第三章 第5節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)定理_第1頁
第三章 第5節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)定理_第2頁
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文檔簡介

§5高階導(dǎo)數(shù)公式

GeneralizedCauchyIntegralTheorem第三章復(fù)變函數(shù)的積分下載地址:mkejian@163.comPin:mathematics一、引入柯西積分公式如何求f(z)的導(dǎo)數(shù)？在C內(nèi)解析？求導(dǎo)與積分是否能交換運算次序？得，？…二、主要定理定理不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.二、主要定理定理證根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得再利用以上方法求極限至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.說明：（1）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析（2）f=u+iv解析，函數(shù)f(z)解析的充要條件是u,v

可微且滿足C-R方程連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)f=u+iv解析u,v可微u,v有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與實函數(shù)不同！說明：（1）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析（2）函數(shù)f(z)解析的充要條件是u,v

具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足C-R方程與實函數(shù)不同！三、典型例題例1解根據(jù)復(fù)合閉路定理例2解例3提示：設(shè)f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，C為D內(nèi)的正向簡單閉曲線，證明：不在C上的z0有，課堂練習設(shè)C為一單連通區(qū)域B內(nèi)的簡單閉曲線，且解析函數(shù)f(z)在B內(nèi)不為零，求答案例4(Morera定理)證依題意可知參照本章第四節(jié)定理二,可證明因為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),例5證不等式即證.四、小結(jié)與思考高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式思考題

函數(shù)在f(z)在0<|z|<1內(nèi)解析，且在C:|z

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