第1次課庫(kù)倫定律電場(chǎng)強(qiáng)度

第1次課庫(kù)倫定律電場(chǎng)強(qiáng)度第1章靜止電荷的電場(chǎng)1.1電荷1.物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)質(zhì)子帶正電電子帶負(fù)電中子不帶電,正負(fù)電總和為零+e-e基元電荷e=1.6×10–19C(1)電荷不能產(chǎn)生,不能消滅;只能轉(zhuǎn)移,中和,與分離;(2)帶電:是失去或得到電子.(3)電荷消失:是正負(fù)電中和.2.電荷的量子化|Q|=NeNZ

3.電荷守恒定律孤立系統(tǒng)內(nèi),無(wú)論進(jìn)行怎樣的過(guò)程(物理,化學(xué),核反應(yīng)),系統(tǒng)內(nèi)電量的代數(shù)和為一常量.1.2庫(kù)侖定律與疊加原理1.點(diǎn)電荷的物理模型其大小遠(yuǎn)小于問(wèn)題所涉及的線度的帶電體.(形狀任意)2.庫(kù)侖定律q1q2r21F21F21=q1q2

r2k4πε01rr3q1q2=(1)真空中的電容率ε0ε0=8.85×10–12C2/(N·m2)k無(wú)物理意義,以后不用k.(2)

q1,q2同號(hào)F=q1q2/(4πε0r2)>0斥力q1,q2異號(hào)F=q1q2/(4πε0r2)<0引力(3)庫(kù)侖定律只適用與點(diǎn)電荷.(4)原子內(nèi)電力是萬(wàn)有引力的1039倍,一般不考慮萬(wàn)有引力.

(=r/r)1.21.3電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度一.電場(chǎng)1.電荷間作用力靠電場(chǎng)實(shí)現(xiàn)電荷電場(chǎng)電荷力力2.電場(chǎng)的對(duì)外表現(xiàn)(1)對(duì)電場(chǎng)中的電荷有作用力;(2)對(duì)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)電荷作功;(3)與電場(chǎng)中的物質(zhì)相互作用:導(dǎo)體,靜電感應(yīng);介質(zhì),極化.3.描述電場(chǎng)的物理量(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E;(2)電勢(shì)

U.二.電場(chǎng)強(qiáng)度E1.試驗(yàn)電荷q0電量極小的點(diǎn)電荷(1)電量足夠小:不改變產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷分布;(2)體積足夠小:所占據(jù)的空間真正代表一點(diǎn).2.電場(chǎng)強(qiáng)度的定義E=F/q0F為試驗(yàn)電荷受的電場(chǎng)力電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量大小:E=F/q0方向:q0>0,E與F同向q0<0,E與F反向電場(chǎng)強(qiáng)度E是描述電場(chǎng)固有性質(zhì)的物理量,只與場(chǎng)源電荷有關(guān),與試驗(yàn)電荷q0無(wú)關(guān)3.單位N/C或V/m4.電場(chǎng)力dF=Edq三.點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)E=F/q04πε01rr3qq0=q0E=qr/(4πε0r3)q>0,E與r同向q<0,E與r反向1.3四.電場(chǎng)疊加原理(由力的疊加原理得出)將帶電體分成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷.試驗(yàn)電荷受力為Fi=q0qiri/(4πε0ri3)F==q0qiri/(4πε0ri3)E=F/q0q0E=

qiri/(4πε0ri3)=Ei1.獨(dú)立性任何電荷的電場(chǎng)不因其它電荷的存在而受影響;2.疊加性空間電場(chǎng)是所有電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的矢量和.3.求電場(chǎng)的基點(diǎn)(1)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng);(2)電場(chǎng)疊加原理.五.電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算1.點(diǎn)電荷系激發(fā)的電場(chǎng)E=

qiri/(4πε0ri3)2.連續(xù)帶電體激發(fā)的電場(chǎng)E=

rdq/(4πε0r3)(1)體電荷體電荷密度ρ=dq/dVE=

rρdV/(4πε0r3)(2)線電荷截面尺寸遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度.也遠(yuǎn)小于問(wèn)題所涉及線度線電荷密度λ=dq/dlE=

rλdl/(4πε0r3)(3)面電荷厚度遠(yuǎn)小于表面尺寸,也遠(yuǎn)小于問(wèn)題所涉及線度面電荷密度σ=dq/dSE=

rσdS/(4πε0r3)1.41.4靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及疊加一.電偶極子1.定義(物理模型)其距離較問(wèn)題涉及線度小得多l(xiāng)<<r–q+qlPr的等量異號(hào)的點(diǎn)電荷系統(tǒng).2.電矩(電偶極矩)p=ql–q+qlpp與l同向,l從負(fù)指向正.3.電偶極子電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度(1)延長(zhǎng)線上的電場(chǎng)強(qiáng)度–q+qlA坐標(biāo)如圖OxA的坐標(biāo)為x.

E+=qi/[4πε0(x–l/2)2]E+

E–=–qi/[4πε0(x+l/2)2]E–E=E++E–=[iq/(4πε0)][1/(x–l/2)2–1/(x+l/2)2]={iq/[4πε0(x2–l2/4)2]}··[(x+l/2)2–(x–l/2)2](x>>l)~i2qxl/(4πε0x4)=iql/(2πε0x3)(p=ql=iql)E=2p/(4πε0x3)E與p同向問(wèn)題A點(diǎn)在電偶極子左方如何?(2)中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度–q+qlByr+E+=qr+/(4πε0r+3)E+r–E–=–qr–/(4πε0r–3)E–=qr+/(4πε0r3)=–qr–/(4πε0r3)E=E++E–=–q(r––r+)/(4πε0r3)=–ql/(4πε0r3)(y>>l)=–p/(4πε0y3)E與p反向.1.54.電偶極子在電場(chǎng)中受力(1)在均勻電場(chǎng)中–q+qEF–=–qE–F–F+=qE+F+=–qE=qEF=F++F–=(q–q)E=0r+r–M=r+×F++r–×F–

=r+×(qE)+r–×(–qE)=(r+–r–)×(qE)=l×(qE)=ql×E=p×E大小:M=pEsin方向:p,E,M成右手螺旋.電偶極子無(wú)平動(dòng),有轉(zhuǎn)動(dòng).(2)在非均勻電場(chǎng)中F=F++F–=qE+–qE–0M=r+×F++r–×F–

=r+×(qE+)+r–×(–qE–)~(r+–r–)×(qE)0=l×(qE)=ql×E=p×E電偶極子有平動(dòng),也有轉(zhuǎn)動(dòng).例1(P18例1.4)求帶電為q,長(zhǎng)為l的均勻帶電直線外一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度.alrdE解:元電荷取坐標(biāo)如圖.xyO取微dldq=dl(=q/l)=dxdE=dq/(4πε0r2)E==dx/[4πε0(x2+a2)]令x/a=cot(–)=–cotx=–acotdx=ad/sin2x2+a2=a2/sin21=arccot(–x1/a)2=arccot(–x2/a)=d/(4πε0a)=(2–1)/(4πε0a)

1.6dEx=dEcos=[λdx/(4πε0r2)](–x/r)=–λxdx/(4πε0r3)=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]dEx=dEsin=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]Ex=–λxdx/[4πε0(a2+x2)3/2]–λ(–acot)ad/sin24πε0(a2/sin2)3/2==[λ/(4πε0a)]cosd=λ(sin2–sin1)/(4πε0a)Ey=λadx/[4πε0(a2+x2)3/2]λaad/sin24πε0(a2/sin2)3/2==λ(cos1–cos2)/(4πε0a)λsind4πε0a=討論1.中垂線上1+2=πsin2=sin1cos1=–cos2Ex=0=(l/2)/(a2+l2/4)1/2Ey=λcos1/(2πε0a)=(q/l)[(l/2)/(a2+l2/4)1/2]/(2πε0a)=q/[4πε0a(a2+l2/4)1/2](1)當(dāng)l>>a1=0Ey=λ/(2πε0a)(2)當(dāng)l<<aEy=q/(4πε0a2)(3)當(dāng)a=0帶電體不再是線電荷2.延長(zhǎng)線上lxOdlrdE所有電荷元產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度都沿x正向λdx4πε0r2E=–λd(l+b–x)4πε0(l+b–x)2=λ4πε0=1b1l+bq4πε0b(b+l)=Pb點(diǎn)電荷1.7例2(P20例1.5)求半徑為R帶電為Q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.ROdEⅡdE⊥解:以中心軸為x軸.取x微元電荷dqdq=dlrdE=dq/(40r2)=dl/(40r2)dEdEⅡ=dEcos

=xdl/(40r3)因?qū)ΨQ(chēng),dE⊥相互抵消.故E=EⅡ=dEⅡ=[xdl/(40r3)]=2Rx/[40(x2+R2)3/2]=Qx/[40(x2+R2)3/2]方向沿x軸.討論如環(huán)開(kāi)一小口a,可用補(bǔ)賞法(1)當(dāng)x=0,中心處:E=0E=Qa/(8

20R3)求中心場(chǎng)強(qiáng).(2)當(dāng)x>>R,E=Q/(4πε0x2)點(diǎn)電荷(3)E~x曲線:xEOR/–R/E極大值點(diǎn)x=±R/例3(P21例1.6)求半徑為R帶電為Q的均勻圓盤(pán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng).OP解:取中心軸為xx軸,圓環(huán)元電荷rdrdq=2rdrdEdE=dqx/[40(x2+r2)3/2]dE=xrdr/[20(x2+r2)3/2]E==

xd(x2+r2)/[40(x2+r2)3/2]=[

/(20)][1–x/(x2+R2)1/2]=[Q/(20R2)][1–x/(x2+R2)1/2]當(dāng)x<<R,無(wú)限大帶電平面E=σ/(2ε0)第2次課電場(chǎng)強(qiáng)度(續(xù))

電通量例1.“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電半圓柱面,半徑R,設(shè)柱面沿軸線單位長(zhǎng)度上電量為,如圖.試求軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.xyORO解:過(guò)場(chǎng)點(diǎn)O作橫截面并在其上取坐標(biāo)如下圖,在柱面上取窄條微元,dldθθ密度為其電荷線'=(/π)dθdE=λ'/(2πε0R)dE=λdθ/(2π2ε0R)dEx=dEcos(θ+π)=–λcosθdθ/(2π2ε0R)dEy=dEsin(θ+π)=–λsinθdθ/(2π2ε0R)Ex=–λcosθdθ/(2π2ε0R)=λ/(π2ε0R)Ey=–λsinθdθ/(2π2ε0R)E=Ex=λ/(π2ε0R)=0方向沿x正向.例2.(P401.10)如圖,細(xì)帶電圓環(huán),半徑R,電荷線密度=0sinθ,求圓心處電場(chǎng)強(qiáng)度.ORθxy解:在圓上取電荷元dq=RdθdEdE=dq/(4πε0R2)=0sinθdθ/(4πε0R)dEx=dEcos(π+θ)

=–0sinθcosθdθ/(4πε0R)dEy=dEsin(π+θ)

=–0sin2θdθ/(4πε0R)Ex=–0sinθcosθdθ/(4πε0R)=0Ey=–0sin2θdθ/(4πε0R)=–0/(4ε0R)E=Exi+Eyj=–j0/(4ε0R)2.2例3.一半徑為R的半球面,均勻地帶有電荷,電荷面密度為.求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度.O解:x取環(huán)帶微元θdq=dS=2(Rsin)Rd

=2R2sinddEdE=dqx/[40(r2+x2)3/2]=–sincosd/(20)方向x軸正向.例4.用絕緣細(xì)線彎成的半圓環(huán),半徑為R,其上均勻地帶有正點(diǎn)荷Q,試求圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度.O解:xy取園弧微元dldq=dl=[Q/(R)]Rdθ=Qdθ/dEdE=dq/(4ε0r2)=Qdθ/(4π2ε0R2)dExdEydEx=dEcos(θ+)=－dEcosθ

dEy=dEsin(θ+)=－dEsinθ

Ex=dEx=Q/(2

2ε0R2)Ey=dEy=0故

E=Ex=Q/(2

2ε0R2)方向沿x軸正向.2.3例5.寬為a的無(wú)限長(zhǎng)帶電薄平板,電荷線密度為,取中心線為z軸,x軸與薄板在同一平面內(nèi),y軸垂直薄板.如圖.求y軸上距薄板為b的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向.zxyOabP解:取無(wú)限長(zhǎng)窄條電荷元dx,電荷線密度=dx/adE=/(20r)=dx/(20ar)dEx=dEcos=–xdx/[20a(b2+x2)]dEy=dEsin=bdx/[20a(b2+x2)]yxdxdEbPEx=∫dEx=–xdx/[20a(b2+x2)]=–ln(b2+x2)/[40a]=0Ey=∫dEy=bdx/[20a(b2+x2)]=arctan(x/b)/[20a]=arctan[a/(2b)]/(0a)E=Eyj=jarctan[a/(2b)]/(0a)1.5–1.7電通量

高斯定理一.電場(chǎng)線1.定義

其線上每點(diǎn)的切線都與該點(diǎn)

電場(chǎng)強(qiáng)度方向重合的一條有指向的曲線.形象直觀的描述電場(chǎng)E2.電場(chǎng)的圖示法方向:沿切線正向;大小:用疏密表示疏,E小.密,E大;電場(chǎng)線數(shù)密度de/dS

dSndS'dS

'2.4E=de/dS

dS⊥E,即dS

∥E.3.幾種特殊電場(chǎng)的電場(chǎng)線(1)點(diǎn)電荷正,發(fā)散;負(fù),收斂.(球?qū)ΨQ(chēng)):(3)無(wú)限大帶電平面平行,等距(2)兩點(diǎn)電荷起于正終于負(fù).4.電場(chǎng)線的性質(zhì)(1)起于正電荷終于負(fù)電荷；(2)不閉合,不相交,連續(xù).二.電通量

1.定義通過(guò)電場(chǎng)中一給定曲面的電場(chǎng)線的總條數(shù).2.表達(dá)式(1)過(guò)微小曲面dS的電通量deEdSEdS為dS在垂直E方向的投影θdS=dScosθde=EdS

=EdScosθnθ=E·dS(2)過(guò)某曲面S的電通量ee=3.討論(1)電通量e是標(biāo)量,不是矢量;(2)計(jì)算電通量時(shí)要對(duì)面選取法線方向(閉合曲面的法線指向面外).求電通量大小時(shí)一般讓n與E的夾角小于π/2.2.5例4.在點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中,求通過(guò)如圖所示的圓面的電通量.xRQ解:設(shè)圓面法線向左,n取細(xì)圓環(huán)面元dS=2πrdrrdrE=Q/[4πε0(x2+r2)]Eθcosθ=x/(x2+r2)1/2dΦe=E·dS=EdScosθ=2πxQrdr/[4πε0(x2+r2)3/2]=xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]Φe=dΦe=

xQrdr/[2ε0(x2+r2)3/2]=[xQ/(4ε0)]d(r2+x2)/(x2+r2)3/2=[xQ/(2ε0)][1/(x2+r2)1/2]=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)或用通過(guò)圓面對(duì)應(yīng)球冠面的電通量來(lái)計(jì)算:S=2πR0h=2π(R2+x2)1/2[(R2+x2)1/2–x]=2π[R2+x2–x(R2+x2)1/2]E=Q/(4πε0R02)=Q/[4πε0(R2+x2)]Φe=ES=Q[1–x/(x2+R2)1/2]/(2ε0)三.高斯定理求過(guò)閉合曲面的電通量1.點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)(1)閉合曲面是以電荷為心的球面SΦe=E·dS=[Q/(4πε0r2)]dS=[Q/(4πε0R2)]dS=Q/ε0(2)閉合曲面是包圍點(diǎn)電荷的任意曲面S

'2.6Φ'e=

E·dS=Φe=

E·dS=Q/ε0(3)閉合曲面不包圍點(diǎn)電荷S"電場(chǎng)線進(jìn)入高斯面又穿出高斯面Φ"e=

E·dS=02.任意電荷激發(fā)的場(chǎng)將其分成若干點(diǎn)電荷q=Σqiq激發(fā)電場(chǎng)E是每個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)電場(chǎng)Ei

的矢量和E=ΣEiΦe=

E·dS=

ΣEi·dS=Σ[Ei·dS]=Σqint/ε0Σqint是高斯面S所包圍的電荷.3.結(jié)論

E·dS=Σqint/ε0量只與曲面內(nèi)所包圍電荷的代數(shù)和有關(guān),與曲面的形狀,曲面外的電荷無(wú)關(guān).注意:曲面上的電場(chǎng)強(qiáng)度與面內(nèi)外所有電荷有關(guān).這說(shuō)明通過(guò)閉合曲面的電通4.靜電場(chǎng)的一個(gè)性質(zhì)靜電場(chǎng)是有源場(chǎng).(1)當(dāng)Σqint>0,有Φe>0.表明有電場(chǎng)線從S穿出,面內(nèi)有正源;(2)當(dāng)Σqint<0,有Φe<0.表明有電場(chǎng)線進(jìn)入S面,面內(nèi)有負(fù)源;(3)當(dāng)Σqint=0,有Φe=0.表明電場(chǎng)線進(jìn)入又穿出S,電場(chǎng)線連續(xù);三.高斯定理的應(yīng)用質(zhì),任何時(shí)候都是正確的.1.

高斯定理是靜電場(chǎng)的基本描述了靜電場(chǎng)的基本性方程第3次課高斯定理2.

用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度例1.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).RQ解:由于電荷球?qū)ΨQ(chēng),必然電場(chǎng)球?qū)ΨQ(chēng):E沿徑向,且距球心r相等處E大小等.過(guò)場(chǎng)點(diǎn)作與帶電球同心的球面,Sr依高斯定理,有=Σqint/ε0==E=4πr2E當(dāng)r<R:Σqint=0E=0當(dāng)r>R:Σqint=QE=Q/(4πε0r2)考慮方向E=Qr/(4πε0r3)故r<R:E=0;r>R:E=Qr/(4πε0r3)均勻帶電球面在

球內(nèi)的

場(chǎng)強(qiáng)為零,在球外的場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在球心

的

點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其E–r關(guān)系如圖.Q4πε0R21/r2用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的步驟(1)分析電荷與場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性;(2)選取合適的高斯面(其目的能將寫(xiě)成ES);(3)用高斯定理列方程,解方程,指出場(chǎng)的方向.對(duì)稱(chēng)性與對(duì)應(yīng)高斯面:球?qū)ΨQ(chēng):球電荷柱對(duì)稱(chēng):無(wú)限長(zhǎng)柱電荷面對(duì)稱(chēng):無(wú)限大面電荷柱形高斯面球形高斯面高斯面上的E

:①大小處處等,E

dS;②大小處處不等,EdS.rORE3.2例2.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球體在球內(nèi)外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).RQ解:因電荷球?qū)ΨQ(chēng),電場(chǎng)球?qū)ΨQ(chēng):

E沿徑向,且距球心r相等處E大小等.過(guò)場(chǎng)點(diǎn)作與球同心的球面,有Sr=Σqint/ε0==4πr2E當(dāng)r<R:Σqint

=ρ(4πr3/3)=[Q/(4πR3/3)](4πr3/3)Q4πε0R21/r2=Qr3/R3考慮方向,有E=Qr/(4πε0R3)當(dāng)r>R:Σqint=QE=Q/(4πε0r2)E=Qr/(4πε0R3)r>R:E=Qr/(4πε0r3)r<R:均勻帶電球體

球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)與r成正比,球外場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在球心

的

點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其E–r關(guān)系如圖.例3.求半徑為R帶電線密度為λ的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在柱內(nèi)外產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度.解:因電荷柱對(duì)稱(chēng),

電場(chǎng)柱對(duì)稱(chēng):E

沿徑向,

且距軸線r

相等處E大小等.

過(guò)場(chǎng)點(diǎn)作與

帶電柱R面同軸的圓柱面,其高為h.有rS=++λ2πε0R1/rrORErORE3.3=0+0+2πrhE=Σqint/ε0當(dāng)r<R:Σqint=0E=0當(dāng)r>R:Σqint=λhE=λ/(2πε0r)方向垂直軸線并沿徑向.無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在柱面內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零,在柱面外的場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在軸線的無(wú)限長(zhǎng)均勻線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其E–r關(guān)系如圖.例4.求半徑為R帶電線密度為λ的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體在柱內(nèi)外產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度.R解:因電荷柱對(duì)稱(chēng),

電場(chǎng)柱對(duì)稱(chēng):E

沿徑向,

且距軸線r

相等處E大小等.

過(guò)場(chǎng)點(diǎn)作同軸柱面,其高為h.有rS=++=0+0+2πrhE=Σqint/ε0當(dāng)r<R:Σqint

=ρ(πr2h)=[λh/(πR2h)](πr2h)=λhr2/R2E=λr/(2πε0R2)當(dāng)r>R:Σqint=λhE=λ/(2πε0r)方向垂直軸線并沿徑向.無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體在柱體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)與r成正比,在柱面外場(chǎng)強(qiáng)等效于將電荷集中在軸線的無(wú)限長(zhǎng)均勻線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).其E–r關(guān)系如圖.λ2πε0R1/r例5.求面電荷密度為σ的無(wú)限大均勻帶電薄平板在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度.rORE3.4σE解:因電荷面對(duì)稱(chēng),電場(chǎng)面對(duì)稱(chēng):

E垂直帶電面,指向外,距帶電面等距處E大小等.過(guò)場(chǎng)點(diǎn)作柱形高斯面

(側(cè)面垂直帶電面,底面以帶電面對(duì)稱(chēng),面積ΔS).有SΔS=++=EΔS+EΔS+0=2EΔSΣqint=σΔS由=Σqint/ε0得E=σ/(2ε0)考慮方向,有x>0,E=iσ/(2ε0);x<0,E=–iσ/(2ε0)其E–x關(guān)系如圖.Oxσ/(2ε0)–σ/(2ε0)例6.半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)有一個(gè)半徑為a(a<R)的球形空腔,球心到圓柱軸的距離為d(d>a),該球形空腔的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷,如圖所示.求:(1)在球形空腔的球心O處的場(chǎng)強(qiáng)EO;(2)在柱體內(nèi)與O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度EP.RadPOd解:球形空腔無(wú)限長(zhǎng)圓柱帶電體可認(rèn)為是均勻帶正電(體電荷密度為)無(wú)限長(zhǎng)圓柱體與

均勻帶負(fù)電(體電荷密度為)球體組成.分別用高斯定理求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體激發(fā)的電場(chǎng)

E1與均勻帶電3.5球體激發(fā)的電場(chǎng)E2.為求E1,在柱體內(nèi)作同軸的圓柱形高斯面,有E1=

r1/(20)方向垂直于軸線指向外;為求E2,在球體內(nèi)外作同心的球形高斯面,有球內(nèi)r<aQ=4

r23/3E2=

r2/(30)球外r>aQ=4a3/3E2=a3/(30r22)負(fù)號(hào)表示方向指向球心.對(duì)于O點(diǎn)E1=d/(20)(因r2=0)E2=r2/(30)=0得EO=d/(20)方向向右;對(duì)于P點(diǎn)E1=d/(20),E2=a3/(120d2)得EP=d/(20)a3/(120d2)

方向向左.(因r2=2d)第4次課靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

電勢(shì)第3章電勢(shì)3.3~3.5靜電場(chǎng)環(huán)路定理

電勢(shì)

一.靜電場(chǎng)力的功討論點(diǎn)電荷q0在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),靜電場(chǎng)力做功q0lab1.點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)qE=qr/(4πε0r3)F=qq0r/(4πε0r3)FrA=F·dldl4πε0r3qq0r·dl=θ=[qq0dlcosθ/(4πε0r2)]r1r2(dlcosθ=dr)=[qq0dr/(4πε0r2)]

=[qq0/(4πε0)](1/r1–1/r2)即點(diǎn)電荷q0在點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)靜電場(chǎng)力做功與路徑l無(wú)關(guān),只與q0的始末位置有關(guān).2.任意電荷激發(fā)的電場(chǎng)E=

rdq/(4πε0r3)F=q0E=q0

rdq/(4πε0r3)A=F·dl4πε0r3dqr·dl=q04πε0r3r·dldq=q04πε0r2drdq=q04πε0q0dq=r11r21式中r1和r2分別為點(diǎn)電荷q0運(yùn)動(dòng)路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)到電荷元dq的距離.結(jié)果表明:點(diǎn)電荷q0在任意電荷激發(fā)的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)靜電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),只與q0的始末位置有關(guān).二.靜電場(chǎng)環(huán)路定理1.安培環(huán)路定理A=F·dl=qE·dl4.2=qE·dl+qE·dlabl1l2=qE·dl–

qE·dl=0

E·dl

=0得安培環(huán)路定理靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷q沿閉合路徑運(yùn)動(dòng)做的功為零2.靜電場(chǎng)的又一性質(zhì)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng).靜電場(chǎng)是(1)有源場(chǎng)(由高斯定理得出)(2)保守場(chǎng)環(huán)路定理說(shuō)明:靜電場(chǎng)沿任意閉合路徑積分為零.做功與路徑無(wú)關(guān)的力是保守力,故靜電場(chǎng)力是保守力;積分與路徑無(wú)關(guān)的場(chǎng)是保守場(chǎng).(由環(huán)路定理得出)三.電勢(shì)能與電勢(shì)位置所決定的做功本領(lǐng)保守力勢(shì)能靜電場(chǎng)力是保守力電勢(shì)能(只討論點(diǎn)電荷的電勢(shì)能)1.電勢(shì)能點(diǎn)電荷在某點(diǎn)電勢(shì)能等于電場(chǎng)力將其從該點(diǎn)移到參考點(diǎn)所做的功.WP=qE·dl=qE·dl由電荷與電場(chǎng)的相對(duì)2.電勢(shì)電勢(shì)能與電荷有關(guān),qE·dl=E·dl與電荷無(wú)關(guān),由WP/q電場(chǎng)本身固有性質(zhì)決定.(1)定義(描述電場(chǎng)的又一物理量)=E·dlUP=WP/q電場(chǎng)中某點(diǎn)電勢(shì)數(shù)值上等于4.3單位正電荷從場(chǎng)點(diǎn)移到零勢(shì)點(diǎn)靜電場(chǎng)力作的功.(2)單位伏特(V)E的又一單位:(N/C)V/m3.電勢(shì)差場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)之差(電壓)Uab=Ua–Ub=E·dl–

E·dl=E·dl+

E·dl=E·dl靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)間電勢(shì)差等于將單位正電荷從起點(diǎn)移到終點(diǎn)靜電場(chǎng)力作的功.4.說(shuō)明(1)電勢(shì)能是電場(chǎng)與電荷共有的,而電勢(shì)是電場(chǎng)固有的;(2)電勢(shì)能與電勢(shì)是相對(duì)的,與零點(diǎn)的選取有關(guān),零點(diǎn)的選取任意;(3)兩點(diǎn)電勢(shì)差與零點(diǎn)選取無(wú)關(guān).(4)電勢(shì),電勢(shì)能是標(biāo)量,不是矢量.5.電勢(shì)零點(diǎn)的選取(1)電勢(shì)零點(diǎn)的選取以方便為準(zhǔn);(2)有限帶電體場(chǎng)的零勢(shì)點(diǎn)選;(3)無(wú)限帶電體場(chǎng)的零點(diǎn)不能選.四.靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷的功A,點(diǎn)電荷與電場(chǎng)的電勢(shì)能W及電勢(shì)U之間的關(guān)系W=qE·dl=qE·dl=qUA=qE·dl=qE·dl=qUab五.電勢(shì)的計(jì)算(選為勢(shì)零點(diǎn))1.點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)UP=E·dl4πε0r3qr·dl==4πε0r2qdr=[–q/(4πε0r)]=q/(4πε0r)2.電勢(shì)疊加原理將帶電體分成點(diǎn)電荷:4.4q=qiE=EiU=E·dl=Ei·dl=Ei·dl=Ui=Σ[qi/(4πε0ri)]連續(xù)帶電體U=[dq/(4πε0r)](1).獨(dú)立性任何電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)不因其它電荷而受影響;(2).疊加性電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)是所有電荷產(chǎn)生電勢(shì)的標(biāo)量和.,3.知電荷分布求電勢(shì)的基點(diǎn)(1)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì);(2)電勢(shì)疊加原理(標(biāo)量疊加).(1)定義法(2)疊加法4.計(jì)算電勢(shì)的兩種方法：U=E·dlU=[dq/(4πε0r)]例1.求電偶極子場(chǎng)中一點(diǎn)P的電勢(shì).q–qlP解:由疊加原理xy(x,y)r+r–rU=U++U–=q/(4πε0r+)–q/(4πε0r–)=q(r––r+)4πε0r+r–r––r+θ'而r––r+~lcosθ'θ~lcosθ,r–~r+~r得U=qlcosθ/(4πε0r2)=pcosθ/(4πε0r2)=prcosθ/(4πε0r3)=p·r/(4πε0r3)=px/[4πε0(x2+y2)3/2例2.求半徑為R帶電為Q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì).RO解:定義法x軸上x(chóng)處,E沿x軸,大小為EE=Qx/[40(x2+R2)3/2]4.5U=E·dl={Qx/[40(x2+R2)3/2]}dx

=

Qd(x2+R2)/[80(x2+R2)3/2]

={–Q/[40(x2+R2)1/2]}

=Q/[40(x2+R2)1/2]

疊加法取微元電荷dq=dldU=dq/(40r)=dl/[40(x2+R2)1/2]U=dU=dl/[40(x2+R2)1/2]=2R/[40(x2+R2)1/2]=Q/[40(x2+R2)1/2]

例3.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球面在球內(nèi)外產(chǎn)生的電勢(shì).r<R:E1=0;r>R:E2=Qr/(4πε0r3)解:疊加法困難,用定義法U=E·dl球內(nèi)電勢(shì)球外電勢(shì)r<R=E1·dl+E2·dl=0+[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0R)r>RU=E·dl=E2·dl=[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0r)均勻帶電球面在球內(nèi)產(chǎn)生的電勢(shì)等于在球面上產(chǎn)生的電勢(shì)

(即均勻帶電球面為等勢(shì)

體);在球外產(chǎn)生的電勢(shì)等效于將電荷集中在球心

的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì).其U–r關(guān)系如圖.Q4πε0RrORU1/r4.6例4.求半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球體在球內(nèi)外產(chǎn)生的電勢(shì).r>R:E2=Qr/(4πε0r3)解:用定義法r<R:E1=Qr/(4πε0R3)U=E·dl球內(nèi)電勢(shì)r<R=E1·dl+E2·dl+[Qdr/(4πε0r2)]=Qrdr/(4πε0R3)=[Qr2/(8πε0R3)]+[–Q/(4πε0r)]=Q/(8πε0R)–Qr2/(8πε0R3)+Q/(4πε0R)=3Q/(8πε0R)–Qr2/(8πε0R3)球外電勢(shì)r>RU=E·dl=E2·dl=[Qdr/(4πε0r2)]=Q/(4πε0r)均勻帶電球體在球內(nèi)產(chǎn)生的電勢(shì)是到球心距離的函數(shù)(即均勻帶電球體不是等勢(shì)體);在球外產(chǎn)生的電勢(shì)等效于將電荷集中在球心

的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì).其U–r關(guān)系如圖.rORU–r21/r球心與球面的電勢(shì)分別為U0=8πε0R3Q8πε0R3QQ4πε0RUR=Q4πε0R例5.(P883.9)一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱,體電荷密度為ρ,截面半徑為a,(1)用高斯定理求柱內(nèi)外電場(chǎng);(2)

求柱內(nèi)外電勢(shì),以軸線為電4.7勢(shì)零點(diǎn);(3)畫(huà)出E–r和U–r曲線.a解:(1)因電場(chǎng)柱對(duì)稱(chēng):E

沿徑向,距軸r

等處E值等.

過(guò)場(chǎng)點(diǎn)作高h(yuǎn)同軸柱面,有rS=++=0+0+2πrhE=Σqint/ε0當(dāng)r<a:Σqint

=ρ(πr2h)E1=ρr/(2ε0)當(dāng)r>a:Σqint=ρ(πa2h)E2=ρa(bǔ)2/(2ε0r)E

方向垂直于軸線且指向外.(2)當(dāng)r<a:U1=E·dl=E1·dl=[ρr/(2ε0)]dr=–ρr2/(4ε0)當(dāng)r>a:U2=E·dl=E2·dl+E1·dl=ρa(bǔ)2dr/(2ε0r)+ρrdr/(2ε0)=ρa(bǔ)2ln(a/r)/(2ε0)–ρa(bǔ)2/(4ε0)=–ρa(bǔ)2/(4ε0)[2ln(r/a)+1](3)rOaEr=0:E0=0,r=a:Ea=ρa(bǔ)/(2ε0)ρa(bǔ)2ε01/rrOUU0=0–r2Ua=–ρa(bǔ)24ε0ρa(bǔ)24ε0–ln(r/a)說(shuō)明:

無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱場(chǎng)的零勢(shì)點(diǎn)不能選在.數(shù)學(xué)上講,結(jié)果發(fā)散;物理上講,帶電圓柱不再是無(wú)限長(zhǎng).“無(wú)限長(zhǎng)”公式不再適用.第5次課電勢(shì)梯度靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體

3.4電勢(shì)梯度一.等勢(shì)面1.定義等電勢(shì)點(diǎn)組成的面.2.等勢(shì)面的性質(zhì)由dU=0得出dA=qdU=0(1)點(diǎn)電荷在等勢(shì)面上移動(dòng),E·dl=dU=0Edl(2)電場(chǎng)強(qiáng)度與等勢(shì)面正交;(3)等勢(shì)面密集處場(chǎng)強(qiáng)大,等勢(shì)面稀疏處場(chǎng)強(qiáng)小.由dU=E·dl知:設(shè)dU等,E||dl

.E大,則dl小,即等勢(shì)面密.3.兩種特殊電場(chǎng)的等勢(shì)面+1.電勢(shì)空間變化率(方向?qū)?shù))二.電勢(shì)梯度dl為沿某方向的微小距離,對(duì)應(yīng)兩等勢(shì)面的電勢(shì)差為dUdlUU+dUE·dl=U1–U2=U–(U+dU)=–dUE–dU

=E·dlθ=EdlcosθdU/dl=–Ecosθ=–El電勢(shì)沿某方向的空間變化率等于電場(chǎng)強(qiáng)度在該方向投影的負(fù)值.(1)電勢(shì)空間變化率隨方向而變;(2)空間變化率絕對(duì)值的最大值沿過(guò)該點(diǎn)等勢(shì)面的法線方向.2.電勢(shì)梯度gradU是矢量方向?yàn)殡妱?shì)變化最快的方向,大小[dU/dl]max=dU/(dlcosθ)=dU/dngradU+=U電場(chǎng)力不作功;5.2=(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k3.電勢(shì)梯度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系由dU/dl=–El得Ex=–U/xEy=–U/yEz=–U/zE=–[(U/x)i+(U/y)j+(U/z)k]E=–gradU電場(chǎng)強(qiáng)度等于電勢(shì)梯度負(fù)值.即電場(chǎng)強(qiáng)度指向電勢(shì)降落的方向=–U三.場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系積分關(guān)系=E·dlU=E·dl微分關(guān)系E=–gradU=–U例1.(P75例3.7)利用場(chǎng)強(qiáng)梯度關(guān)系,計(jì)算電偶極子場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng).解:

U=p·r/(4πε0r3)p

=pir=xi+yjr2=x2+y2=px/(4πε0r3)=[p/(4πε0)](x/r3)r/x=[(x2+y2)1/2]/x=(1/2)(x2+y2)1/2–12x=x/rr/y=y/rEx=–U/x=–{[p/(4πε0)](x/r3)}/x=–[p/(4πε0)][(1/r3)+x(–3r–4)r/x]=–[p/(4πε0)][(1/r3)–3x2/r5]=[p/(4πε0)][(2x2–y2)/r5]=p(2x2–y2)/(4πε0r5)Ey=–U/y=–{[p/(4πε0)](x/r3)}/y=–[p/(4πε0)]x(–3r–4)r/y=[p/(4πε0)]3xy/r5=3pxy/(4πε0r5)E=(Ex2+Ey2)1/2=[p/(4πε0r5)][(2x2–y2)2+(3xy)2]1/25.3=[p/(4πε0r5)](4x4+5x2y2+y4)1/2=[p/(4πε0r5)][(x2+y2)(4x2+y2)]1/2=[p/(4πε0r4)](x2+y2+3x2)1/2=[p/(4πε0r3)][1+3(x/r)2]1/2=p(1+3cos2θ)1/2/(4πε0r3)E與x軸的夾角滿(mǎn)足tan=Ey/Ex=3xy/(2x2–y2)第4章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一.導(dǎo)體靜電平衡的條件1.靜電平衡的建立導(dǎo)體內(nèi)有大量可自由移動(dòng)的電荷外電場(chǎng)自由電荷運(yùn)動(dòng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)重新分布產(chǎn)生附加電場(chǎng)與外場(chǎng)合成再對(duì)自由電荷作用反復(fù)進(jìn)行,直到對(duì)自由電荷的作用力為零時(shí)停止.一瞬間.導(dǎo)體體內(nèi)與表面無(wú)定向移動(dòng)電荷2.靜電平衡的條件(1)導(dǎo)體體內(nèi)(內(nèi)部自由電荷不受電場(chǎng)力)Eint=0;(2)導(dǎo)體表面外附近(表面自由電荷不受切向力)ES表面.3.推論(1)導(dǎo)體內(nèi)任取兩點(diǎn)a,b,因Eint=0Ua–Ub==0Ua=Ub導(dǎo)體為等勢(shì)體;(2)導(dǎo)體表面為等勢(shì)面.導(dǎo)體表面取兩點(diǎn)c,d,因ESdlUc–Ud==0Uc=Ud二.導(dǎo)體靜電平衡時(shí)電荷分布1.導(dǎo)體體內(nèi)各處宏觀電荷為零;對(duì)導(dǎo)體體內(nèi)任一點(diǎn)O作任意5.4小高斯面S,因Eint=0,導(dǎo)體OS有Eint·

dS=0即q=02.導(dǎo)體電荷分布在表面其表面電荷分布狀況與表面形狀及周?chē)鷰щ婓w有關(guān).(1)孤立導(dǎo)體表面電荷面密度與曲率半徑有關(guān)尖端處(曲率大)電荷密度大;平坦處(曲率小)電荷密度小;定性證明:用導(dǎo)線連接相距很遠(yuǎn)的兩導(dǎo)體球,靜電平衡時(shí)等勢(shì),有R1Q1R2Q2Q1/(4πε0R1)=Q2/(4πε0R2)4πR12σ1/(4πε0R1)=4πR22σ2/(4πε0R2)R1σ1=R2σ2σ1/σ2=R2/R1低凹處(曲率負(fù))電密度更小.(2)空腔導(dǎo)體內(nèi)表面帶凈電荷與腔內(nèi)凈電荷等值反號(hào)證明:空腔導(dǎo)體ΣQQSint貼近內(nèi)表作高斯面,因Eint=0,在導(dǎo)體內(nèi)S有Eint·

dS=0即Σqint=0得QSint=–ΣQ空腔導(dǎo)體腔內(nèi)無(wú)電荷時(shí),內(nèi)表面處處無(wú)電荷空腔導(dǎo)體證明:由QSint=–ΣQ得QSint=0因ΣQ=0說(shuō)明內(nèi)表面凈電荷為零.設(shè)內(nèi)表某處A帶正電,A另一處B帶等量負(fù)電.B因腔內(nèi)無(wú)電荷,從A到B必有電場(chǎng)線.沿一電場(chǎng)線5.5積分UA–UB=

E·dl0與導(dǎo)體為等勢(shì)體矛盾,故導(dǎo)體內(nèi)表面不同處有等量異號(hào)電荷的假設(shè)不成立,所以當(dāng)腔內(nèi)無(wú)電荷時(shí),內(nèi)表面處處無(wú)電荷.靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)導(dǎo)體ES1.

ES表面;S表面附近作如圖的柱形高斯面,依高斯定理=++=EΔS+0+0=qint/ε0=σΔS/ε0E=σ/ε02.

ES=σ/ε0;尖端處,電荷密度大,電場(chǎng)強(qiáng);平坦處,電荷密度小,電場(chǎng)弱.3.空腔導(dǎo)體腔內(nèi)無(wú)電荷時(shí),腔內(nèi)電場(chǎng)為零因?qū)w腔內(nèi)無(wú)電荷,內(nèi)表面處處無(wú)電荷,故腔內(nèi)無(wú)電場(chǎng)線,即腔內(nèi)電場(chǎng)為零.四.靜電感應(yīng)的應(yīng)用1.靜電屏蔽(1)腔外電荷及外表電荷對(duì)腔內(nèi)電場(chǎng)無(wú)影響;(2)接地導(dǎo)體腔內(nèi)部電荷也不影響腔外電場(chǎng);(3)靜電屏蔽裝置:接地導(dǎo)體空腔因?qū)w電勢(shì)為零.腔內(nèi),腔外的電場(chǎng)互不影響2.尖端放電:避雷針尖端處,E值大,空氣電離.帶因腔外及外表電荷在導(dǎo)體體內(nèi)和腔內(nèi)產(chǎn)生合電場(chǎng)為零.5.6電與尖端相反的離子中和尖端處電荷,使尖端電荷減少.有導(dǎo)體存在時(shí)求靜電場(chǎng)物理量的討論方法1.導(dǎo)體靜電平衡的條件2.靜電場(chǎng)基本性質(zhì)方程3.電荷守恒定律Eint=0或?qū)w為等勢(shì)體

E·dS=Σqint/ε0

E·dl

=0ΣQi=const例2.兩“無(wú)限大”導(dǎo)體板A,B,面積S,分別帶電Q1,Q2,平行對(duì)稱(chēng)放置.求:(1)A,B上電荷分布;(2)空間電場(chǎng)分布;(3)將B板接地,求電荷分布.ABQ1Q2abσ1σ2σ3σ4E1E2E3解:設(shè)電荷面密度及電場(chǎng)分布如圖.σ1/(2ε0)–σ2/(2ε0)–σ3/(2ε0)–σ4/(2ε0)=0σ1/(2ε0)+σ2/(2ε0)+σ3/(2ε0)–σ4/(2ε0)=0σ1+σ2=Q1/Sσ3+σ4=Q2/S整理得σ1–σ2–σ3–σ4=0σ1+σ2+σ3–σ4=0另有解得σ1=σ4=(Q1+Q2)/(2S)σ2=–σ3=(Q1–Q2)/(2S)(2)E1=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)=(Q1+Q2)/(2Sε0)向左E2=(σ1+σ2–σ3–σ4)/(2ε0)=(Q1–Q2)/(2Sε0)向右E3=(σ1+σ2+σ3+σ4)/(2ε0)=(Q1+Q2)/(2Sε0)向右(3)σ4=0σ1=0因σ1+σ2=Q1/Sσ2=Q1/Sσ3=–Q1/S(1)在兩板取a,b兩點(diǎn),因Ea=Eb=0,有UB=0第6次課靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體(續(xù))

靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)例1.帶電q的金屬球A與帶電Q的金屬球殼B同心放置,A半徑r,B內(nèi)外半徑R1,R2.(1)求電荷分布;(2)求A和B的電勢(shì)UA,UB.(3)今將球A接地,再求電荷分布及電勢(shì)差UA–UB.解:(1)因AB同心,電荷球?qū)ΨQ(chēng),故球A表面均勻帶電q;球殼B內(nèi)表面均勻帶電q,外表面均勻帶電Q+q.(2)UA=q/(4πε0r)–q/(4πε0R1)+

(Q+q)/(4πε0R2)UB=q/(4πε0R2)–q/(4πε0R2)+(Q+q)/(4πε0R2)=(Q+q)/(4πε0R2)(3)球A接地,U'A=0.設(shè)A帶電q'知B內(nèi)外表帶電q',Q+q',有U'A=0=q'/(4πε0r)–q'/(4πε0R1)+

(Q+q')/(4πε0R2)q'/r–q'/R1+(Q+q')/R2=0

q'(1/r–1/R1+1/R2)=–Q/R2q'=(–Q/R2)/(1/r–1/R1+1/R2)故球A表面均勻帶電q'=–QrR1/[R1(r+R2)–rR2]<0球殼B內(nèi)表面均勻帶電–q'=QrR1/[R1(r+R2)–rR2]>0球殼B外表面均勻帶電rR1R2qQAB>0Q+q'=QR2(R1–r)R1(r+R2)–rR2UA–UB=–UB=–(Q+q')/(4πε0R2)=–Q(R1–r)4πε0[R1(r+R2)–rR2]6.2解:接地即U=0.設(shè)感應(yīng)電量為例2.半徑為R的接地導(dǎo)體球附近有一線電荷密度為λ長(zhǎng)為l的均勻帶電直線,如圖所示.求導(dǎo)體上感應(yīng)電量.alλROQ.導(dǎo)體等勢(shì),U球=U心=0由電勢(shì)疊加原理,有0=U球=U心=dq/(4πε0r)+dq/(4πε0r)=[1/(4πε0R)]

dq+λdx/(4πε0x)=Q/(4πε0R)+λln[(l+a)/a]/(4πε0)Q=–λRln[(l+a)/a]得導(dǎo)體上感應(yīng)電量為例3.一平行板電容器,極板面積S,相距d,若B板接地,且保持A板電勢(shì)UA=U0不變,如圖.把一塊面積相同帶電量

Q的導(dǎo)體薄板C

平行地插入兩板之間,求板C的電勢(shì)UC.BUCU0ACQd/32d/3解:設(shè)A板下表面,C板上下表面,B板上表面電荷密度分別為σ1,–σ1,σ2,–σ2.則AC間場(chǎng)強(qiáng)為E1=σ1/ε0,

CB間場(chǎng)強(qiáng)為E2=σ2/ε0.UA=U0=E1·dl+E2·dl=(σ1/ε0)d/3+(σ2/ε0)2d/3,.(σ1+2σ2)d/(3ε0)=U0.C板電荷守恒–σ1+σ2=Q/Sσ1+2σ2=3ε0U0/d.解得σ1=ε0U0/d–2Q/(3S)

6.3σ2=ε0U0/d+Q/(3S)UC=E2·dl=E22d/3=(σ2/ε0)2d/3=2U0/3+2dQ/(9ε0S)第5章靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)1.介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)極性分子一.電介質(zhì)的極化正負(fù)電荷中心不重合的分子,等效一電偶極子,分非極性分子正負(fù)電荷中心重合的分子,分子電矩為零p=0p=ql0子有固有電矩.2.分子的極化(1)極性分子無(wú)外電場(chǎng)時(shí)因熱運(yùn)動(dòng)電矩排列雜亂,宏觀不呈電性;作用使p,E夾角變小,

p轉(zhuǎn)向E,熱運(yùn)動(dòng)反抗轉(zhuǎn)向.結(jié)果是pE在E正向投影大于負(fù)向投影.的取向極化(1)非極性分子無(wú)外電場(chǎng)時(shí)分子正負(fù)電荷中宏觀不呈電性;心重合,EF+F–位移,非極性分子變?yōu)闃O性分子,產(chǎn)生附加電矩p.的位移極化2.極化電荷介質(zhì)極化后,分子電矩排列整齊,介質(zhì)中出現(xiàn)極有外電場(chǎng)時(shí)分子受M=p×E有外電場(chǎng)時(shí)分子中正負(fù)電荷受相反力,正負(fù)電荷中心發(fā)生n6.4E極化電荷.對(duì)于各向同性均勻介質(zhì),極化電荷只出出現(xiàn)在表面.極化電荷的場(chǎng)要影響外電場(chǎng).極化現(xiàn)象在外電場(chǎng)作用下介質(zhì)中出現(xiàn)極化電荷,從而影響外電場(chǎng)的現(xiàn)象.二.極化強(qiáng)度矢量P極性分子電矩p排列的有序程度,非極性分子附加電矩p的大小反映介質(zhì)的極化程度單位子電矩的矢量和為Σpi1.定義描述極化強(qiáng)弱的物理量取微小體積元V(宏觀上無(wú)限小微觀上無(wú)限大),V所中有分P=Σpi/VC·m–2與面電荷密度同單位2.極化電荷,極化強(qiáng)度的關(guān)系(1)逐點(diǎn)關(guān)系P|Σpi|=(σ'ΔS)l在極化介質(zhì)內(nèi)順P取長(zhǎng)為l的微小斜柱體(可認(rèn)為介質(zhì)均勻極化),它是電偶極子,端面極化電荷σ'ΔS.有V=lΔScos|P|=|Σpi|/V=(σ'ΔS)l/(lΔScos)σ'=|P|cos=Pcos=P·n某處極化電荷面密度σ'等于該處極化強(qiáng)度P在面法線方向的投影.當(dāng)<π/2,極化電荷σ'為正;當(dāng)>π/2,極化電荷σ'為負(fù);(2)整體關(guān)系某閉合曲面所包圍的極化電荷.便于理解,以平行板電容器內(nèi)充滿(mǎn)各向同性均6.5勻介質(zhì)為例.電容器充電后,介質(zhì)極化.取柱形閉合面,它包圍的極化電荷為PSq'=σ'ΔS=–PΔS=–P·dS=–(++)P·dS=–P·dS三.介質(zhì)中的高斯定理1.介質(zhì)中的電場(chǎng)外場(chǎng)E0,極化電荷的場(chǎng)E

',合電場(chǎng)E=E0+E

'2.介質(zhì)中的高斯定理

E·dS=Σqint/ε0=(q0+q')/ε0=(q0–P·dS)/ε0ε0E·dS+P=q03.電位移矢量(1)定義D=ε0E+P描述靜電場(chǎng)的輔助物理量

D·dS=Σq0int過(guò)閉合曲面的電位移通量等于曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和說(shuō)明:①電位移矢量不僅取決于曲面內(nèi)的自由電荷,還取決于曲面外的自由電荷,而且與整個(gè)空間的極化電荷有關(guān);②過(guò)閉合曲面D的通量只與曲面內(nèi)的自由電荷有關(guān).(2)電位移線(D線)①起于正自由電荷,終于負(fù)自由電荷；②不閉合,不相交,連續(xù).單位:C/m26.6(3)電位移線與電場(chǎng)線的區(qū)別以充電后的其間放各向同性均勻電介質(zhì)的平行板電容器為例說(shuō)明E

線D

線一般情況E線D線不平行,當(dāng)介質(zhì)為各向同性介質(zhì)時(shí)E線D線平行.4.

D,E,P間的關(guān)系(1)普遍關(guān)系D=ε0E+P(2)各向同性介質(zhì)中的關(guān)系①

D,E,P的關(guān)系實(shí)驗(yàn)指出,在各向同性介質(zhì)中P與E成正比:P=ε0χE②電極化率χ只與介質(zhì)有關(guān),D=ε0E+P=ε0E+ε0χE=ε0(1+χ)E是一個(gè)無(wú)量綱的純數(shù).③相對(duì)電容率εrεr=1+χ與介質(zhì)有關(guān)的無(wú)量綱的純數(shù).=ε0εrE④電容率εε=ε0εr=εE與介質(zhì)有關(guān)的量.⑤真空中的χ,εr,

εχ=0,

εr=1,ε=ε0.軸的半徑為R2的薄導(dǎo)體圓筒之間充以相對(duì)電容率為r的介質(zhì),設(shè)直導(dǎo)體圓柱和導(dǎo)體圓筒沿軸線的線電荷密度分別為+和－.求(1)介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度,電位移和極化強(qiáng)度;(2)電介質(zhì)內(nèi)外表面極化電荷面密度.例1半徑為R1的直導(dǎo)體圓柱和同R1rR2lrS第7次課靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)(續(xù))

電容

靜電場(chǎng)的能量解:(1)由于導(dǎo)體柱對(duì)稱(chēng),得電荷柱對(duì)稱(chēng),作同軸高斯面,有

D·dS=Σq0int0+0+2πrlD=λlD=λ/(2πr)電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)R1<r<R2E=D/(ε0εr)=λ/(2πε0εrr)極化強(qiáng)度為P=ε0χE=ε0(εr–1)E介質(zhì)表面極化電荷面密度值=(εr–1)λ/(2πεrr)(2)介質(zhì)表面處極化強(qiáng)度為D,E,P的方向均垂直軸線沿徑向向外.r=R1P1=λ(εr–1)/(2πεrR1)r=R2