解直角三角形

湘教版SHUXUE九年級(jí)上本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.3解直角三角形知識(shí)回顧

在Rt△ABC中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中∠C=90°，那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢？a2+b2=c2∠A+∠B=90°(1)三邊之間的關(guān)系：(2)銳角之間的關(guān)系：勾股定理：兩銳角互余。(3)邊與特殊銳角之間的關(guān)系：若∠A=30°，則AB=2BC，sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____。(4)邊角之間的關(guān)系：α30°45°60°sinαcosαtanα212√22√3√31特殊角的三角函數(shù)值：銳角三角函數(shù):abbcac2√32√2213√3(5)面積：h21S=ab=ch21討論：在一個(gè)直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（3條邊、2個(gè)銳角），要知道其中的幾個(gè)元素就可以求出其余的元素？

在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.我們把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過(guò)程叫作解直角三角形.解直角三角形的依據(jù)是什么？直角三角形的邊、角關(guān)系、公式。探究交流注意：已知的2個(gè)元素中，至少有1個(gè)是邊才可以.例1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.解：∠B=900-∠A=900-300=600∴

b=a?tanB=5tan60°=5√3本題就是在直角三角形中已知2個(gè)元素，求直角外的其余3個(gè)元素。實(shí)際上是解直角三角形。應(yīng)用舉例又∵tanB=ba∵

sinA=ac∴

c====10asinA5sin300512還可以用勾股定理求c.CBA解：∵∠C=90°，cosA

=

31解得：x1=，x2=-(舍去）4√2154√2154√215∴AB的長(zhǎng)是例2、

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA

=

，BC=5，試求AB的長(zhǎng).31∴ACAB=31設(shè)AB=x，則AC=x.31【點(diǎn)評(píng)】在直角三角形中，已知一邊和另兩邊的關(guān)系，常用勾股定理、方程思想解決.又AC2+BC2=AB2，即：(x)2+25=x231例3

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15.60cm，b=8.50cm，求c，∠A，∠B(長(zhǎng)度精確到0.01cm，角度精確到1′).

解:由于因此從而【點(diǎn)評(píng)】在解直角三角形中，不是特殊角的計(jì)算，可借助計(jì)算器計(jì)算，注意結(jié)果的精確度。例4

在四邊形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=20，CD=10，求AD，BC的長(zhǎng).EBACD201060°30°分析：已知角和線段都不在直角三角形中，所以需分別延AD、BC,交于點(diǎn)E，從而解30°的直角三角形ABE即可.AD=40-10√3BC=20√3-20解：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，得：∠E=30°在Rt△AEB中，AE=2AB=40在Rt△CDE中，CE=2CD=20由勾股定理，得：BE=20√3由勾股定理，得：DE=10√3例5.如圖，根據(jù)圖中已知數(shù)據(jù)，求△ABC其余各邊的長(zhǎng)，各角的度數(shù)和△ABC的面積.ABC450300

4BC=BD+DC=2(√2+√6)，作AD⊥BC，垂足為D,D∠A=105°在Rt

△ABD中，AD=BD由勾股定理，得：BD=AD=2√2AC=4√2，在Rt

△ACD中，∠C=30°，

AC=2AD由勾股定理，得：DC=2√6S△ABC=BC·AD=×

×2√221212(√2+√6)=4+4√31、

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.(1)已知a=3，b=3，則∠A=

；(2).已知c=8，b=4，則a=

，∠A=

；(3).已知c=8，∠A=45°，則a=

，b=

.62、如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，則AC的長(zhǎng)是_______。43ACB一、填空題：45°60°4√34√24√2隨堂練習(xí)53．如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=____.54ABCD4、如圖，從點(diǎn)C測(cè)得樹(shù)的頂角為33o，BC=20米，則樹(shù)高AB=

米（用計(jì)算器計(jì)算，精確到0.1米）13.0C二、選擇題：1.在Rt△ABC中，若AC=2BC，則sinA的值是（）A.；B.2；C.；D.；215√52√5B

2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB為()A.B.C.D.54344353543、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanA=，CD⊥AB，則CD的長(zhǎng)是（）A.5B.12C.D.43512125DA4、若菱形的一個(gè)內(nèi)角為60，較短對(duì)角線長(zhǎng)是6，這個(gè)菱形的面積是（）A.18√3B.24√3C.36√3D.72√3三、解答題：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c.根據(jù)下列條件解直角三角形：(角度精確到1′，長(zhǎng)度精確到

0.01cm).(3).∠A

=30°，c=15.68cm，(1).∠B

=45°，b=3cm，(2).a=√6，b=√2，分清未知元素。∠A

=45°,a=3cm,c=4.24cmc=2√2，∠A

=60°,∠B

=30°,∠B

=60°,a=7.84cm，b=2.80cm2、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形。若AB=2，求△ABC的周長(zhǎng)。（結(jié)果保留根號(hào)）解：在等邊△ABD中，∠B=60°∵∠BAC=90°

∴∠C=30°∵sinC=

ABBC

∴BC=4.∴AC=BC·cosC=2√3

∴△ABC的周長(zhǎng)是6+2√3

.變式訓(xùn)練：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=√3．點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD=2AD，∠ADC=60°求△ABC的周長(zhǎng)和面積（結(jié)果保留根號(hào)）ACBC∵cosC=我們應(yīng)當(dāng)掌握：1、掌握直角三角形的五個(gè)元素，已知兩個(gè)元素（至少有個(gè)是邊），能求出其余三個(gè)元素；2、能把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成