模擬信號數(shù)字處理方法

第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)1.1引言1.2時域離散信號1.3時域離散系統(tǒng)1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程1.5模擬信號數(shù)字處理方法11.5模擬信號數(shù)字處理方法在緒論中已介紹了數(shù)字信號處理技術(shù)相對于模擬信號處理技術(shù)的許多優(yōu)點，因此人們往往希望將模擬信號經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號。這種處理方法稱為模擬信號數(shù)字處理方法。其原理框圖如圖1.5.1所示。圖中的預(yù)濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。預(yù)濾A/DC數(shù)字信號處理D/AC平滑濾波圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框圖xa(t)ya(t)2對模擬信號進行采樣可以看做一個模擬信號通過一個電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次；每次合上的時間為τ<<T；1.5.1采樣定理及A/D變換器在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號。該電子開關(guān)的作用等效成一寬度為τ，周期為T的矩

形脈沖串pT(t)，采樣信號

就是xa(t)與pT(t)相乘

的結(jié)果。采樣過程如圖1.5.2(a)所示。34圖1.5.2對模擬信號進行采樣如果讓電子開關(guān)合上時間τ→0，則形成理想采樣，此時

上面的脈沖串變成單位沖激串，用pδ(t)表示。pδ(t)中每個單位沖激處在采樣點上，強度為1，理想采樣

則是xa(t)與pδ(t)相乘的結(jié)果，采樣過程如圖1.5.2(b)所示。5圖1.5.2對模擬信號進行采樣上式中δ(t)是單位沖激信號，在上式中只有當(dāng)t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式：（1.5.1）（1.5.2）用公式表示為7下面研究理想采樣前后信號頻譜的變化，從而找出為了使采樣信號能不失真地恢復(fù)原模擬信號，采樣速率Fs(Fs=T－1)與模擬信號最高頻率fc之間的關(guān)系。

8（1）沖激信號及其抽樣特性

預(yù)備知識t(1)0d(t)(2)沖激函數(shù)序列的傅氏變換......0TtdT(t)0……沖激序列的傅氏變換仍為沖激序列。設(shè)式中，Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s。（1.5.4）12我們知道在傅里葉變換中，兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩個信號分別的傅里葉變換的卷積，按照（1.5.2）式，推導(dǎo)如下：進行傅里葉變換，得到對（1.5.1）式（1.5.5）13*可見，該頻譜為周期性信號，其周期為14圖1.5.3采樣信號的頻譜xa(t)是帶限信號，最高頻率為Ωc，其頻譜為Xa(jΩ)pδ(t)的頻譜Pδ(jΩ)的頻譜無重疊有重疊圖1.5.4采樣恢復(fù)如果滿足Ωs≥2Ωc，即滿足Fs≥2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊。理想低通濾波器G(jΩ)從采樣信號中可以不失真地提取原模擬信號，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號最高截止頻率過高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采樣頻率Fs周期延拓時，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖1.5.4所示的理想低通濾波器對Xa(t)進行濾波，得到的是失真了的模擬信號。下面用公式表示：17（1.5.6）18這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號最高頻率不超過Fs/2時，才不會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。19總結(jié)上述內(nèi)容，采樣定理敘述如下：（1）對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。

20（1.5.5）21（2）設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號通過一個增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號。實際中對模擬信號進行采樣，需根據(jù)模擬信號的截止頻率，按照采樣定理的要求選擇采樣頻率，即Ωs≥2Ωc，但考慮到理想濾波器G(jΩ)不可實現(xiàn)，要有一定的過渡帶，為此可選Ωs=(3~4)Ωc。

另外，可以在采樣之前加一抗混疊的低通濾波器，濾去高于Ωs/2的一些無用的高頻分量，以及濾除其它的一些雜散信號。這就是在圖1.5.1中采樣之前加預(yù)濾的原因。

上面我們通過對模擬信號進行理想采樣分析推導(dǎo)出采樣定理。采樣定理表示的是采樣信號的頻譜與原模擬信號xa(t)的頻譜之間的關(guān)系，以及由采樣信號不失真地恢復(fù)原模擬信號的條件。22要進一步說明的是，采樣信號用（1.5.2）式表示，它是用一串延時的單位沖激加權(quán)和表示的。

按照該式，在t=nT時，即在每個采樣點上，采樣信號的強度（幅度）準(zhǔn)確地等于對模擬信號的采樣值xa(nT)，而在t≠nT非采樣點上采樣信號的幅度為零。時域離散信號x(n)只有在n為整數(shù)時才有定義，否則無定義，因此采樣信號和時域離散信號不相同。23（1.5.2）但如果序列是通過對模擬信號采樣得到的，即x(n)=xa(nT)，序列值等于采樣信號在t=nT時的幅度，在第2章將通過分析時域離散信號的頻譜，得到此時序列的頻譜依然是模擬信號頻譜的周期延拓，因此由模擬信號通過采樣得到序列時，依然要服從采樣定理，否則一樣也會產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。24通過按等間隔T對模擬信號進行采樣，得到一串采樣點上的樣本數(shù)據(jù)，這一串樣本數(shù)據(jù)可看做時域離散信號（序列）。將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號由模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog/DigitalConverter,A/DC）完成，模/數(shù)轉(zhuǎn)換器的原理框圖如圖1.5.5所示。圖1.5.5模/數(shù)轉(zhuǎn)換器原理框圖25設(shè)A/DC有M位，那么用M位二進制數(shù)表示這一串樣本數(shù)據(jù)，即形成數(shù)字信號。因此，采樣以后到形成數(shù)字信號的這一過程是一個量化編碼的過程。例如：模擬信號xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,選采樣頻率Fs=200Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：26當(dāng)

時，得到序列x(n)如下：x(n)={,0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,}如果A/DC按照M=6進行量化編碼，即上面的采樣數(shù)據(jù)均用6位二進制碼表示，其中一位為符號位，則數(shù)字信號用

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十進制數(shù)表示的

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}顯然量化編碼以后的和原x(n)不同。這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，這種量化誤差的影響稱為量化效應(yīng)，這部分內(nèi)容將在第9章介紹。27我們已經(jīng)知道模擬信號xa(t)經(jīng)過理想采樣，得到采樣信號,xa(t)和之間的關(guān)系用（1.5.2）式描述。1.5.2將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號（1.5.2）選擇采樣頻率Fs滿足采樣定理，的頻譜沒有頻譜混疊現(xiàn)象，可用一個傳輸函數(shù)為G(jω)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號xa(t)恢復(fù)出來，這是一種理想恢復(fù)。28下面先分析推導(dǎo)該理想低通濾波器的輸入和輸出之間的關(guān)系，以便了解理想低通濾波器是如何由采樣信號恢復(fù)原模擬信號的，然后再介紹在實際中數(shù)字信號如何轉(zhuǎn)換成模擬信號。（1.5.6）由（1.5.6）式表示的低通濾波器的傳輸函數(shù)G(jΩ）可以推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)g(t)：29因為Ωs=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：（1.5.7）其單位沖激響應(yīng)g(t)：30理想低想濾波器的輸入、輸出分別為和ya(t)，將g(t)和

代入ya(t)，得到：31（1.5.8）32由于滿足采樣定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，當(dāng)n=

,－1,0,1,2,時，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是模擬信號，t取連續(xù)值，g(t)的波形如圖1.5.6所示。33

圖1.5.6內(nèi)插函數(shù)g(t)波形其特點是:t=0時，g(0)=1;t=nT(n≠0)時，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保證了在各個采樣點上，即t=nT時，恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值，而在采樣點之間，則是各采樣值乘以g(t－nT)的波形伸展疊加而成的,這種伸展波形疊加的情況如圖1.5.7所示。

圖1.5.7理想恢復(fù)g(t)函數(shù)所起的作用是在各采樣點之間內(nèi)插，因此稱為內(nèi)插函數(shù)，而（1.5.9）式則稱為內(nèi)插公式。T2T3T這種用理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號完全等于原模擬信號xa(t)，是一種無失真的恢復(fù)。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通濾波器是非因果不可實現(xiàn)的。下面介紹實際的數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。36圖1.5.8

D/AC方框圖37實際中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。D/AC包括三部分，即解碼器、零階保持器和平滑濾波器，D/AC方框圖如圖1.5.8所示。解碼器的作用是將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成時域離散信號xa(nT)，零階保持器和平滑濾波器則將xa(nT)變成模擬信號。由時域離散信號xa(nT)恢復(fù)模擬信號的過程是在采樣點內(nèi)插的過程。

理想低通濾波的方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個采樣值進行保持，一直到下一個采樣值來到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進行常數(shù)內(nèi)插。

零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。38圖1.5.9零階保持器的輸出波形39對h(t)進行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：（1.5.10）40其幅度特性和相位特性如圖1.5.10所示