第3章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析partB

第3章

線性系統(tǒng)的時(shí)域分析廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院內(nèi)容提要1.什么是時(shí)域分析2.典型輸入信號(hào)3.時(shí)域響應(yīng)4.穩(wěn)定性5.性能指標(biāo)----暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)6.一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)7.高階系統(tǒng)及其降階

8.線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

9.根軌跡法10.零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)由于存在慣性，系統(tǒng)在外作用下要經(jīng)歷一段暫態(tài)過程。穩(wěn)定的系統(tǒng)經(jīng)過一段時(shí)間后就會(huì)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度是其重要的技術(shù)指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差必須在允許范圍之內(nèi)，控制系統(tǒng)才有使用價(jià)值。在控制理論中，穩(wěn)態(tài)誤差是指由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)造成的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差，而不考慮元件因素造成的誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的定義一般定義誤差為E(s)=R(s)–H(s)Y(s)。由于輸入包括期望值和擾動(dòng)，穩(wěn)態(tài)誤差可以分為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差兩部分。一般不考慮噪聲和擾動(dòng)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差就是指給定穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的定義給定穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)其中穩(wěn)態(tài)誤差的定義計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差一般采用拉普拉斯變換的終值定理?？偟姆€(wěn)態(tài)誤差為其中沒有擾動(dòng)時(shí)的誤差為擾動(dòng)造成的誤差為關(guān)于反饋環(huán)節(jié)再解釋反饋的作用：在控制過程中對(duì)輸出不斷測(cè)量，并與給定進(jìn)行比較，利用放大后的偏差產(chǎn)生控制作用，以減小或消除誤差。為使反饋信號(hào)能準(zhǔn)確地反映被控制量，應(yīng)該只用比例環(huán)節(jié)作為反饋通道，通常為單位反饋或進(jìn)行標(biāo)度變換的轉(zhuǎn)換函數(shù)。但有時(shí)為了將輸出量的噪聲抑制到輸入端可接受的水平，則需在反饋通道中加入一定帶寬的濾波器。系統(tǒng)類型開環(huán)傳遞函數(shù)事不過三，三次沒辦成的事情已超出了自己的能力。

系統(tǒng)分別稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。給定穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)開環(huán)傳遞函數(shù)在沒有擾動(dòng)時(shí)，利用終值定理得誤差為可見，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于開環(huán)傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)、開環(huán)增益K、輸入信號(hào)。終值定理成定的條件條件：sE(s)的收斂域包含s平面的整個(gè)右半平面，即sE(s)的極點(diǎn)除坐標(biāo)原點(diǎn)外均位于s平面的左半平面。若不滿足這個(gè)條件表明e(t)是不收斂的。例：開環(huán)傳遞函數(shù)是,輸入是求穩(wěn)態(tài)誤差。不符合條件。實(shí)際上：0輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)給定穩(wěn)態(tài)誤差輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)要減小/消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增加開環(huán)積分環(huán)節(jié)和增加開環(huán)增益，但會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輸入為單位斜坡信號(hào)時(shí)給定穩(wěn)態(tài)誤差輸入為單位斜坡信號(hào)時(shí)，對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)要減小/消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增加開環(huán)積分環(huán)節(jié)和增加開環(huán)增益，但會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輸入為單位拋物線信號(hào)時(shí)給定穩(wěn)態(tài)誤差輸入為單位拋物線信號(hào)時(shí)，對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)要減小/消除穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增加開環(huán)積分環(huán)節(jié)和增加開環(huán)增益，但會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。課堂練習(xí)一下已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)且沒有s=0的零點(diǎn)，即則輸入為0時(shí)，擾動(dòng)造成的穩(wěn)態(tài)誤差為擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差如果擾動(dòng)為單位階躍信號(hào)，則如果控制器中含積分環(huán)節(jié)，則可見，必須在控制器中設(shè)置積分環(huán)節(jié)才可能消除擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。如果擾動(dòng)為斜坡信號(hào)和加速度信號(hào)時(shí)又如何？例：求系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差并比較比較下面兩題的結(jié)果：a.設(shè)單位反饋系統(tǒng)中控制器和被控對(duì)象的傳遞函數(shù)分別為

b.設(shè)單位反饋系統(tǒng)中控制器和被控對(duì)象的傳遞函數(shù)分別為如擾動(dòng)n(t)是單位階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)，試求系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。例：求系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差并比較兩種情況下開環(huán)傳函一樣但誤差傳遞函數(shù)不一樣擾動(dòng)n(t)是單位階躍函數(shù)時(shí)當(dāng)擾動(dòng)n(t)是斜坡函數(shù)時(shí)由此看出，如要使系統(tǒng)在承受斜坡形式擾動(dòng)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為常量，控制器中必須有一個(gè)串聯(lián)積分，僅在被控對(duì)象中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)是達(dá)不到目的的。減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施閉環(huán)控制優(yōu)于開環(huán)控制增大控制器開環(huán)增益，但要注意穩(wěn)定性控制器設(shè)置積分環(huán)節(jié)，但不能太多采用串聯(lián)控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)采用復(fù)合控制閉環(huán)控制優(yōu)于開環(huán)控制(對(duì)象參數(shù)有變)開環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差在r(t)=1(t)時(shí)K=10，設(shè)Kp=1/KK=10，設(shè)Kp=100/K△K=1，△K/K=10%MATLAB數(shù)值結(jié)果Open_close_loop_compare.mdl增大控制器開環(huán)增益，但要注意穩(wěn)定性r(t)=1.(t)時(shí)K=１時(shí)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差K=0.1時(shí)K=100時(shí)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差增大控制器開環(huán)增益，但要注意穩(wěn)定性K=0.1,1和100時(shí)系統(tǒng)的仿真圖如下K_enlarge.mdl控制器設(shè)置積分環(huán)節(jié)，但不能太多不加積分加一個(gè)積分加二個(gè)積分穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定考慮無給定R是液阻、C是液槽橫截面積仿真yewei.mdl采用串聯(lián)控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)某串級(jí)直流電機(jī)控制系統(tǒng)方框圖如圖，分別是主、副調(diào)控器，為電機(jī)傳遞函數(shù)。等效變換采用串聯(lián)控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)抑制擾動(dòng)的能力可表示為主副均采用比例調(diào)節(jié)，增益分別為Kp1

和Kp2則主副總增益越大，則串級(jí)控制的抗干擾能力越強(qiáng)。一般Kp2>1,所以Kp1.Kp2>Kp1于是仿真比較cascade_control.mdl采用復(fù)合控制按照擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)：擾動(dòng)作用下的輸出為誤差為E(s)=-Y(s),如果選擇Gd1(s)=Gd2(s)/Gc(s),可使Y(s)=0,實(shí)現(xiàn)了對(duì)擾誤差的全補(bǔ)償。

仿真例fuhekz.mdl內(nèi)容提要1.什么是時(shí)域分析2.典型輸入信號(hào)3.時(shí)域響應(yīng)4.穩(wěn)定性5.性能指標(biāo)----暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)6.一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)7.高階系統(tǒng)及其降階

8.線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

9.根軌跡法10.零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響什么是根軌跡？控制系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)。根軌跡法是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)求解閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的一種圖解方法。例如，求如下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)：什么是根軌跡？閉環(huán)傳遞函數(shù)為極點(diǎn)為當(dāng)K接近0時(shí)，S1=0，S2=-1，即開環(huán)極點(diǎn)。隨著K的增大，S1減小，S2增大。當(dāng)K增大到0.25時(shí)，S1=S2=－0.5。隨著K增大，S1和S2變?yōu)楣曹椞摳⑶覍?shí)部保持為－0.5。對(duì)于給定的K值，由根軌跡圖可以大略估計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，從而分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。什么是根軌跡？根軌跡是當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（一般是根軌跡增益K1）從零變化到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡方程反映了閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系。根軌跡增益根軌跡方程閉環(huán)特征方程為1+L(s)=0，即：上式可以用幅值條件和相角條件來表示：

如何繪制根軌跡相角條件用于確定s平面上一點(diǎn)是否在根軌跡上，是繪制根軌跡的依據(jù)。幅值條件用于計(jì)算根軌跡上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的K1值。K1>0是180?根軌跡：根軌跡增益變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面變化的軌跡稱為常規(guī)根軌跡K1<0是0?根軌跡。如何繪制180度根軌跡規(guī)則一：根軌跡有n條連續(xù)分支規(guī)則二：根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn)，止于開環(huán)零點(diǎn),有(n-m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處規(guī)則三：根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸(利用這一規(guī)則，可只求一半)規(guī)則四：實(shí)軸上的某一段，若其右邊的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)，則該段實(shí)軸是根軌跡的一部分。為什么？如何繪制180度根軌跡續(xù)規(guī)則五：兩支根軌跡在實(shí)軸或在平面上某處的交點(diǎn)方程為，sd為交點(diǎn)。利用該式可以進(jìn)行近似計(jì)算將得到的根代入1+L(s)=0能夠使K1>0便是分離點(diǎn)。除了確定分離點(diǎn)外，還有分離角,l是分支數(shù)如何繪制180度根軌跡續(xù)規(guī)則六：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可由代入特征方程求出或利用Routh判據(jù)求出規(guī)則七：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)的分子、分母階次差時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)之和且為常數(shù)。根軌跡向左和向右移動(dòng)的總量和為0。為何？規(guī)則八：趨向無窮遠(yuǎn)處的(n-m)條根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交角為漸近線匯交于實(shí)軸上的坐標(biāo)為如何繪制180度根軌跡續(xù)規(guī)則九：根軌跡的出射角和入射角：其共軛極點(diǎn)的出射角為，其共軛零點(diǎn)的入射角為例：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。例：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。解：（1）有3條根軌跡分支。起點(diǎn)為極點(diǎn)0，-1，-2，終點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡為(-∞,-2]，[-1,0]。（3）根軌跡的交點(diǎn)滿足以下方程由于交點(diǎn)在[-1,0]，因此sd=-0.42。例：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。（4）與虛軸的交點(diǎn)。方法1：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s3+3s2+2s+K1=0令s=i，則

-i3-

32+i2+K1=0令實(shí)部虛部分別為0，得到與虛軸的交點(diǎn)為例：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。方法2：用Routh穩(wěn)定判據(jù)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為s3+3s2+2s+K1=0列出

Routh表

臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)K1=6。輔助方程例：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。（5）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為交角為用MATLAB實(shí)現(xiàn)根軌跡繪制draw_root_locus.m例：分離點(diǎn)沒在坐標(biāo)軸上的情況clfg=tf([1],[11060240720163228803840384025601023]);rlocus(g)手工繪制常規(guī)根軌跡的九條規(guī)則簡(jiǎn)記1.根軌跡的數(shù)量2.對(duì)稱性和連續(xù)性3.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)4.實(shí)軸上的根軌跡5.根軌跡的交點(diǎn)6.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)7.根之和8.根軌跡的漸近線9.根軌跡的出射角與入射角(一般可以不用)你能畫出開環(huán)傳遞函數(shù)為K1/s的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡嗎？開環(huán)傳遞函數(shù)為K1/s的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡手畫開環(huán)傳遞函數(shù)為K1/s的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)為K(S+1)/(s-2)2的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡手畫開環(huán)傳遞函數(shù)為K(S+1)/(s-2)2的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如何繪制0度根軌跡規(guī)則一、二、三同180度情況規(guī)則四：實(shí)軸上的某一段，若其右邊的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)總數(shù)為偶數(shù)，則該段實(shí)軸是根軌跡的一部分規(guī)則五同180度情況規(guī)則六同180度情況，但應(yīng)注意此時(shí)的閉環(huán)特征方程與180度不一樣規(guī)則七同180度情況如何繪制0度根軌跡續(xù)規(guī)則八：趨向無窮遠(yuǎn)處的(n-m)條根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交角為交于實(shí)軸上的坐標(biāo)為規(guī)則九：根軌跡的出射角和入射角：共軛出射角為共軛入射角為參數(shù)根軌跡根軌跡增益K1從零變化到無窮大時(shí)繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。除根軌跡增益K1以外的其它參量從零變化到無窮大時(shí)繪制的根軌跡，稱為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的方法是將系統(tǒng)閉環(huán)特征方程轉(zhuǎn)換為常規(guī)根軌跡方程的形式。參數(shù)根軌跡【步驟】設(shè)變化參數(shù)為A，（1）列出閉環(huán)特征方程：1+L(s)=0；（2）解出參數(shù)A；（3）并進(jìn)一步變換為；

（4）作出等效單位反饋系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：例：繪制參數(shù)根軌跡解：閉環(huán)特征方程為

s3+2s2+s+b=0

變換為

b=-(s3+2s2+s)構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)

單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制b=0∞時(shí)的根軌跡（1）系統(tǒng)有3條根軌跡，始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0，-1，-1，均趨于無窮遠(yuǎn)處。

例：繪制參數(shù)根軌跡---續(xù)（3）解方程1/s+1/(s+1)+1/(s+1)=0，得到根軌跡的交點(diǎn)sd=-1/3。由幅值條件得到對(duì)應(yīng)的b=4/27。（4）與虛軸交點(diǎn)。令s=i，代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，即-i3-22+i+b=0（2）實(shí)軸上的根軌跡：[-∞,-1]，[-1,0]。（5）漸近線：例：繪制參數(shù)根軌跡---續(xù)（1）當(dāng)0<b≤4/27時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)落在實(shí)軸上，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)過程。（2）當(dāng)4/27<b≤2時(shí)，一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程。（3）當(dāng)b>2時(shí)，有閉環(huán)極點(diǎn)落在右半s平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，階躍響應(yīng)振蕩發(fā)散。滯后系統(tǒng)根軌跡單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為特征多項(xiàng)式為幅值條件：

相角條件：幅值條件多了一因子沿縱軸而變化，且有無窮多條根軌跡。(這與時(shí)滯為無窮階系統(tǒng)是一致的)

根靈敏度參數(shù)從標(biāo)稱值發(fā)生變化時(shí)，根軌跡的位置對(duì)參數(shù)變化的靈敏度。在量值上可以用隱式函數(shù)求導(dǎo)方式得到：內(nèi)容提要1.什么是時(shí)域分析2.典型輸入信號(hào)3.時(shí)域響應(yīng)4.穩(wěn)定性5.性能指標(biāo)----暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)6.一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)7.高階系統(tǒng)及其降階

8.線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

9.根軌跡法10.零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響閉環(huán)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響由對(duì)高階系統(tǒng)的響應(yīng)的分析，我們可以知：a.系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于閉環(huán)極點(diǎn)的位置。若閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半部分，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈收斂性，系統(tǒng)必穩(wěn)定，b.如果系統(tǒng)的極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)，而且無零點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)一定為非振蕩的，響應(yīng)時(shí)間主要取決于距離虛軸最近的極點(diǎn)。若其他極點(diǎn)距虛軸的距離比最近的極點(diǎn)大5倍以上，可以忽略前者對(duì)暫態(tài)過程的影響。閉環(huán)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響c.如果系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)(這一點(diǎn)必須事先確認(rèn)是否符合主導(dǎo)極點(diǎn)存在條件)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減指數(shù)，并與其他零極點(diǎn)接近原點(diǎn)或相互接近的程度有關(guān)，而調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部。d.如果系統(tǒng)中存在距離非常接近的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，其相互距離比其本身的模小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這一對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)近似為偶極子。一般情況下，近似偶極子對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。但如果近似的偶極子位置接近坐標(biāo)原點(diǎn)，其影響往往應(yīng)考慮。但它們并不會(huì)影響主導(dǎo)極點(diǎn)的地位。閉環(huán)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響e.在有共軛復(fù)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)的情況下，附加極點(diǎn)大小對(duì)系統(tǒng)的影響你能總結(jié)一下嗎？增加一個(gè)極點(diǎn)（如圖）其他極點(diǎn)的存在會(huì)增大系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度減慢(峰值時(shí)間遲后)，超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時(shí)間減?。粯O點(diǎn)離虛軸越近,阻尼越大，超調(diào)量越小。事實(shí)上，將原系統(tǒng)傳遞函數(shù)附加的極點(diǎn)寫成時(shí)間常數(shù)形式，將其看成一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)越大，相當(dāng)于增加了阻尼，極點(diǎn)離虛軸越近，從而從物理上得到解釋。

閉環(huán)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響f.在有共軛復(fù)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)的情況下,附加零點(diǎn)大小對(duì)系統(tǒng)的影響過阻尼欠阻尼其他零點(diǎn)的存在減小系統(tǒng)的阻尼，使響應(yīng)速度加快(峰值時(shí)間提前)，超調(diào)量增加，調(diào)節(jié)時(shí)間也增加；零點(diǎn)離虛軸越近，阻尼越小，超調(diào)量越大。即使是過阻尼的系統(tǒng)，加入零點(diǎn)后，也可能有超調(diào)。

開環(huán)零、極點(diǎn)分布對(duì)根軌跡的影響與閉環(huán)系統(tǒng)性能附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響附加開環(huán)偶極子對(duì)閉環(huán)根軌跡的影響出現(xiàn)開環(huán)零極點(diǎn)相消時(shí)的根軌跡分析需注意的問題附加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響附加開環(huán)極點(diǎn)改變了實(shí)軸上根軌跡。開環(huán)極點(diǎn)的引入使根軌跡向右移動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，系統(tǒng)的快速性變差，加入的極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)。附加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響開環(huán)零點(diǎn)的引入使根軌跡向左移動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利，零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越強(qiáng)。若增加的開環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近時(shí)，構(gòu)成偶極子，則二者作用相互抵消?？梢酝ㄟ^加入開環(huán)零點(diǎn)的方法，抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。課后MATLAB作業(yè)分析開環(huán)傳遞函數(shù)增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)后,分幾種情況討論根軌跡的變化，得出相關(guān)結(jié)論。

附加開環(huán)偶極子對(duì)閉環(huán)根軌跡的影響由于開環(huán)偶極子中的零點(diǎn)zc與極點(diǎn)pc重合或相近，所以對(duì)s平面上某點(diǎn)提供的幅值與幅角相等或相近，即

開環(huán)偶極子不影響遠(yuǎn)處根軌跡形狀以及相應(yīng)點(diǎn)處的根增益,但可能影響根軌跡上各點(diǎn)開環(huán)比例系數(shù)(從上面的關(guān)系可以看出)，由此，原點(diǎn)附近的開環(huán)偶極子將影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以將選擇zc/pc>5以上，改善穩(wěn)態(tài)性能。出現(xiàn)開環(huán)零極點(diǎn)相消時(shí)的根軌跡分析需注意的問題分析兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)例子，一個(gè)H(s)在前向通道中，一個(gè)在反饋通道中：兩者的開環(huán)傳遞函數(shù)經(jīng)約分后相同，進(jìn)行根軌跡分析，結(jié)論是什么？手工分析在K>0時(shí)均是穩(wěn)定的

你求一下它們的閉環(huán)傳遞函數(shù)，如何？

出現(xiàn)開環(huán)零極點(diǎn)相消時(shí)的根軌跡分析需注意的問題—續(xù)開環(huán)存在開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)消的情況下，繪制系統(tǒng)根軌跡以及利用根軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾點(diǎn)結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)存在一對(duì)相等的開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí),在s平面存在點(diǎn)狀根軌跡，不應(yīng)將這一對(duì)開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)消掉。系統(tǒng)將始終存在一個(gè)不隨參數(shù)變化而變化的閉環(huán)極點(diǎn)。若可對(duì)消的開環(huán)零極點(diǎn)分別是G(s)的極點(diǎn)與H(s)的零點(diǎn)，系統(tǒng)必不具有與點(diǎn)狀根軌跡對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)相對(duì)消的閉環(huán)零點(diǎn)，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)判穩(wěn)必須考慮點(diǎn)狀根軌跡的影響．其他情況可以不考慮點(diǎn)狀根軌跡。由于存在閉環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)消時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)不再是系統(tǒng)的完全描述，故此時(shí)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性可能是不一致的。系統(tǒng)時(shí)域分析綜合例題根軌跡與性能指標(biāo)主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子確定開環(huán)增益與閉環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)增加與變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)根的影響系統(tǒng)時(shí)域分析系統(tǒng)之例1例：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，（1）試確定系統(tǒng)在穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的開環(huán)增益K1

的范圍。（2）計(jì)算阻尼比=0.5時(shí)的K1值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，估算此時(shí)系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)。（3）求在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。你有什么思路：用什么工具？題干中給出了什么信息？如何計(jì)算性能指標(biāo)？解：（1）先畫出系統(tǒng)的根軌跡。a.系統(tǒng)有3條根軌跡分支，均趨于無窮遠(yuǎn)處。b.實(shí)軸上的根軌跡為：[-∞,-2]，[-1,0]。c.根軌跡的交點(diǎn)滿足1/s+1/(s+1)+1/(s+2)=0,即3s2+6s+2=0，解得sd=-0.42。代入根軌跡幅值條件|L(s)|=1得到K1=0.4。d.由1+L(i)=1得到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為s=1.4i，相應(yīng)的K1=6。e.根軌跡的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角分別為σ=-1，θ=π/3,π,-π/3。根軌跡如右圖示。從圖中可以看出：穩(wěn)定欠阻尼狀態(tài)下的根軌跡增益的范圍為0.4<K1<6。解：（2）=0.5，arccos=600。作等阻尼線OA，與根軌跡的交點(diǎn)就是一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)(共軛極點(diǎn)也可得到)。再計(jì)及閉環(huán)特征方程式聯(lián)立成方程組便可求出

K1=1.04

ωn=2/3

λ3=-2.33（2）于是三個(gè)閉環(huán)特征根為：

λ1=-0.33+j0.58，

λ2=-0.33-j0.58，

λ3=-2.33在所求得的3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中，λ1、λ2是主導(dǎo)極點(diǎn)，可用它們構(gòu)成的二階系統(tǒng)估算原三階系統(tǒng)的性能。解：（3）原系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)計(jì)算為系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)時(shí)域分析系統(tǒng)之例2例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為求閉環(huán)系統(tǒng)具有阻尼比0.5的主導(dǎo)極點(diǎn)的具體位置，并求相應(yīng)的速度誤差系數(shù)Kv，欲使Kv=12，且系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性基本保持不變，如何引入開環(huán)偶極子？

未加入偶極子時(shí)的根軌跡繪制。主要是求分離點(diǎn)，采用近似求法：等阻尼線0.5與根軌跡的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征根ch3_compresive_example_2.mk*=1.5206e+003poles=-19.4665-11.9828-1.275