《必修4》第1章第1節(jié)1.1.1任意角

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角第一章三角函數(shù)

知識回顧1.想一想，初中時我們是怎么定義角的？角的取值范圍如何？

定義：角是由平面內(nèi)一點引出的兩條射線所組成的圖形。范圍：0o~~360o

過去我們學習了0o≤α≤360o范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角．再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手等，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角，不全是0o≤α≤360o范圍內(nèi)的角.因此，我們必須將角的概念進行推廣.

知識探究（一）：角的概念的推廣

思考1：怎樣升級角的定義，讓它更科學更合理？由平面內(nèi)一條射線繞其端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所組成的圖形.oAB思考2：如圖，一條射線的端點是O，它從起始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個角α，其中點O，射線OA、OB分別叫什么名稱？AOB始邊終邊頂點思考3：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，它還形成一個角嗎？

規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個零角.思考4：如何確定一個角呢？①方向：順時針、逆時針②圈數(shù)2、有結(jié)果1、有過程終點位置說明：1、角的正負的規(guī)定純屬習慣；任何新概念，新知識的產(chǎn)生，都有它的現(xiàn)實意義，生活需要。①考慮：生活中對旋轉(zhuǎn)有無正負之分呢？2、零角無正負，始邊與終邊重合考慮：始邊與終邊重合的角是零角，對否？

②考慮：將水龍頭打開時，手柄旋轉(zhuǎn)所成的角是正？是負？畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.βγAB1αO思考5：度量一個角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴展到了任意大小.對于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點嗎？

知識探究（二）：象限角

思考1：如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.思考2：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？思考4：在直角坐標系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo知識探究（三）：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°328°=﹣32°+360°﹣392°=﹣32°-360°思考2：與－32°角終邊相同的角有多少個？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？

思考3：所有與－32°角終邊相同的角，連同－32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=﹣32°＋k·360°，k∈Z}k·360°（k∈Z）S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.思考4：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

注：①k∈Z；②角相等，終邊一定相同；但終邊相同，角不一定相等，這樣的角有無窮多個，它們相差360°的整數(shù)倍；③α是任意角(正角，負角，零角)，但一般人們通常選用0°到360°之間的角，以便觀察它是第幾象限角．①銳角：

②小于90°的角：

③第一象限角：

區(qū)分幾個容易混淆的角{α|0°＜α＜90°}{α|α＜90°}{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}0°～90°：{α|0°≤α<90°}例l、在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角：①1110°②-1234°③-540°48`解：①1110°=30°+3×360°與30°的角終邊相同，是第一象限角②-1234°=206°+(-4)×360°與206°的角終邊相同，是第三象限角③

-540°48`=179°12`+(-2)×360°與179°12`的角終邊相同，是第二象限角理論遷移思考5：終邊在第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

第一象限：S={α|k·360°<α<90°＋k·360

°，k∈Z}；第二象限：S={α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限：S={α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限：S={α|－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}.思考6：終邊在x軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考7：終邊在x軸、y軸上的角的集合分別如何表示？

終邊在x軸上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；終邊在y軸上：

S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.小結(jié)1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一