西安科技大學(xué) 研究生 數(shù)值分析課件

1緒論本章主要內(nèi)容：

1.1數(shù)值方法的必要性

1.2誤差與有效數(shù)字

1.3數(shù)值計(jì)算的若干原則

1.4算法及數(shù)值穩(wěn)定性重點(diǎn)：誤差難點(diǎn)：有效數(shù)字、穩(wěn)定性1.1

數(shù)值方法的必要性某些數(shù)學(xué)問題目前在數(shù)學(xué)上還沒有求解方法。如一元高次多項(xiàng)式方程，一元超越方程。有些數(shù)學(xué)問題在理論上有解決方法，但實(shí)際中并不可用，如大規(guī)模線性方程組。有些數(shù)學(xué)問題在實(shí)踐中有解決的方法，但仍需要對(duì)算法進(jìn)行分析(誤差分析)，如求定積分的例子。

1.1

數(shù)值方法的必要性數(shù)值分析是通過構(gòu)造數(shù)值算法，并用高性能（速度快、精度高、存儲(chǔ)容量大）的計(jì)算工具（電子計(jì)算機(jī)）來求解給定數(shù)學(xué)問題（模型）的數(shù)值解。并不過分關(guān)心問題的數(shù)學(xué)解法及精確解。

高性能的計(jì)算工具僅是求解給定問題數(shù)值解的物質(zhì)基礎(chǔ)。通過對(duì)給定問題的進(jìn)行分析，按照一定的思想，制定出求解問題的算法才是數(shù)值分析的主要工作，它包括對(duì)算法的構(gòu)造，對(duì)算法收斂性、穩(wěn)定性及時(shí)間和空間復(fù)雜性的分析等。

1.1

數(shù)值方法的必要性結(jié)合計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，迭代算法是構(gòu)造數(shù)值算法的最基本的方法，離散化是構(gòu)造數(shù)值算法的最常用的手段。數(shù)值算法有以下幾個(gè)特點(diǎn)：理論上的精確運(yùn)算與實(shí)際運(yùn)算之間存在差異理論上的解題方案與實(shí)際能用性之間存在著差異精確解法與近似解法往往沒有本質(zhì)區(qū)別1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.1誤差的來源與分類通常，解決一個(gè)實(shí)際問題需經(jīng)過以下幾個(gè)步驟。實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果數(shù)值算法分析、假設(shè)抽象、量化構(gòu)造數(shù)值計(jì)算方法編程、輸入計(jì)算、分析在以上環(huán)節(jié)中，不可避免的存在著誤差，分為以下幾種：模型誤差：從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)導(dǎo)致的誤差；觀測誤差：數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)值在觀測時(shí)所導(dǎo)致的誤差；方法誤差：針對(duì)數(shù)學(xué)模型構(gòu)造算法時(shí)所導(dǎo)致的誤差；舍入誤差：在用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)由于計(jì)算機(jī)字長的限制所導(dǎo)致的誤差或由于計(jì)算次序所導(dǎo)致的誤差。1.2誤差與有效數(shù)字1.2.1誤差的來源與分類方法誤差又稱截?cái)嗾`差或余項(xiàng)。舍入誤差的積累可能對(duì)計(jì)算結(jié)果造成很大影響。在數(shù)值分析課程中我們不討論數(shù)學(xué)模型本身的模型誤差和觀測誤差，只研究為求解數(shù)學(xué)模型而產(chǎn)生的方法誤差和舍入誤差。針對(duì)不同的數(shù)值方法，誤差估計(jì)的側(cè)重點(diǎn)也不同，有些數(shù)值方法主要討論方法誤差，如數(shù)值積分/微分、函數(shù)插值/逼近等；有些數(shù)值方法主要討論舍入誤差及觀測誤差(輸入數(shù)據(jù)的誤差)，如線性方程組求解。兩個(gè)例子1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量1.絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差界（限）設(shè)x是某個(gè)精確值x*的近似值，則稱為近似值x的絕對(duì)誤差，簡稱誤差。如果能找到絕對(duì)誤差值的一個(gè)上界，使得，稱是近似值x的絕對(duì)誤差界，簡稱誤差界。由于誤差界不唯一，通常取滿足的最小值。例1-1設(shè)的近似值及誤差界。1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量2.相對(duì)誤差與相對(duì)誤差界（限）設(shè)x是某個(gè)非零精確值x*的近似值，則稱為近似值x的相對(duì)誤差。如果能找到相對(duì)誤差值的一個(gè)上界，使得，稱是近似值x的相對(duì)誤差界。由于精確值往往是未知的，通常令例1-2相對(duì)誤差（界）的例子。1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量3.有效數(shù)字若近似值的絕對(duì)誤差界是某一數(shù)位上的半個(gè)單位，則稱精確到該位，若從該位到的左起第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值有n位有效數(shù)字。從該定義可以看出，通常的“四舍五入”后得到的數(shù)字都是有效數(shù)字。而精確值被認(rèn)為有無窮多位有效數(shù)字。有效數(shù)字還有另一種定義方法。1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量3.有效數(shù)字設(shè)近似值可寫成規(guī)格化的形式（1-1）其中，ai是0-9之間的整數(shù)，，k為整數(shù)。如果（1-2）則稱為的具有n位有效數(shù)字的近似值。例1-3設(shè)1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量3.有效數(shù)字這種定義方法實(shí)際上給出了有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系。下面的定理揭示了有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系。定理1-1

設(shè)近似值x可寫成（1-1）的規(guī)格化形式，若x至少有n位有效數(shù)字，則x的相對(duì)誤差滿足（1-3）反之，若的相對(duì)誤差滿足

（1-4）則至少有n位有效數(shù)字。（證明參[2]p5）例1-4求1/19的近似值的相對(duì)誤差不超過0.1﹪，應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.3誤差的傳播1.函數(shù)的誤差

例1-5P13習(xí)題31.2

誤差與有效數(shù)字1.2.3誤差的傳播

2.運(yùn)算的誤差例1-6測得某正方體的邊長為20cm，計(jì)算其體積的誤差界及相對(duì)誤差界。(用兩種方法)1.3數(shù)值計(jì)算的若干原則1.3.1機(jī)器數(shù)存放在計(jì)算機(jī)中的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)。實(shí)數(shù)有定點(diǎn)和浮點(diǎn)兩種形式表示。實(shí)數(shù)的機(jī)器數(shù)是有誤差的。范圍與誤差的大小與機(jī)器數(shù)的字長有關(guān)。隨覺運(yùn)算的深入，誤差可能迅速膨脹，這種現(xiàn)象必須得到有效控制；也可能出現(xiàn)大數(shù)吃掉小數(shù)等現(xiàn)象，必須盡量避免。穩(wěn)定性1.3數(shù)值計(jì)算的若干原則1.3.2誤差處理的幾個(gè)原則避免兩個(gè)相近的數(shù)相減。避免絕對(duì)值太小的數(shù)做除數(shù)。防止大數(shù)吃掉小數(shù)。優(yōu)化計(jì)算步驟，提高計(jì)算效率。嚴(yán)格控制遞推公式中誤差的傳播簡化計(jì)算步驟一些避免相近數(shù)相減示例當(dāng)|x|>>1時(shí)當(dāng)|x|<<1時(shí)1.4算法與數(shù)值穩(wěn)定性1.4.1算法及其相關(guān)概念算法是為解決一個(gè)實(shí)際問題采取的確定的、有限的步驟。

算法具有有窮性、確定性、能行性、輸入和輸出算法的描述自然語言描述流程框圖/N-S圖描述偽代碼/某種計(jì)算機(jī)語言描述算法復(fù)雜性時(shí)間復(fù)雜性空間復(fù)雜性好算法的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果正確邏輯清晰、結(jié)構(gòu)良好便于維護(hù)、可擴(kuò)充性強(qiáng)時(shí)、空復(fù)雜性優(yōu)良算法的收斂性線性收斂超線性收斂平方收斂算法的分類并行算法與串行算法數(shù)值算法與非數(shù)值算法1.4算法與數(shù)值穩(wěn)定性1.4.2算法的穩(wěn)定性與病態(tài)數(shù)學(xué)問題

1算法的穩(wěn)定性

算法的數(shù)值穩(wěn)定性是指算法對(duì)誤差的傳播（或積累）是否受到控制的問題。如果算法的計(jì)算結(jié)果對(duì)初始數(shù)據(jù)的誤差及計(jì)算中的舍入誤差不敏感，則稱該算法是穩(wěn)定的；否則該算法是不穩(wěn)定的。由于誤差不可避免，算法的穩(wěn)定性在數(shù)值計(jì)算中是不可回避的重要問題。例1-6求定積分的例子（p6）1.4算法與數(shù)值穩(wěn)定性1.4.2算法的穩(wěn)定性與病態(tài)數(shù)學(xué)問題

2病態(tài)數(shù)學(xué)問題

病態(tài)數(shù)學(xué)問題是指這樣的問題，當(dāng)它的