《必修4》第1章第1節(jié)1.1.1任意角

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角第一章三角函數(shù)

知識回顧1.想一想，初中時我們是怎么定義角的？角的取值范圍如何？

定義：角是由平面內一點引出的兩條射線所組成的圖形。范圍：0o~~360o

過去我們學習了0o≤α≤360o范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角．再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手等，它們按照不同方向旋轉所成的角，不全是0o≤α≤360o范圍內的角.因此，我們必須將角的概念進行推廣.

知識探究（一）：角的概念的推廣

思考1：怎樣升級角的定義，讓它更科學更合理？由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形.oAB思考2：如圖，一條射線的端點是O，它從起始位置OA旋轉到終止位置OB，形成了一個角α，其中點O，射線OA、OB分別叫什么名稱？AOB始邊終邊頂點思考3：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？

規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角.思考4：如何確定一個角呢？①方向：順時針、逆時針②圈數(shù)2、有結果1、有過程終點位置說明：1、角的正負的規(guī)定純屬習慣；任何新概念，新知識的產生，都有它的現(xiàn)實意義，生活需要。①考慮：生活中對旋轉有無正負之分呢？2、零角無正負，始邊與終邊重合考慮：始邊與終邊重合的角是零角，對否？

②考慮：將水龍頭打開時，手柄旋轉所成的角是正？是負？畫圖表示一個大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.βγAB1αO思考5：度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向，又要考慮旋轉量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴展到了任意大小.對于α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？

知識探究（二）：象限角

思考1：如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.思考2：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？思考4：在直角坐標系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo知識探究（三）：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內在聯(lián)系？－32°328°=﹣32°+360°﹣392°=﹣32°-360°思考2：與－32°角終邊相同的角有多少個？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？

思考3：所有與－32°角終邊相同的角，連同－32°角在內，可構成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=﹣32°＋k·360°，k∈Z}k·360°（k∈Z）S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.思考4：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內所構成的集合S可以怎樣表示？

注：①k∈Z；②角相等，終邊一定相同；但終邊相同，角不一定相等，這樣的角有無窮多個，它們相差360°的整數(shù)倍；③α是任意角(正角，負角，零角)，但一般人們通常選用0°到360°之間的角，以便觀察它是第幾象限角．①銳角：

②小于90°的角：

③第一象限角：

區(qū)分幾個容易混淆的角{α|0°＜α＜90°}{α|α＜90°}{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}0°～90°：{α|0°≤α<90°}例l、在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角：①1110°②-1234°③-540°48`解：①1110°=30°+3×360°與30°的角終邊相同，是第一象限角②-1234°=206°+(-4)×360°與206°的角終邊相同，是第三象限角③

-540°48`=179°12`+(-2)×360°與179°12`的角終邊相同，是第二象限角理論遷移思考5：終邊在第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

第一象限：S={α|k·360°<α<90°＋k·360

°，k∈Z}；第二象限：S={α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限：S={α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限：S={α|－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}.思考6：終邊在x軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考7：終邊在x軸、y軸上的角的集合分別如何表示？

終邊在x軸上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；終邊在y軸上：

S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.小結1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一