誤差理論與數(shù)據(jù)處理 第一章誤差的基本概念

第一章誤差的基本概念教學(xué)目的和要求

通過本章內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)誤差的定義、表達(dá)方法、分類和誤差來源等基本概念有一個(gè)系統(tǒng)全面的了解，為后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。要求學(xué)生理解真值的概念，掌握誤差最常用的表達(dá)方式，了解誤差來源的分析方法，正確使用近似數(shù)的修約準(zhǔn)則。主要內(nèi)容一、測(cè)量的概念二、誤差的定義及基本概念三、測(cè)量誤差的來源四、誤差的分類五、近似數(shù)的修約與運(yùn)算定義：以確定量值為目的的一組操作。目的：確定被測(cè)量的值或獲取測(cè)量結(jié)果。第一節(jié)測(cè)量的概念

測(cè)量定義：實(shí)現(xiàn)單位統(tǒng)一、量值準(zhǔn)確可靠的活動(dòng)。·

單位統(tǒng)一指的是計(jì)量單位的統(tǒng)一。計(jì)量單位的統(tǒng)一，是量值統(tǒng)一的重要前提。

·

量值準(zhǔn)確可靠表征的是測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量量的真值的接近程度，準(zhǔn)的定量描述用誤差或測(cè)量不確定度?！皽?zhǔn)”是計(jì)量的核心。計(jì)量1、測(cè)量是一個(gè)廣義的概念，測(cè)量包括計(jì)量。2、計(jì)量是一種特殊的測(cè)量。·

計(jì)量?jī)x器必須有計(jì)量檢定合格證書?！?/p>

計(jì)量人員必須持證上崗?！?/p>

計(jì)量環(huán)境必須滿足國家技術(shù)規(guī)范的要求。·

計(jì)量方法必須按國家計(jì)量檢定規(guī)程進(jìn)行?！?/p>

計(jì)量結(jié)果必須給出誤差與測(cè)量不確定度的大小。3、計(jì)量是測(cè)量的基礎(chǔ)，又是最高層次的測(cè)量。測(cè)量與計(jì)量的關(guān)系測(cè)量直接測(cè)量間接測(cè)量工程測(cè)量精密測(cè)量電量測(cè)量非電量測(cè)量等權(quán)測(cè)量非等權(quán)測(cè)量靜態(tài)測(cè)量動(dòng)態(tài)測(cè)量測(cè)量的分類直接測(cè)量

指通過直接測(cè)量與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的量，通過函數(shù)關(guān)系求得被測(cè)量值的測(cè)量方法。指被測(cè)量與該標(biāo)準(zhǔn)量直接進(jìn)行比較的測(cè)量，指該被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果可以直接由測(cè)量?jī)x器輸出得到，而不再需要經(jīng)過量值的變換與計(jì)算。用游標(biāo)卡尺測(cè)量小尺寸軸工件的直徑時(shí)，游標(biāo)卡尺的讀數(shù)即是被測(cè)工件的直徑間接測(cè)量用游標(biāo)卡尺測(cè)大尺寸軸工件的直徑，因量程不夠，采用測(cè)量弦長與矢高的方法，間接得到工件直徑按測(cè)量結(jié)果的獲取方式分類

指在測(cè)量過程中被測(cè)量可以認(rèn)為是固定不變的。因此，不需要考慮時(shí)間因素對(duì)測(cè)量的影響

指被測(cè)量在測(cè)量期間隨時(shí)間（或其他影響量）發(fā)生變化靜態(tài)測(cè)量在日常測(cè)量中，大多接觸的是靜態(tài)測(cè)量。對(duì)于這種測(cè)量，被測(cè)量和測(cè)量誤差可以當(dāng)作一種隨機(jī)變量來處理動(dòng)態(tài)測(cè)量彈道軌跡的測(cè)量、環(huán)境噪聲的測(cè)量等。對(duì)這類被測(cè)量的測(cè)量，需要當(dāng)作一種隨機(jī)過程的問題來處理。根據(jù)被測(cè)量對(duì)象在測(cè)量過程中

所處的狀態(tài)分類

指在測(cè)量過程中，測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量條件和操作人員都保持不變。因此，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量結(jié)果可認(rèn)為具有相同的信賴程度，應(yīng)按同等原則對(duì)待。

指測(cè)量過程中測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量條件或操作人員某一因素或某幾因素發(fā)生變化，使得測(cè)量結(jié)果的信賴程度不同。對(duì)不等權(quán)測(cè)量的數(shù)據(jù)應(yīng)按不等權(quán)原則進(jìn)行處理。

等權(quán)測(cè)量不等權(quán)測(cè)量根據(jù)測(cè)量條件是否發(fā)生變化分類δ＝x-a定義被測(cè)量的真值測(cè)量結(jié)果測(cè)量誤差第二節(jié)測(cè)量誤差的定義及基本概念

一、測(cè)量誤差·測(cè)量結(jié)果x的值是由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值?！V義上我們可以把測(cè)得值、測(cè)量值、檢測(cè)值、實(shí)驗(yàn)值、示值、名義值、標(biāo)稱值、預(yù)置值、給出值等均看作是測(cè)量結(jié)果。測(cè)量結(jié)果是我們要研究的對(duì)象。測(cè)量結(jié)果真值定義為與給定的特定量的定一致的值。理論真值一般只存在于純理論之中。三角形內(nèi)角之和恒為180o一個(gè)整圓周角為360o真值亦稱指定值、約定值、參考值或最佳估計(jì)值是指對(duì)于給定用途具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值。由國家建立的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)）所指定的千克副原器質(zhì)量的約定真值為1kg，其復(fù)現(xiàn)的不確定度為0.008mg。七個(gè)SI基本單位：米、千克、安培、秒、開爾文、堪德拉、摩爾約定真值約定真值二、基本表示方法誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差引用誤差δ＝x-a特點(diǎn)：絕對(duì)誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。單位給出了被測(cè)量的量綱，其單位與測(cè)得值相同。適用于同一量級(jí)的同種量的測(cè)量結(jié)果的誤差比較和單次測(cè)量結(jié)果的誤差計(jì)算。絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差與誤差絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的值，一般用c表示。

在自動(dòng)測(cè)量?jī)x器中，可將修正值編成程序存儲(chǔ)在儀器中，儀器輸出的是經(jīng)過修正的測(cè)量結(jié)果。

修正結(jié)果是將測(cè)得值加上修正值后的測(cè)量結(jié)果，這樣可提高測(cè)量準(zhǔn)確度。

在測(cè)量?jī)x器中，修正值常以表格、曲線或公式的形式給出。

修正值修正值真值絕對(duì)誤差用某電壓表測(cè)量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V，被測(cè)電壓的修正值為－5V，則修正后的測(cè)量結(jié)果為226+(－5V)=221V。

測(cè)得值【例1-1】定義

特點(diǎn)①相對(duì)誤差只有大小和符號(hào)，而無量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來表示。

②

相對(duì)誤差常用來衡量測(cè)量的相對(duì)準(zhǔn)確程度。絕對(duì)誤差被測(cè)量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測(cè)量值x來代替x0相對(duì)誤差相對(duì)誤差（relativeerror）用1μm測(cè)長儀測(cè)量0.01m長的工件，其絕對(duì)誤差=0.0006m，但用來測(cè)量1m長的工件，其絕對(duì)誤差為0.0105m。前者的相對(duì)誤差為

后者的相對(duì)誤差為用絕對(duì)誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準(zhǔn)確度。

絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的比較定義

引用誤差是一種相對(duì)誤差，而且該相對(duì)誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。

儀器某標(biāo)稱范圍（或量程）內(nèi)的最大絕對(duì)誤差

該標(biāo)稱范圍（或量程）上限引用誤差

引用誤差我國電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級(jí)（accuracyclass）就是按照引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。當(dāng)一個(gè)儀表的等級(jí)s選定后，用此表測(cè)量某一被測(cè)量時(shí)，所產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為絕對(duì)誤差的最大值與該儀表的標(biāo)稱范圍（或量程）上限xm成正比電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級(jí)用有一塊測(cè)量范圍為－0.1MPa～＋0.1MPa，2.5級(jí)的壓力真空表，在進(jìn)行計(jì)量校準(zhǔn)時(shí)，各示值點(diǎn)上最大允許誤差是多少？解：該壓力真空表在－0.1MPa～＋0.1MPa范圍內(nèi)各示值點(diǎn)上的引用誤差不應(yīng)超過2.5％，則各示值點(diǎn)上允許誤差的最大示值誤差應(yīng)為：δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa）引用誤差專用于儀器儀表誤差的描述。【例1-2】

為了減小測(cè)量誤差，提高測(cè)量準(zhǔn)確度，就必須了解誤差來源。而誤差來源是多方面的，在測(cè)量過程中，幾乎所有因素都將引入測(cè)量誤差。主要來源

測(cè)量設(shè)備誤差

測(cè)量方法誤差

測(cè)量環(huán)境誤差

測(cè)量人員誤差

被測(cè)對(duì)象誤差

第三節(jié)測(cè)量誤差的來源以固定形式復(fù)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量值的器具，如標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)砝碼等等，他們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標(biāo)準(zhǔn)器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。

測(cè)量裝置在制造過程中由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過程中，由于元器件的老化、機(jī)械部件磨損和疲勞等因素而使設(shè)備所產(chǎn)生的誤差。測(cè)量?jī)x器所帶附件和附屬工具所帶來的誤差。測(cè)量設(shè)備誤差

標(biāo)準(zhǔn)器誤差儀器儀表誤差附件誤差設(shè)計(jì)測(cè)量裝置時(shí)，由于采用近似原理所帶來的工作原理誤差組成設(shè)備的主要零部件的制造誤差與設(shè)備的裝配誤差設(shè)備出廠時(shí)校準(zhǔn)與定度所帶來的誤差讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差數(shù)字式儀器所特有的量化誤差元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差指使用的測(cè)量方法不完善，或采用近似的計(jì)算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差測(cè)量方法誤差第一種情況：由于測(cè)量人員的知識(shí)不足或研究不充分以致操作不合理，或?qū)y(cè)量方法、測(cè)量程序進(jìn)行錯(cuò)誤的簡(jiǎn)化等引起的方法誤差。第二種情況：分析處理數(shù)據(jù)時(shí)引起的方法誤差。例如，軸的周長可以通過測(cè)量軸的直徑d，然后由公式：L＝πd計(jì)算得到。但是，在計(jì)算中只能取其近似值，因此，計(jì)算所得的L也只能是近似值，從而引起周長L的誤差。測(cè)量方法誤差指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對(duì)于電子測(cè)量，環(huán)境誤差主要來源于環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等激光光波比長測(cè)量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會(huì)影響到空氣折射率，因而影響激光波長，產(chǎn)生測(cè)量誤差。高精度的準(zhǔn)直測(cè)量中，氣流、振動(dòng)也有一定的影響測(cè)量環(huán)境誤差測(cè)量人員的工作責(zé)任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測(cè)量習(xí)慣等的不同而引起的誤差。為了減小測(cè)量人員誤差，就要求測(cè)量人員要認(rèn)真了解測(cè)量?jī)x器的特性和測(cè)量原理，熟練掌握測(cè)量規(guī)程，精心進(jìn)行測(cè)量操作，并正確處理測(cè)量結(jié)果。測(cè)量人員誤差用工具顯微鏡測(cè)量圓的直徑。右圖是這一測(cè)量的示意圖。測(cè)量時(shí)，調(diào)整顯微鏡指標(biāo)線同圓的兩側(cè)直徑方向相切。理論上要求指標(biāo)線調(diào)至同圓的影象相切，指標(biāo)線壓住或脫離影象均會(huì)產(chǎn)生測(cè)量誤差。在指標(biāo)線和影象相切的同時(shí)，估計(jì)讀取指標(biāo)線在刻度尺的位置a和b，則圓的直徑d＝b－a。在上述測(cè)量過程中，用人眼二次瞄準(zhǔn)相切，二次估計(jì)讀數(shù)均受到人眼最小分辨能力的限制。因此，在該測(cè)量過程中，有二次對(duì)線瞄準(zhǔn)誤差和二次估讀誤差?！纠?-3】

被測(cè)對(duì)象在整個(gè)測(cè)量過程中處在不斷地變化中。由于測(cè)量對(duì)象自身的變化而引起的測(cè)量誤差稱為測(cè)量對(duì)象變化誤差。

例如，被測(cè)光度燈的光度，被測(cè)溫度計(jì)的溫度，被測(cè)線紋尺的長度，被測(cè)量塊的尺寸等，在測(cè)量過程中均處于不停地變化中，由于它們的變化，使測(cè)量不準(zhǔn)而帶來誤差。下述的測(cè)量實(shí)例說明了這一點(diǎn)。

被測(cè)對(duì)象變化誤差全面分析不遺漏不重復(fù)重大避小分析誤差來源注意事項(xiàng)誤差系統(tǒng)誤差粗大誤差隨機(jī)誤差第四節(jié)誤差的分類在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。

定義特征

在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

系統(tǒng)誤差（systematicerror）用天平計(jì)量物體質(zhì)量時(shí)，砝碼的質(zhì)量偏差用千分表讀數(shù)時(shí)，表盤安裝偏心引起的示值誤差刻線尺的溫度變化引起的示值誤差在實(shí)際估計(jì)測(cè)量器具示值的系統(tǒng)誤差時(shí)，常常用適當(dāng)次數(shù)的重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值減去約定真值來表示，又稱其為測(cè)量器具的偏移或偏畸（bias）。

由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減??；也可以在相同條件下對(duì)已知約定真值的標(biāo)準(zhǔn)器具進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量的辦法，或者通過多次變化條件下的重復(fù)測(cè)量的辦法，設(shè)法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。系統(tǒng)誤差舉例測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。

隨機(jī)誤差（randomerror）隨機(jī)誤差的最主要特征是具有隨機(jī)性，沒有確定的規(guī)律。但象其它隨機(jī)變量一樣，對(duì)無限次測(cè)量，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差的特征指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡(jiǎn)稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，測(cè)量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯(cuò)讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯(cuò)誤等）測(cè)量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動(dòng)等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。具體見第四章。

粗大誤差（grosserror）如一塊電表，它的刻度誤差在制造時(shí)可能是隨機(jī)的，但用此電表來校準(zhǔn)一批其它電表時(shí)，該電表的刻度誤差就會(huì)造成被校準(zhǔn)的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準(zhǔn)，用它來測(cè)量某電源的電壓時(shí)必帶來系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測(cè)此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負(fù)，就使得這些測(cè)量誤差具有隨機(jī)性。誤差性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化1．若舍去部分的數(shù)值大于保留末位的0.5，則末位加1，（大于5進(jìn)）；2．若舍去部分的數(shù)值小于保留末位的0.5，則末位不變，（小于5舍）；3．若舍去部分的數(shù)值恰等于保留末位的0.5，此時(shí)，①若末位是偶數(shù)；則末位不變，②若末位是奇數(shù)，則末位加1，（等于5奇進(jìn)偶不進(jìn)）。第五節(jié)近似數(shù)的修約與運(yùn)算

近似數(shù)的基本修約規(guī)則

·修約必須一次完成，不能連續(xù)修約，如：1.327465→1.32746→1.3275→1.328（正確為：1.327465→1.327）·若數(shù)字舍入恰巧發(fā)生在合格與否的邊界數(shù)字上時(shí)，則要用（＋）或（－）分別補(bǔ)充表明它們的數(shù)值大小。如1.29→1.3（－），13.2→1.3（＋）?！ふ`差或不確定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只進(jìn)不舍。后面將提到的有效自由度的計(jì)算，則采用截?cái)嘈?shù)取整的只舍不進(jìn)的算法。規(guī)則使用說明：定義：是指經(jīng)過修約后所得的近似數(shù)從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起到末位上的所有數(shù)字。一個(gè)近似數(shù)有n個(gè)有效數(shù)字，也稱這個(gè)近似數(shù)為n位有效數(shù)。意義：有效數(shù)字描述了近似數(shù)的近似程度。有效數(shù)字

1．它可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字，這取決于它處在近似數(shù)中的位置。當(dāng)零處在第一個(gè)有效數(shù)字之前時(shí)，則零不算有效數(shù)字。例如，近似數(shù)0.00386前面的三個(gè)“0”，均不是有效數(shù)字。當(dāng)零處在第一個(gè)有效數(shù)字之后，則均為有效數(shù)字。例如，近似數(shù)110.00和200.030中的所有“0”均為有效數(shù)字。2．小數(shù)點(diǎn)以后的零反映了近似數(shù)的誤差，不能隨意取舍。例如，近似數(shù)100，100.0和100.00。這三個(gè)近似數(shù)在數(shù)值上是相等的，但是它們的誤差是各不相同的，由舍入誤差原理知，這三個(gè)近似數(shù)的誤差絕對(duì)值分別不超過0.5，0.05和0.005。3．在第一個(gè)有效數(shù)字之前的零則與誤差無關(guān)。例如，近似數(shù)0.0036的誤差絕對(duì)值不超過0.00005，而近似數(shù)0.36×10－2的誤差絕對(duì)值也不超過0.005×10－2＝0.00005。在判斷有效數(shù)字時(shí)，對(duì)于零這個(gè)數(shù)字有三點(diǎn)說明：

幾個(gè)（不超過10個(gè)）近似數(shù)相加或相減時(shí)，小數(shù)位數(shù)較多的近似數(shù)，只須比小數(shù)位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)多保留1位