課堂學(xué)案配套課件-板塊二專題七第2講

第2講三角函數(shù)、解三角形中的應(yīng)用題板塊二專題七應(yīng)用題在實(shí)際問題中以角為自變量建立函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解實(shí)際問題.與解三角形有關(guān)的應(yīng)用題，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，進(jìn)而解決實(shí)際問題.考情考向分析NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破真題押題精練1PARTONE熱點(diǎn)一和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題熱點(diǎn)二和解三角形有關(guān)的應(yīng)用題熱點(diǎn)一和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題例1

(2019·南通聯(lián)考)如圖，某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD，已知AB＝100米，BC＝80米，在以AD，BC為直徑的兩個(gè)半圓內(nèi)種植花草，其它區(qū)域種植苗木.現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價(jià)為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價(jià)為每米3a元(a>0)，修建的總造價(jià)為W元.設(shè)∠NBC＝θ.(1)求W關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；解連結(jié)NC，AM，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)MO，過N作NE⊥BC，垂足為E.由BC為直徑知，∠BNC＝90°，又BC＝80，∠NBC＝θ，所以BN＝80cosθ，NE＝BNsinθ＝80sinθcosθ，因?yàn)镸N∥AB，AB＝100，所以MN＝AB－2NE＝100－160sinθcosθ，由于∠DOM＝2∠MAD＝2θ，OM＝40，所以

＝40×2θ＝80θ，

因?yàn)橹甭返墓こ淘靸r(jià)為每米2a元，弧形路的工程造價(jià)為每米3a元，所以總造價(jià)為W＝2a(BN＋MN)＋3a

＝2a(80cosθ＋100－160sinθcosθ)＋3a·80θ，(2)如何修建道路，可使修建的總造價(jià)最少？并求最少總造價(jià).則f′(θ)＝－4sinθ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sinθ－2＝2(4sinθ＋1)(2sinθ－1).此時(shí)，總造價(jià)W最少，最少總造價(jià)為(200＋40π)a元.思維升華在求解與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，首先數(shù)形結(jié)合建立相關(guān)的三角函數(shù)模型，再運(yùn)用三角恒等變換、導(dǎo)數(shù)等求解最值，從而解決優(yōu)化問題.跟蹤演練1

(2019·揚(yáng)州調(diào)研)2019年揚(yáng)州市政府打算在如圖所示的某“葫蘆”形花壇中建一噴泉，該花壇的邊界由兩個(gè)半徑為12米的圓弧圍成，兩圓心O1，O2之間的距離為12米.在花壇中建矩形噴泉，四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D均在圓弧上，O1O2⊥AB于點(diǎn)M.設(shè)∠AO2M＝θ.(2)求cosθ為何值時(shí)，可使噴泉ABCD的面積S最大？解在Rt△AO2M中，AM＝12sinθ，O2M＝12cosθ，則AD＝24cosθ＋12，AB＝2AM＝24sinθ，所以矩形ABCD的面積S＝24sinθ(24cosθ＋12)則f′(θ)＝2(cos2θ－sin2θ)＋cosθ＝4cos2θ＋cosθ－2，列表如下：所以當(dāng)θ＝θ0時(shí)，f(θ)最大，即S最大.熱點(diǎn)二和解三角形有關(guān)的應(yīng)用題例2

(2019·鹽城模擬)某公園內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心，半徑為20米的圓形區(qū)域.為豐富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設(shè)計(jì)方案：如圖，在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺(tái)，舞臺(tái)為扇形OAB區(qū)域，其中兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在圓周上；觀眾席為梯形ABQP內(nèi)且在圓O外的區(qū)域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在點(diǎn)O的同側(cè).為保證視聽效果，要求觀眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)O處的距離都不超過60米.設(shè)∠OAB＝α，α∈.問：對(duì)于任意α，上述設(shè)計(jì)方案是否均能符合要求？解過O作OH垂直于AB，垂足為H.在Rt△OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.由圖可知，點(diǎn)P處觀眾離點(diǎn)O處最遠(yuǎn).答

對(duì)于任意α，上述設(shè)計(jì)方案均能符合要求.思維升華用正弦、余弦定理去解決具體實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)關(guān)注圖形的特點(diǎn)，找出已知量及所求的量，轉(zhuǎn)化為三角形的邊角，在某個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理構(gòu)造方程或三角函數(shù)式，運(yùn)用求導(dǎo)或不等式的性質(zhì)尋找最值.由題意可知S△AEF＝S△AEP＋S△AFP，設(shè)∠FPA＝θ，由PF＋PE＝FE，(2)試確定E，F(xiàn)的位置，使三條路圍成的△AEF地皮購(gòu)價(jià)最低.解設(shè)三條路圍成△AEF地皮購(gòu)價(jià)為z元，地皮每平方米購(gòu)價(jià)為k元，則z＝k·S△AEF(k為正常數(shù))，所以要使z最小，只要使S△AEF最小，令t＝4x－7a>0，2PARTTWO真題押題精練121.(2018·江蘇，17)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；12解如圖，設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于點(diǎn)H，則PH⊥MN，所以O(shè)H＝10.過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，＝1600(cosθ－sinθcosθ).過點(diǎn)N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和K，則GK＝KN＝10.1212(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.12解因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k＞0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)則f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1).12122.如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200m，斜邊AB＝400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，E，F(xiàn).(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停，乙比甲晚2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；12解依題意得BD＝300m，BE＝100m，在△BDE中，由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB12(2)設(shè)∠CEF＝θ，乙、丙之間