱為周期性交流電流或電壓。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。記做：u(t)=u(t+T)TutuTt§5.1正弦量的基本概念二、正弦交流電路:

如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦規(guī)律變化，由此產生的電流、電壓大小和方向也是正弦的，這樣的電路稱為正弦交流電路。正弦交流電的優(yōu)越性：便于傳輸；便于運算；有利于電器設備的運行；

.....1、正弦交流電的方向:

正弦交流電也有正方向,一般按正半周方向假設。iuR實際方向和假設方向一致實際方向和假設方向相反ti

交流電路進行計算時，首先也要規(guī)定物理量的正方向，然后才能用數(shù)字表達式來描述。2、正弦波的特征量:i ：

電流幅值（最大值）

：

角頻率（弧度/秒）：

初相角特征量:正弦波特征量之一——幅度為正弦電流的最大值最大值電量名稱必須大寫,下標加m。如：Um、Im

在工程應用中常用有效值表示幅度。常用交流電表指示的電壓、電流讀數(shù)，就是被測物理量的有效值。標準電壓220V，也是指供電電壓的有效值。交流直流熱效應相當有效值概念電量必須大寫如：U、I有效值則有（均方根值）可得當

時，問題與討論

若購得一臺耐壓為300V的電器，是否可用于220V的線路上?

電器~220V最高耐壓=300V有效值U=220V最大值Um

=220V=311V

電源電壓

該用電器最高耐壓低于電源電壓的最大值，所以不能用。正弦波特征量之二——角頻率

iT描述變化周期的幾種方法：

1.周期T：變化一周所需的時間單位：秒，毫秒..2.頻率f：每秒變化的次數(shù)單位：赫茲，千赫茲...3.角頻率ω：每秒變化的弧度單位：弧度/秒小常識*電網(wǎng)頻率：中國50Hz

美國、日本60Hz*有線通訊頻率：300-5000Hz

*無線通訊頻率：

30kHz-3×104MHz正弦波特征量之三——初相位：正弦波的相位角或相位。：t=0時的相位，稱為初相位或初相角。i說明：給出了觀察正弦波的起點或參考點，常用于描述多個正弦波相互間的關系。

兩個同頻率正弦量間的相位差(初相差)

ti

概念

：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉的有向線段在縱軸上的投影值來表示。矢量長度

=

矢量與橫軸夾角=

初相位ω矢量以角速度

按逆時針方向旋轉ωu§5.2正弦量的相量表示法

3.相量符號包含幅度與相位信息。有效值1.描述正弦量的有向線段稱為相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，則用符號：最大值相量的書寫方式2.在實際應用中，幅度更多采用有效值，則用符號：

落后于領先

落后？正弦波的相量表示法舉例例1：將u1、u2

用相量表示。相位：幅度：相量大小設：同頻率正弦波的相量畫在一起，構成相量圖。例2：同頻率正弦波相加

--平行四邊形法則注意：

1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上，不同頻率不行。新問題提出：

平行四邊形法則可以用于相量運算，但不方便。故引入相量的復數(shù)運算法。

相量復數(shù)表示法復數(shù)運算相量的復數(shù)表示ab+1將復數(shù)放到復平面上，可如下表示：歐拉公式代數(shù)式

指數(shù)式

極坐標形式ab在第一象限設a、b為正實數(shù)在第二象限在第三象限在第四象限相量的復數(shù)運算1.加、減運算設：則：2.乘法運算設：則：設：任一相量則：90°旋轉因子。+j逆時針轉90°，-j順時針轉90°說明：3.除法運算設：則：復數(shù)符號法應用舉例解：例1：已知瞬時值，求相量。已知:

求：i、u

的相量

220100求：例2：已知相量，求瞬時值。

已知兩個頻率都為1000Hz的正弦電流其相量形式為：解：波形圖瞬時值相量圖復數(shù)符號法小結：正弦波的四種表示法

Ti提示計算相量的相位角時，要注意所在象限。如：符號說明瞬時值

---小寫u、i有效值

---大寫U、I復數(shù)、相量

---大寫+“.”最大值

---大寫+下標正誤判斷？瞬時值復數(shù)瞬時值復數(shù)已知：正誤判斷？？有效值j45則：已知：正誤判斷？？則：已知：？正誤判斷最大值一、電阻電路uiR根據(jù)

歐姆定律

設則§5.3電阻元件伏安關系的相量形式1.頻率相同2.相位相同3.

有效值關系：二、電阻電路中電流、電壓的關系4.

相量關系：設

則

或2.平均功率（有功功率）P：一個周期內的平均值

大寫

uiR一、電感電路

基本關系式：iuL設則§5.4電感元件伏安關系的相量形式二、電感電路中電流、電壓的關系

1.頻率相同

2.相位相差

90°

（u

領先

i

90

°）iu設：3.有效值感抗（Ω）定義：則：4.相量關系設：則：u、i相位不一致！三、電感電路中復數(shù)形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息？領先！感抗（XL=ωL

）是頻率的函數(shù)，

表示電感電路中電壓、電流有效值之間的關系，且只對正弦波有效。ωXLω=0時XL=0四、關于感抗的討論u+_LR直流U+_R基本關系式:設：一、電容電路uiC則：§5.5電容元件伏安關系的相量形式

1.頻率相同2.相位相差90°（u落后

i

90°

）二、電容電路中電流、電壓的關系iu3.有效值或容抗（Ω）定義：則：I

4.相量關系設：則：三、電容電路中復數(shù)形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息領先！U+-ωu+-四、關于容抗的討論直流

是頻率的函數(shù)，

表示電容電路中電壓、電流有效值之間的關系，且只對正弦波有效。容抗ω＝0時已知：

C＝1μF求：I、i例uiC解：電流有效值求電容電路中的電流瞬時值i領先于u90°電流有效值電路參數(shù)基本關系復阻抗L復阻抗電路參數(shù)基本關系C電路參數(shù)R基本關系復阻抗小結電壓、電流瞬時值的關系符合歐姆定律、基爾霍夫定律

。uLiuRuRL§5.6基爾霍夫定律的相量形式

電流、電壓相量符合相量形式的歐姆定律、基爾霍夫定律。RL在電阻電路中：正誤判斷？？？瞬時值有效值在電感電路中：正誤判斷？？？？？單一參數(shù)正弦交流電路的分析計算小結電路參數(shù)電路圖（正方向）復數(shù)阻抗電壓、電流關系瞬時值有效值相量圖相量式功率有功功率無功功率Riu設則u、i

同相0LiuCiu設則設則u領先i90°u落后i90°00基本關系若則一、電流、電壓的關系uRLCi§5.7

R、L、C串聯(lián)電路及復阻抗總電壓與總電流的關系式相量方程式：則相量模型RLC設（參考相量）二、R-L-C串聯(lián)交流電路——相量圖先畫出參考相量相量表達式：RLC電壓三角形Z：復阻抗實部為阻虛部為抗容抗感抗令則三、R-L-C串聯(lián)交流電路中的復數(shù)形式歐姆定律復數(shù)形式的歐姆定律RLC

在正弦交流電路中，只要物理量用相量表示,元件參數(shù)用復數(shù)阻抗表示，則電路方程式的形式與直流電路相似。

是一個復數(shù)，但并不是正弦交流量，上面不能加點。Z在方程式中只是一個運算工具。

Z說明：RLC

在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗（)表示，則復數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。單一參數(shù)電路中復數(shù)形式的歐姆定律電阻電路電感電路電容電路復數(shù)形式的歐姆定律四、關于復阻抗Z

的討論由復數(shù)形式的歐姆定律可得：結論：Ｚ的模為電路總電壓和總電流有效值之比，而Ｚ的幅角則為總電壓和總電流的相位差。1.

Z和總電流、總電壓的關系2.

Z

和電路性質的關系

一定時電路性質由參數(shù)決定當

時，

表示u

領先i－－電路呈感性當時，

表示u、i同相－－電路呈電阻性當

時，表示u

落后i

－－電路呈容性阻抗角RLC假設R、L、C已定，電路性質能否確定？（阻性？感性？容性？）不能！

當ω不同時，可能出現(xiàn)：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC。3.阻抗（Z）三角形阻抗三角形4.阻抗三角形和電壓三角形的關系電壓三角形阻抗三角形相似導納的概念設:則:電導電納導納適合于并聯(lián)電路的計算,單位是西門子(s

)。導納§5.8R、L、C并聯(lián)電路及復導納

§5.9無源二端網(wǎng)絡的等效復阻抗和復導納一、簡單串并聯(lián)電路Z1Z2iZ1Z2Z1Z2iZ1Z2Y1、Y2

---導納Y1Y21、據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結構不變）2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖3、用復數(shù)符號法或相量圖求解4、將結果變換成要求的形式

在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗表示，則直流電路中介紹的基本定律、公式、分析方法都能用。具體步驟如下：

§5.11正弦電流電路的分析計算例1解題方法有兩種：1.利用復數(shù)進行相量運算2.利用相量圖求結果下圖中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的讀數(shù)AAB

C25UOC1解法1:利用復數(shù)進行相量運算已知：I1=10A、

UAB=100V，則：A讀數(shù)為10安求：A、UO的讀數(shù)即：設：為參考相量，AAB

C25UOC1UO讀數(shù)為141伏求：A、UO的讀數(shù)已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25UOC1解法2:利用相量圖求解設：45°由已知條件得：、領先90°45°落后于I=10A、UO=141V由圖得：求：A、UO的讀數(shù)已知：I1=10A、UAB=100V，UC1=IXC1=100VuC1落后于

i90°AAB

C25UOC1例2已知：R1、R2、L、C求：各支路電流的大小LC相量模型原始電路LC解法一節(jié)點電位法A已知參數(shù)：節(jié)點方程由節(jié)點電位便求出各支路電流：解法二：疊加定理R1R2R1R2+解法三：戴維南定理求、BAZ§5.12正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率一、電阻電路中的功率

uiR1.瞬時功率p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積小寫1.（耗能元件）結論：2.隨時間變化3.與

成比例ωtuipωt2.平均功率（有功功率）P：一個周期內的平均值

大寫

uiR二、電感電路中的功率1.瞬時功率p

iuL儲存能量p<0釋放能量+p>0p<0可逆的能量轉換過程uiuiuiuiiuL+Pp>0ui

2.平均功率P（有功功率）結論：純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換。3.無功功率QQ

的單位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定義：電感瞬時功率所能達到的最大值。用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。三、電容電路中的功率ui1.瞬時功率p充電p放電放電P<0釋放能量充電P>0儲存能量uiuiuiuiiuωt

2.平均功率P瞬時功率達到的最大值（吞吐規(guī)模）3.無功功率Q（電容性無功取負值）1.瞬時功率

2.平均功率

P（有功功率）

uRLCi§5.13二端網(wǎng)絡的功率總電壓總電流u與i

的夾角平均功率P與總電壓U、總電流

I

間的關系：

-----功率因數(shù)

其中：

在R、L、C串聯(lián)的電路中，儲能元件R、L、C

雖然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的規(guī)模用無功功率來表示。其大小為：

3.無功功率Q：4.視在功率S：

電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：伏安、千伏安PQ（有助記憶）S注：S＝UI

可用來衡量發(fā)電機可能提供的最大功率（額定電壓×額定電流）視在功率5.功率三角形無功功率有功功率_++_p

設i

領先u，（電容性電路）R、L、C

串聯(lián)電路中的功率關系iu電壓三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC正誤判斷因為交流物理量除有效值外還有相位。

？RLC在R-L-C串聯(lián)電路中？正誤判斷而復數(shù)阻抗只是一個運算符號。Z不能加“?”反映的是正弦電壓或電流，正誤判斷在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流電路中？？？？？正誤判斷在R-L-C串聯(lián)電路中，假設？？？正誤判斷在R-L-C串聯(lián)電路中，假設？？？？問題的提出：日常生活中很多負載為感性的，其等效電路及相量關系如下圖。

uiRLcosI當U、P

一定時，希望將cos提高P=PR=

UIcos其中消耗的有功功率為：§5.14功率因數(shù)提高及有功功率的測量負載iu說明：

由負載性質決定。與電路的參數(shù)和頻率有關，與電路的電壓、電流無關。功率因數(shù)和電路參數(shù)的關系RZ例40W白熾燈40W日光燈發(fā)電與供電設備的容量要求較大

供電局一般要求用戶的

，否則受處罰。

純電阻電路R-L-C串聯(lián)電路純電感電路或純電容電路電動機空載滿載

日光燈

（R-L-C串聯(lián)電路）常用電路的功率因數(shù)提高功率因數(shù)的原則：

必須保證原負載的工作狀態(tài)不變。即：加至負載上的電壓和負載的有功功率不變。提高功率因數(shù)的措施:uiRL并聯(lián)電容C并聯(lián)電容值的計算uiRLC

設原電路的功率因數(shù)為cosL，要求補償?shù)絚os須并聯(lián)多大電容？（設U、P

為已知）分析依據(jù)：補償前后P、U不變。由相量圖可知：iuRLC呈電容性。呈電感性問題與討論

功率因數(shù)補償?shù)绞裁闯潭龋坷碚撋峡梢匝a償成以下三種情況:功率因素補償問題（一）呈電阻性結論：在角相同的情況下，補償成容性要求使用的電容容量更大，經濟上不合算，所以一般工作在欠補償狀態(tài)。感性（較?。┤菪裕ㄝ^大）C

較大功率因數(shù)補償成感性好，還是容性好？一般情況下很難做到完全補償（即：）過補償欠補償功率因素補償問題（二）并聯(lián)電容補償后，總電路的有功功率是否改變？問題與討論R定性說明：電路中電阻沒有變，所以消耗的功率也不變。<<通過計算可知總功率不變。I、其中功率因素補償問題（三）提高功率因數(shù)除并電容外，用其他方法行不行？補償后RL串電容行否補償前RLC問題與討論

含有電感和電容的電路，如果無功功率得到完全補償，使電路的功率因數(shù)等于1，即：u、i

同相，便稱此電路處于諧振狀態(tài)。諧振串聯(lián)諧振：L與C串聯(lián)時

u、i

同相并聯(lián)諧振：L與C并聯(lián)時

u、i

同相

諧振電路在無線電工程、電子測量技術等許多電路中應用非常廣泛。諧振概念：§5.15串聯(lián)電路的諧振一、串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振的條件RLC串聯(lián)諧振電路、同相若令：則：諧振串聯(lián)諧振的條件是：諧振頻率：

串聯(lián)諧振的特點U、I

同相當時當電源電壓一定時：UC、UL將大于電源電壓U注：串聯(lián)諧振也被稱為電壓諧振當時，諧振時：、品質因數(shù)——Q

值

定義：電路處于串聯(lián)諧振時，電感或電容上的電壓和總電壓之比。諧振時:在諧振狀態(tài)下,若R>XL、R>XC，Q

則體現(xiàn)了電容或電感上電壓比電源電壓高出的倍數(shù)。串聯(lián)諧振特性曲線I諧振電流諧振頻率下限截止頻率上限截止頻率通頻帶關于諧振曲線的討論(a)不變，變化。(c)不變，變化。不變，(b)不變，變化。分以下三種情況：諧振曲線討論（之一）結論：R的變化引起變化

R愈大愈?。ㄟx擇性差）

R愈小愈大（選擇性好）R小R大不變，變化。（1）不變

即LC不變R改變改變（2）分析：（1）不變即U、R不變（2）改變結論：LC的變化引起變化

L變小或C變小

變大

L變大或C變大

變小諧振曲線討論（之二）不變，變化。諧振曲線討論（之三）結論：Q愈大，帶寬愈小，曲線愈尖銳。

Q愈小，帶寬愈大，曲線愈平坦。分析：不變，不變（LC）、R

不變，如何改變或？可以證明：可見與Q

相關。不變，變化。不變，串聯(lián)諧振時的阻抗特性感性容性串聯(lián)諧振應用舉例收音機接收電路接收天線與C：組成諧振電路將選擇的信號送接收電路組成諧振電路，選出所需的電臺。為來自3個不同電臺（不同頻率）的電動勢信號；已知：解：如果要收聽節(jié)目，C應配多大？問題（一）：結論：當C調到150pF時，可收聽到

的節(jié)目。問題（二）：信號在電路中產生的電流有多大？在C

上產生的電壓是多少？已知：解答：所希望的信號被放大了64倍。當時領先于(容性)諧振當時理想情況：純電感和純電容并聯(lián)。當時落后于(感性)§5.16并聯(lián)電路的諧振或理想情況下并聯(lián)諧振條件非理想情況下的并聯(lián)諧振同相時則諧振虛部實部則、

同相虛部=0。