第四講 平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性

1.3

平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性平穩(wěn)性：若一個函數(shù)，當(dāng)，的特性不變，就稱關(guān)于函數(shù)是平穩(wěn)的。對確定函數(shù)來說：特性不變指函數(shù)值不變。對隨機(jī)過程來說：特性不變指統(tǒng)計特性不變，且僅僅對時間變量t而言。分類嚴(yán)格平穩(wěn)（廣平穩(wěn)）寬平穩(wěn)（廣義平穩(wěn)）12

隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類,嚴(yán)格地說,所有信號都是非平穩(wěn)的,但是,平穩(wěn)信號的分析要容易得多,而且在電子系統(tǒng)中,如果產(chǎn)生一個隨機(jī)過程的主要物理條件在時間的進(jìn)程中不改變,或變化極小,可以忽略,則此信號可以認(rèn)為是平穩(wěn)的.如接收機(jī)的噪聲電壓信號,剛開機(jī)時由于元器件上溫度的變化,使得噪聲電壓在開始時有一段暫態(tài)過程,經(jīng)過一段時間后,溫度變化趨于穩(wěn)定,這時的噪聲電壓信號可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。3

一平穩(wěn)隨機(jī)過程1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程(1)定義

如果隨機(jī)過程的任意n維分布不隨時間起點(diǎn)變化，即當(dāng)時間平移時，其任意的n維概率密度不變，則稱是嚴(yán)（格）平穩(wěn)的隨機(jī)過程或稱為狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。實(shí)際應(yīng)用中，通過上式來判定過程的平穩(wěn)性是很不容易的，因此在實(shí)際中往往不需要所有時間都平穩(wěn)，只要觀測的有限時間平穩(wěn)就行了。4(2)特性一階平穩(wěn)(n=1)

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)時，對于一維概率密度有：SSS.R.S.由同分布隨機(jī)變量組成，一維的分布函數(shù)，概率密度函數(shù)相同。5隨機(jī)過程X(t)的均值，均方值和方差都是平穩(wěn)的都與時間t無關(guān)均值為常數(shù)，我們稱為均值平穩(wěn)。可見，一階平穩(wěn)平穩(wěn)一定均值平穩(wěn)，但均值平穩(wěn)不一定一階平穩(wěn)。如：均值均為0，均值平穩(wěn)，但各時刻的R.V.的分布不同。6二階平穩(wěn)(n=2)

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度只與t1,

t2的時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)。時，二維概率密度：從概率密度函數(shù)的角度講，高階平穩(wěn)一定低階平穩(wěn)7都與時間無關(guān)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)都是平穩(wěn)的。若，則相關(guān)平穩(wěn)89(3)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的判斷

按照嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義，判斷一個隨機(jī)過程是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機(jī)過程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法有兩個：1)若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則與時間t無關(guān)。

2)若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對于任一時刻t0，X(t0)具有相同的統(tǒng)計特性。10

實(shí)際中，要確定一個對一切n都成立的隨機(jī)過程概率密度函數(shù)族是十分困難的，因而在工程中往往根據(jù)實(shí)際需要只在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮平穩(wěn)過程問題。相關(guān)理論：只限于研究隨機(jī)過程一階和二階矩的理論。即研究隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度等。隨機(jī)過程的一、二矩函數(shù)雖然不能像多維概率密度函數(shù)那樣全面的描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，但它們在一定程度上相當(dāng)有效的描述了隨機(jī)過程的重要特性。

（1）平穩(wěn)隨機(jī)過程表示噪聲電壓，一、二矩函數(shù)可以表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參數(shù)。（2）工程中常見的隨機(jī)過程是高斯過程，只要知道數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，則多維概率密度函數(shù)就確定了。112寬(廣義)平穩(wěn)隨機(jī)過程若隨機(jī)過程X(t)滿足則稱X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：

嚴(yán)格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定不一定當(dāng)隨機(jī)過程滿足高斯分布時，嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價的。12為什么要研究寬平穩(wěn)隨機(jī)過程?

隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類,嚴(yán)格地說,所有信號都是非平穩(wěn)的,但是,在自然界和實(shí)際應(yīng)用中許多隨機(jī)過程可以近似為平穩(wěn)信號。且平穩(wěn)信號分析要容易得多，理論成熟，是隨機(jī)信號分析的基礎(chǔ)。物理規(guī)律或統(tǒng)計結(jié)果與隨機(jī)試驗(yàn)的時間起點(diǎn)無關(guān)，在線性時不變系統(tǒng)中，輸入寬平穩(wěn)，輸出也寬平穩(wěn)。13例隨機(jī)相位信號是否平穩(wěn)?解X(t)均值為“0”，自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)，功率有限，故X(t)是寬平穩(wěn)的。;14例設(shè)隨機(jī)過程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t<。其中

X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率

2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機(jī)過程Z(t)的平穩(wěn)性。15解16Z(t)是廣義平穩(wěn)的。17Z(t)不是嚴(yán)格平穩(wěn)的。18例

設(shè)隨機(jī)過程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試問X(t)是否平穩(wěn)？19解所以X(t)是非平穩(wěn)的。20二平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過程的基本數(shù)字特征。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，經(jīng)中心化后為零，所以基本的數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)不僅僅展示隨機(jī)過程各隨機(jī)變量(狀態(tài))間關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也為隨機(jī)過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息的工具。要求：

(1)根據(jù)圖形或表達(dá)式判斷一個函數(shù)是否是廣義平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)；

(2)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過程其它數(shù)字特征。21性質(zhì)1

平均功率

性質(zhì)2

偶函數(shù)

證：同理22性質(zhì)3

極值性證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負(fù)值，即對于平穩(wěn)過程X(t)，性質(zhì)1可知代入前式，可得于是同理當(dāng)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有最大值。物理意義：隨機(jī)過程同一時刻隨機(jī)過程自身的相關(guān)性最強(qiáng)。23性質(zhì)4

若平穩(wěn)過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱它為周期平穩(wěn)過程，其中T為隨機(jī)過程周期。

周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù)，且與隨機(jī)過程的周期相同。即：周期平穩(wěn)過程X(t)=X(t+T)，T為周期，則相關(guān)函數(shù)滿足證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到性質(zhì)5

24例：設(shè)隨機(jī)過程為式中為常數(shù)，為上均勻分布的隨機(jī)變量，為一般平穩(wěn)過程，對于所有t而言，與統(tǒng)計獨(dú)立。則易得出相關(guān)函數(shù)為可見，相關(guān)函數(shù)也包含有與隨機(jī)過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。25性質(zhì)6

若平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)不含有任何周期分量，則滿足物理含義：當(dāng)增大時，與之間相關(guān)性會減弱，在的極限情況下，兩者不相關(guān)。26性質(zhì)7

若平穩(wěn)過程含有平均分量(均值)，則相關(guān)函數(shù)也含有固定分量,即則若X(t)是非周期的，自相關(guān)性函數(shù)確定方差由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由此若X(t)是非周期，則有證：且在t=0時,可得2)(XXmR=￥例：若GuassR.S.X(t)的如下圖所示：求：A.f(x,t);B.①

②兩時刻的。性質(zhì)8

例：判斷下面圖形表示的函數(shù)是否可以作為實(shí)WSS.R.S.的自相關(guān)函數(shù)。30平穩(wěn)隨機(jī)過程必須滿足對所有均成立。

性質(zhì)9

自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是非負(fù)的，因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程X(t)自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是X(t)的功率譜密度。這限制了自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不能有任意形狀，要求不能出現(xiàn)平頂、垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)。31平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的典型曲線)(tXR2Xs)0(XR2Xmt032平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間

對于平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的兩個不同時刻t和的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用自協(xié)方差表示。但是，還與和的強(qiáng)度有關(guān)，若或很小，即使兩者的相關(guān)程度較強(qiáng)，則也不會太大，所以并不能準(zhǔn)確表示關(guān)聯(lián)程度的大小。為了消除起伏值強(qiáng)度對的影響，需要對協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，引入相關(guān)系數(shù)。33此值在[－1，1]之間。表示不相關(guān)，表示完全相關(guān)。表示正相關(guān)，表明兩個不同時刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號相同可能性大。

相關(guān)系數(shù)也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)表征隨機(jī)過程在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)程度34相關(guān)時間

對于一般的隨機(jī)過程而言，隨著時間間隔增大相關(guān)程度減弱，因此相關(guān)系數(shù)也隨著減弱，當(dāng)間隔大到一定程度（假定為），相關(guān)系數(shù)很小可以認(rèn)為起伏值不相關(guān)了，這個時間就稱為相關(guān)時間。351

通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于0.05的時間間隔，記做相關(guān)時間,即:時的時間間隔為相關(guān)時間。2

有時我們用矩形（高為,底為的矩形）面積等于積分的一半來定義相關(guān)時間即相關(guān)時間示意圖36物理意義：

相關(guān)時間越小，就意味著相關(guān)系數(shù)隨增加而降落的越快，這表明隨機(jī)過程隨時間變化越劇烈。反之，越大，則表示隨機(jī)過程隨時間變化越慢。

相關(guān)時間越長，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越強(qiáng)，變化越緩慢；相關(guān)時間越小，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越弱，變化越快速。

兩個不同相關(guān)時間隨機(jī)過程的樣本函數(shù)

050100-4-2024050100-10-5051037例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為

求X(t)的均值和方差。38解：由性質(zhì)6可知由性質(zhì)7可知39例：已知隨機(jī)過程X(t)與Y(t)的協(xié)方差函數(shù)

比較兩個過程的起伏速度。40解:由隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)，得出X(t)、Y(t)的方差由于

，故過程X(t)比Y(t)起伏速度快。由定義得出X(t)、Y(t)的相關(guān)系數(shù)X(t)、Y(t)的相關(guān)時間41三遍歷(Ergodic)隨機(jī)過程（各態(tài)歷經(jīng)性）

每當(dāng)提及隨機(jī)過程時，意味著要涉及大量的樣本函數(shù)的集合。要得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，需要觀察大量的樣本函數(shù)。數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)等都是對大量樣本函數(shù)在特定時刻的取值利用統(tǒng)計方法求平均而得到的數(shù)字特征。這種平均稱為統(tǒng)計平均或集合平均。顯然，取統(tǒng)計平均所需要的試驗(yàn)工作量很大，處理方法也很復(fù)雜。這就使人們自然想到，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計特性與記時起點(diǎn)無關(guān)這個特點(diǎn)，能否找到更加簡單的方法代替上述的方法。辛欽證明：在具備一定的條件下有平穩(wěn)隨機(jī)過程的任意一個樣本函數(shù)取時間平均（觀察時間足夠長），從概率意義上趨近于該過程的統(tǒng)計平均值。這樣的隨機(jī)過程，稱具備各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。42

隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為：隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)。因此從隨機(jī)過程的任何一個樣本函數(shù)都可以得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計信息，任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分地代表整個隨機(jī)過程的特性。問題：隨機(jī)過程的各數(shù)字特征（集合平均），能否用任一條樣本函數(shù)的特征（時間平均）來代替。431遍歷性隨機(jī)過程的定義

如果一個隨機(jī)過程X(t)，它的各種時間平均（時間足夠長）依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均，則稱X(t)具有嚴(yán)格遍歷性，并稱它為嚴(yán)遍歷過程。

嚴(yán)（狹義）遍歷性的定義

寬（廣義）遍歷性的定義

設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果其均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性，則稱X(t)為寬遍歷過程，或簡稱遍歷過程。在相關(guān)理論的范圍內(nèi)討論歷經(jīng)過程，即討論均值和自相關(guān)時間平均44均值各態(tài)歷經(jīng)性定義為隨機(jī)過程的時間平均值。如果它依概率1收斂于集合均值，即則稱平穩(wěn)過程X(t)的均值具有遍歷性。與取哪條樣本有關(guān)與時間無關(guān)是時間t的函數(shù)，與取哪條樣本無關(guān)45均值各態(tài)歷經(jīng)

任何一條樣本函數(shù)所包含的取值狀態(tài)與隨機(jī)過程（任意時刻）所有的狀態(tài)相同，而且出現(xiàn)的頻率與隨機(jī)過程各狀態(tài)的概率相同。46定義隨機(jī)過程的時間自相關(guān)函數(shù)。則稱平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性如果它依概率1收斂于集合均值，即當(dāng)且僅當(dāng)時上式成立，則稱X(t)的均方值具有遍歷性。47自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)

任何一條樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種二階可能狀態(tài)。48各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖廣義各態(tài)歷經(jīng)（遍歷性）總結(jié)（1）定義：同時滿足均值各態(tài)歷經(jīng)，相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)，則稱X(t)為廣義各態(tài)歷經(jīng)。（2）條件：

①X(t)廣義平穩(wěn)；

②502遍歷隨機(jī)過程的實(shí)際應(yīng)用

一般隨機(jī)過程的時間平均是隨機(jī)變量，但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實(shí)際工作中，時間T不可能無限長，只要足夠長即可。

3遍歷隨機(jī)過程和平穩(wěn)隨機(jī)過程的關(guān)系

遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷的。514遍歷隨機(jī)過程的意義

在實(shí)際應(yīng)用中，如果隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，要從理論上證明過程的各態(tài)歷經(jīng)性并非易事。我們總是憑經(jīng)驗(yàn)假設(shè)它是各態(tài)歷經(jīng)的。

任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分代表隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計特性，簡化研究過程和實(shí)際統(tǒng)計方法。

實(shí)際通信系統(tǒng)中，通常認(rèn)為噪聲和信號一般都是平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的。525遍歷過程（各態(tài)歷經(jīng)性）的判別定理

均值遍歷判別定理

平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件：平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件：

自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理

式中：53注意：判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平均以概率1等于統(tǒng)計平均）,一般不用兩個判別定理。

54故X(t)是寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過程。解例設(shè),式中a，為常數(shù)，是在上均勻分布的隨機(jī)變量。試問：X(t)是否平穩(wěn)？是否遍歷？55故平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)也是寬（廣義）遍歷隨機(jī)過程。56例判斷隨