第四章4.2異方差

4.2異方差異方差的概念及形式異方差的來(lái)源與后果異方差的檢驗(yàn)異方差的修正方法案例分析消費(fèi)模型

Ci=1+2Yi+ui同方差假設(shè)：Var（ui）＝σ2i＝1,2,…,n無(wú)論家庭處于哪一種可支配收入水平，其消費(fèi)水平的分散程度或波動(dòng)程度都是相同的。實(shí)際上，與可支配收入低的家庭相比，收入高的家庭消費(fèi)的波動(dòng)程度顯然更大一些。因而，在研究消費(fèi)問(wèn)題時(shí)，需要假定：

Var（ui）＝σi2即對(duì)于不同收入水平的家庭，其消費(fèi)水平的波動(dòng)程度也不相同，這就是所謂的異方差（heteroscedasticity）。一個(gè)例子更為接近真實(shí)的結(jié)論是什么？四川省2000年21個(gè)地市醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)對(duì)應(yīng)的模型估計(jì)結(jié)果如下：如果是正確的，上述結(jié)論：每增加1萬(wàn)人口，平均增加5.373個(gè)醫(yī)療機(jī)構(gòu)？可靠嗎？同方差假定不滿足時(shí)，即存在異方差：

Var(ui)＝σi2(

i＝1,2,…,n)

異方差的概念對(duì)于多元線性回歸模型：同方差的假定：

Var(ui)＝σ2(i＝1,2,…,n)解釋變量Xi是確定的，擾動(dòng)項(xiàng)的異方差性等同于：

Var(Yi)＝σi2(

i＝1,2,…,n)

更為具體的形式：

σi2＝σ2f(X1i,X2i,…,Xki)

同方差的假定即：

Var(ui)＝σ2i＝1,2,…,n

方差－協(xié)方差矩陣為：當(dāng)假定不滿足時(shí)：

Var(ui)＝σi2i＝1,2,…,n

方差－協(xié)方差矩陣為：

異方差(矩陣形式）

異方差的表現(xiàn)及分類：同方差遞增型異方差遞減型異方差復(fù)雜型異方差放松管制后，紐約股票交易所（NYSE）的經(jīng)紀(jì)人傭金（美分/每股）：

異方差的例子交易量在0~199之間的機(jī)構(gòu)投資者平均每股需付46.5美分，方差為32.22；交易量最大（10000以上）的投資者平均每股付10.1美分，方差為3.18銷售量和R&D支出：R&Di=1+2Salesi+ui上證收益率（2004年4月1日——2008年3月31日）：自回歸條件異方差（ARCH）—時(shí)間序列的異方差

一、模型中省略了某些重要的解釋變量

假設(shè)正確的計(jì)量模型是：但由于總體模型是未知的，建立模型時(shí)遺漏了X3i，而采用

此時(shí)，ui*=ui+3X3i

當(dāng)被略去的X3i與X2i有呈同方向或反方向變化的趨勢(shì)時(shí),X3i隨X2i的有規(guī)律變化會(huì)體現(xiàn)在ui*中。異方差的來(lái)源與后果

異方差的來(lái)源二、模型的設(shè)定誤差三、數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差四、截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異

異方差的來(lái)源1、參數(shù)估計(jì)量仍具有線性性和無(wú)偏性、一致性

異方差的后果2、參數(shù)估計(jì)量不再是有效估計(jì)量假定擾動(dòng)項(xiàng)的方差為：

Var(ui)＝σ2Xi2

(

i＝1,2,…,n)

估計(jì)量方差為：同方差假定時(shí)的方差：根據(jù)常用的OLS方差估計(jì)公式得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的3、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義4、區(qū)間預(yù)測(cè)失效定性分析異方差Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)White檢驗(yàn)Glejser檢驗(yàn)異方差的檢驗(yàn)異方差性檢驗(yàn)的基本思路：首先利用OLS法估計(jì)參數(shù)并計(jì)算然后通過(guò)研究是否隨著觀測(cè)點(diǎn)的變化而變化來(lái)推斷是否存在異方差性。

定性分析異方差（1）經(jīng)濟(jì)變量規(guī)模差別很大時(shí)容易出現(xiàn)異方差。如:個(gè)人收入與支出關(guān)系，投入與產(chǎn)出關(guān)系。用1998年四川省各地市州農(nóng)村居民家庭消費(fèi)支出與家庭純收入的數(shù)據(jù)，繪制出消費(fèi)支出對(duì)純收入的散點(diǎn)圖,其中用表示農(nóng)村家庭消費(fèi)支出，表示家庭純收入。（2）利用散點(diǎn)圖做初步判斷。（3）利用殘差圖做初步判斷。e2Xi0e2Xi0e2Xie2Xie2Xi

戈德菲而德－夸特（Goldfeld-Quandt）檢驗(yàn)

該檢驗(yàn)常用于檢驗(yàn)遞增型的異方差，且在大樣本容量的前提下使用。H0：H1：（1）將觀測(cè)值按遞增的方差排列，根據(jù)假設(shè)，對(duì)于遞增的異方差，可以從按解釋變量X的值按升序排列。（2）略去中間C個(gè)值（約為T/4），余下的T-C個(gè)分為兩組并分別擬合出回歸方程

{X1,X2,…,Xi-1,Xi,Xi+1,…,Xn-1,Xn}

(n-c)/2c

=n/4

(n-c)/2

（3）計(jì)算兩個(gè)回歸方差的殘差平方和RSS1和RSS2。

自由度v1=v2=(n-c)/2-k-1

（4）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量:

（5）給定顯著性水平α，查找臨界值Fα.

若：F>Fα

，則拒絕H0，認(rèn)為存在遞增型的異方差。

F<Fα

，不能拒絕H0，認(rèn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)是同方差分布的。注：⑴該檢驗(yàn)的功效取決于c值，c值越大，則大小方差的差異越大，檢驗(yàn)功效越好⑵兩個(gè)回歸所用的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是否相等并不重要，因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)改變自由度和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式來(lái)調(diào)整。⑶該檢驗(yàn)只適用于于遞增型的異方差，且依賴于觀測(cè)值是否正確排序。⑷當(dāng)模型中包含多個(gè)解釋變量時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)解釋變量都進(jìn)行檢驗(yàn)。銷售量和R&D支出（研究了18個(gè)行業(yè)）：{X1,X2,…,X8,X9,X10,X11,…,X17,X18}

(18-4)/2=7c

=18/44(18-4)/2=7如果中間除去c=3個(gè)，如何進(jìn)行檢驗(yàn)（假定前面有8個(gè)，后面有7個(gè)）？v1=v2=7-2=5R&Di=1+2Salesi+uiv2=5，v1=63、White檢驗(yàn)以二元回歸線性回歸模型為例：H0：上式ui不存在異方差檢驗(yàn)步驟：（1）首先對(duì)上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差ei（2）做如下輔助回歸（注意包括常數(shù)項(xiàng)，計(jì)算可決系數(shù)R2）：H1：上式ui存在異方差White檢驗(yàn)由H.White1980年提出。Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。Glejser檢驗(yàn)通常要試擬合多個(gè)回歸式。White檢驗(yàn)不需要對(duì)觀測(cè)值排序，也不依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過(guò)一個(gè)輔助回歸式構(gòu)造2統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。（3）在原假設(shè)下（不存在異方差）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：（5）根據(jù)臨界值進(jìn)行判斷若，則不能拒絕H0（ui具有同方差）

若，則拒絕H0（ui具有異方差）(其中p為輔助回歸中待估參數(shù)的系數(shù)，上例中p=6)注意，該檢驗(yàn)可以用于檢驗(yàn)各種類型的異方差，其檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性依賴于模型是否被正確設(shè)定。由于輔助回歸方程中可能有太多的解釋變量，從而使自由度減少，有時(shí)可以去掉交叉項(xiàng)。嬰兒死亡率（Y）、人均GDP（X1）和初等教育占人口比重（X2）的關(guān)系（n=20）：Yi=196.979-0.0033X2i-1.401X3i+eis.e=(16.12)(0.001)(0.2205)

R2=0.8024F=34.52D.W.=2.47與理論預(yù)期一致嗎？這里使用了20個(gè)國(guó)家的數(shù)據(jù)，其中5個(gè)低收入國(guó)家，5個(gè)中等偏下收入國(guó)家，5個(gè)中等偏上收入國(guó)家，5個(gè)高收入國(guó)家。由于樣本來(lái)自經(jīng)濟(jì)條件差異很大的國(guó)家，因而先驗(yàn)的預(yù)期存在異方差。

戈里瑟（Glejser）檢驗(yàn)

檢驗(yàn)是否與解釋變量Xt存在函數(shù)關(guān)系。若有，則說(shuō)明存在異方差；若無(wú)，則說(shuō)明不存在異方差?；舅枷耄杭僭O(shè)方差與解釋變量直接存在某種冪函數(shù)的關(guān)系。

步驟：（1）首先用OLS估計(jì)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的回歸系數(shù)，求出隨機(jī)誤差項(xiàng)ut的估計(jì)值et。（2）用|ei|與解釋變量Xi的不同冪次進(jìn)行回歸。常用形式有：ei=a0+a1

Xiei=a0+a1Xi2ei=a0+a1,….

利用樣本可決系數(shù)R2，t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若有通過(guò)檢驗(yàn)的模型，則說(shuō)明原計(jì)量模型存在該種形式的異方差。特點(diǎn)：（1）既可以檢驗(yàn)遞增型的異方差，也可以檢驗(yàn)遞減型的異方差；（2）一旦發(fā)現(xiàn)異方差，同時(shí)也發(fā)行了異方差的具體表現(xiàn)形式；（3）該檢驗(yàn)是探測(cè)性的，如果試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦x擇的不好，則不易檢測(cè)出是否存在異方差。

方差2已知時(shí)，加權(quán)最小二乘法（WLS）方差2未知時(shí)，模型變換。

White異方差一致估計(jì)。取對(duì)數(shù)消除異方差。異方差的修正方差已知的加權(quán)最小二乘法（WLS）對(duì)于多元回歸模型：為修正異方差,可做一下變換:變換后的模型為（注意沒(méi)有截距項(xiàng)）：j＝1,2,…,k令：現(xiàn)在我們來(lái)看對(duì)加權(quán)模型的最小二乘估計(jì)（OLS）的殘差平方和

——加權(quán)殘差平方和

從這里可以看出，變化后的殘差平方和給原來(lái)的殘差進(jìn)行了加權(quán)，權(quán)數(shù)為隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的倒數(shù)，來(lái)自較大方差的觀測(cè)值得到了較小的加權(quán)，而來(lái)自較小方差的觀測(cè)值得到了較大的加權(quán)。即：

誤差項(xiàng)方差隨一個(gè)自變量變化時(shí)的加權(quán)最小二乘法

有一種可能性是回歸模型誤差項(xiàng)的方差與一個(gè)解釋變量取值直接存在某種關(guān)系，特別地，假設(shè)：其中，X2i是多元線性模型中某個(gè)解釋變量：我們將模型兩側(cè)同時(shí)除以：

變換后的模型為（注意沒(méi)有截距項(xiàng)）：j＝1,2,…,k令：可以看出，變換后的誤差項(xiàng)具有相同的方差，因?yàn)椋核伎迹簽槭裁茨Ｐ蛢蓚?cè)不同時(shí)除以i，即，而是除以？

原來(lái)的常數(shù)項(xiàng)變成了偏回歸系數(shù)，而變量X2的斜率變成了新的常數(shù)項(xiàng)。變換后的模型具有相同的方差，OLS估計(jì)量是一個(gè)BLUE。

注意，最終給出估計(jì)模型，并對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)解釋時(shí)，要將這些參數(shù)的值代入原始的模型之中。例如，2所反映的依然是，其他條件不變的情況下，變量X2對(duì)被解釋變量Y的邊際影響。

考慮兩種特殊情況：即：

變換后的模型增加了一個(gè)解釋變量，但沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，因而，利用

Eviews進(jìn)行回歸時(shí)，注意，不要輸入代表常數(shù)項(xiàng)的c。XeXe銷售量和R&D支出（研究了18個(gè)行業(yè)）：R&Di=-235.61+0.036Salesi+eis.e=(383.63)(0.007)

R2=0.3549D.W.=2.89估計(jì)結(jié)果為：模型寫作：

White異方差一致估計(jì)即便存在異方差，OLS估計(jì)量依然是無(wú)偏的。但常用的方差估計(jì)公式是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇藭r(shí)OLS估計(jì)量的方差協(xié)方差矩陣為：

如果能夠估計(jì)出矩陣2，就可以代入上面的公式，從而正確地估計(jì)出OLS估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，相應(yīng)的t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)就可以有效進(jìn)行。

中未知數(shù)有n個(gè)，怎么估計(jì)？

White發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不需要估計(jì)矩陣，而通過(guò)估計(jì)矩陣