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文檔簡(jiǎn)介
寶劍鋒從磨礪出,梅花香自苦寒來。書到用時(shí)方恨少,事到經(jīng)過才知難。板凳要坐十年冷,文章不寫一句空。
——《警示賢文》
2/1/20231第七章線性離散系統(tǒng)的分析7.1引言7.2信號(hào)的采樣與保持7.3z變換理論7.4脈沖傳遞函數(shù)7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差7.6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析7.7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正2/1/20232自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.1引言1.什么是離散系統(tǒng)?依據(jù)系統(tǒng)中的信號(hào)形式分類:連續(xù)時(shí)間(continuous-time)系統(tǒng):所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)離散時(shí)間(discrete-time)系統(tǒng):某些信號(hào)是一串脈沖或數(shù)碼采樣控制(sampled-datacontrol)系統(tǒng):離散信號(hào)是脈沖序列數(shù)字控制(digitalcontrol)系統(tǒng):離散信號(hào)是數(shù)字序列2/1/20233自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)連續(xù)信號(hào):定義在連續(xù)時(shí)間上的信號(hào)。離散信號(hào):定義在離散時(shí)間點(diǎn)或段上的信號(hào)。離散模擬信號(hào):時(shí)間上是離散的,幅值上是連續(xù)的脈沖序列離散數(shù)字信號(hào):時(shí)間上是離散的,幅值上是離散的數(shù)字序列
連續(xù)系統(tǒng):其中的所有變量在時(shí)間和幅值上都是連續(xù)的離散系統(tǒng):其中的一個(gè)或多個(gè)變量在時(shí)間上是不連續(xù)的離散系統(tǒng)的兩種情況:(1)實(shí)際系統(tǒng)/變量是離散的,如:人口數(shù)量,汽車產(chǎn)量(2)實(shí)際系統(tǒng)/變量是連續(xù)的====》離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散化又稱采樣系統(tǒng)2/1/20234自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)
2.為什么要研究離散系統(tǒng)?科技進(jìn)步,數(shù)字控制器逐步取代模擬控制器:脈沖技術(shù)數(shù)字式元部件數(shù)字計(jì)算機(jī)微處理器學(xué)習(xí)離散系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)方法的目的:用于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)。2/1/20235自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)數(shù)字控制的優(yōu)勢(shì):由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置比連續(xù)裝置易于實(shí)現(xiàn),且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變,控制靈活;采用高靈敏度的控制元件,可提高控制精度;采樣信號(hào),特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲,提高了系統(tǒng)的抗干擾能力,信號(hào)傳遞和轉(zhuǎn)換精度高;采樣的引入使得大延時(shí)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定得以改善。計(jì)算機(jī)在控制精度、速度、性價(jià)比方面的優(yōu)越性;計(jì)算機(jī)具有很好的通用性,可以方便改變控制規(guī)律。直接數(shù)字控制發(fā)展到計(jì)算機(jī)分布控制;對(duì)單一生產(chǎn)過程進(jìn)行控制到實(shí)現(xiàn)整個(gè)工業(yè)過程的控制;從簡(jiǎn)單的控制規(guī)律發(fā)展到更高級(jí)的優(yōu)化控制、自適應(yīng)控制等。2/1/20236自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)數(shù)字控制的代價(jià):采樣點(diǎn)間的信息損失,帶來量化誤差和量化噪聲。需要增加A/D、D/A等轉(zhuǎn)換裝置或部件。與連續(xù)系統(tǒng)相比穩(wěn)定性變差動(dòng)態(tài)性能會(huì)有所損失2/1/20237自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)研究思路:描述--分析--設(shè)計(jì)分析與設(shè)計(jì)基礎(chǔ):離散系統(tǒng)理論
采樣與保持
z變換理論(數(shù)學(xué)工具)脈沖傳遞函數(shù)2/1/20238自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)3.采樣控制系統(tǒng)
其特征是系統(tǒng)中有一處或多處采樣開關(guān),如下圖所示。采樣開關(guān)后的信號(hào)就不是連續(xù)的模擬信號(hào),而是在時(shí)間上離散的脈沖序列,稱為離散信號(hào)。(e是連續(xù)的誤差信號(hào),經(jīng)采樣開關(guān)后,變成一組脈沖序列e*,脈沖控制器對(duì)e*進(jìn)行某種運(yùn)算,產(chǎn)生控制信號(hào)脈沖序列,保持器將采樣信號(hào)變成模擬信號(hào),作用于被控對(duì)象。)采樣的方式是多樣的,例如周期采樣、多速率采樣、隨機(jī)采樣等,本章只討論周期采樣。
圖7-1采樣控制系統(tǒng)2/1/20239自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)4.數(shù)字控制系統(tǒng)
以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。采樣開關(guān)的功能是通過計(jì)算機(jī)程序來實(shí)現(xiàn)的。模擬信號(hào)經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換后,不僅在時(shí)間上離散,在幅值上也是離散的,稱為數(shù)字信號(hào)。
圖7-2數(shù)字控制系統(tǒng)2/1/202310自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)2/1/202311自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.2信號(hào)的采樣與保持7.2.1采樣過程把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器,又叫采樣開關(guān)。采樣過程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)S
來表示,如下圖所示。采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次,閉合的持續(xù)時(shí)間為τ。2/1/202312自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)理想采樣器:采樣開關(guān)的閉合時(shí)間τ=0。物理意義:可以看成是單位理想脈沖串T(t)被輸入信號(hào)e(t)進(jìn)行調(diào)制的過程,如圖所示。圖(d)中,e(t)為調(diào)制信號(hào),T(t)為載波信號(hào),e*(t)為理想輸出脈沖序列(調(diào)制波)。圖7-4理想采樣過程2/1/202313自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)采樣開關(guān)的周期性動(dòng)作相當(dāng)于產(chǎn)生一串理想脈沖序列(圖b)輸入模擬信號(hào)經(jīng)過理想采樣器的過程,相當(dāng)于e(t)調(diào)制在載波T(t)上的結(jié)果(圖c)因?yàn)橹辉诓蓸铀查gt=nT
才有意義,故上式可寫成2/1/202314自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.2.2保持器連續(xù)信號(hào)經(jīng)過采樣器后轉(zhuǎn)換成離散信號(hào),經(jīng)由脈沖控制器處理后仍然是離散信號(hào),而采樣控制系統(tǒng)的連續(xù)部分只能接收連續(xù)信號(hào),因此需要保持器來將離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。最簡(jiǎn)單同時(shí)也是工程上應(yīng)用最廣的保持器是零階保持器,這是一種采用恒值外推規(guī)律的保持器。它把前一采樣時(shí)刻的值不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻,其輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的關(guān)系如下圖所示。
圖7-5零階保持器的輸入和輸出信號(hào)2/1/202315自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如下圖所示,可表示為
上式的拉氏變換式為圖7-6零階保持器的單位脈沖響應(yīng)2/1/202316自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)令上式中的s=j(luò)ω
,可求得零階保持器的頻率特性
2/1/202317自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)零階保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=32/1/202318自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)零階保持器的幾點(diǎn)說明:幅值隨角頻率ω
的增大而衰減,具有明顯的低通特性除了主頻譜外,還存在一些高頻分量產(chǎn)生相角滯后,使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差輸出信號(hào)為階梯信號(hào),產(chǎn)生半周期的時(shí)間滯后輸出信號(hào)為階梯信號(hào)同時(shí)增加系統(tǒng)輸出紋波2/1/202319自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)問題的提出連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)過采樣后,只能給出采樣點(diǎn)上的數(shù)值,不能知道各采樣時(shí)刻之間的數(shù)值。從時(shí)域上看,采樣過程損失了e(t)所含的信息。采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息,怎樣才能從采樣信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號(hào),使采樣信號(hào)e*(t)反映e(t)的變化規(guī)律呢?7.2.3香農(nóng)采樣定理
(samplingtheorem,C.E.Shannon,1948)
--設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)必須嚴(yán)格遵守的準(zhǔn)則(a)連續(xù)信號(hào)te(t)(b)離散信號(hào)te(t)2/1/202320自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)信號(hào)頻譜:連續(xù)信號(hào):?jiǎn)我活l譜,ωm為頻譜中的最大角頻率采樣信號(hào):以采樣角頻率s為周期的無窮多個(gè)頻譜之和連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)傅氏變換獲得單一有限帶寬的連續(xù)頻譜|E(jw)|定性分析:如果連續(xù)信號(hào)e(t)變化緩慢(最大角頻率max較低),而采樣角頻率s比較高(即采樣周期T=2/s較?。?,則e*(t)基本上能反映e(t)的變化規(guī)律。圖7-8連續(xù)信號(hào)頻譜圖7-9采樣信號(hào)頻譜連續(xù)信號(hào)2/1/202321自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)采樣信號(hào)的頻譜δT(t)=ωs=2π/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為:δT(t)=連續(xù)信號(hào)的頻譜為采樣信號(hào)的頻譜為ωm-ωm0ωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωm-ωm0ωs-ωsωm-ωm0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωs
=2ωm濾波器的寬度滿足什么條件時(shí)能從得到??!ωs
≥2ωm或:T≤π/ωm2/1/202322自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)(香農(nóng))采樣定理:
如果被采樣的連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜為有限寬,且頻譜的最大寬度為ωm
,又如果采樣角頻率滿足ωs
≧2ωm
,并且采樣后再加理想濾波器,則連續(xù)信號(hào)可以不失真地恢復(fù)出來。此時(shí),采樣頻譜各分量無相互交疊,采樣信號(hào)無畸變,可通過理想濾波器(保持器)復(fù)現(xiàn)原頻譜。理想的低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的,在實(shí)際應(yīng)用中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器。圖7-10理想濾波器的頻率特性2/1/202323自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)如果不能滿足上述采樣條件,采樣后信號(hào)的頻率就會(huì)重疊,即高于采樣頻率ωs一半的頻率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號(hào)。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊,而重建出來的信號(hào)稱為原信號(hào)的混疊替身,因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)有同樣的樣本值。2/1/202324自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.3z變換理論7.3.1z變換的定義連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為設(shè)
f(t)的采樣信號(hào)為
f*(t)對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換,得2/1/202325自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)引入新的變量z=eTs采樣信號(hào)
f*(t)
的
z
變換定義為:z
變換的實(shí)質(zhì)為采樣函數(shù)的拉氏變換Z[f(t)]是為了書寫方便,并不意味著是連續(xù)函數(shù)f(t)的z變換F(z)和f*(t)
是一一對(duì)應(yīng)的
2/1/202326自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.3.2z變換的性質(zhì)其中a1和a2為任意實(shí)數(shù)。1.線性定理若f1*
(t)和f2*(t)的z變換分別為F1(z)和F2(z),則2/1/202327自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)證明:2/1/202328自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)2.實(shí)數(shù)位移定理若f*(t)的z變換為F(z),則2/1/202329自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)證明:2/1/202330自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)實(shí)數(shù)位移定理又稱平移定理。實(shí)數(shù)位移的含義是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干個(gè)采樣周期,其中向左平移稱為超前,向右平移稱為遲后(即時(shí)延、滯后)。第一個(gè)和第二個(gè)式子分別稱為遲后定理和超前定理算子z有明確的物理意義:z-k
代表時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié),它將采樣信號(hào)滯后k個(gè)周期zk
代表時(shí)域中的超前環(huán)節(jié),它將采樣信號(hào)超前k個(gè)周期zk
僅用于運(yùn)算,在物理系統(tǒng)中并不存在。2/1/202331自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)3.復(fù)位移定理已知f(kT)的z變換函數(shù)為
F(z),則證明:2/1/202332自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)4.初值定理設(shè)
存在,則
當(dāng)z→∞
時(shí),對(duì)上式取極限后,右邊除第一項(xiàng)外,其余各項(xiàng)均趨于0。證明:2/1/202333自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)5.終值定理如果f(t)的z變換為F(z),f(nT)(n=0,1,2…)為有限值,且極限存在,則證明:由實(shí)數(shù)移位定理和上面兩式相減并取極限z→1,得2/1/202334自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)6.卷積定理如果,則證明:令k-n=j,則k=0時(shí),j=-n
2/1/202335自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.z域尺度定理若已知f(kT)的z變換函數(shù)為F(z),則對(duì)任意常數(shù)a證明:2/1/202336自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.3.3
z變換方法1.級(jí)數(shù)求和法只要知道連續(xù)函數(shù)f(t)在各個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)值,即可按照z變換的定義求得其z變換。2/1/202337自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)例7-1求單位脈沖信號(hào)的z變換
解:設(shè)f(t)=δ(t),則
由于
f*(t)在
t=0時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度為1,其余時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度均為零,所以有2/1/202338自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)例7-2求單位階躍信號(hào)1(t)的z變換
解:
設(shè)f(t)=1(t),則
該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楱Oz∣>1,在該收斂域內(nèi),上式(等比數(shù)列)可以寫成如下閉合形式2/1/202339自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)例7-3
求單位斜坡信號(hào)的z變換
解:設(shè)f(t)=t,(t>0),則上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù),并將和式與導(dǎo)數(shù)交換,得上式兩邊同乘(-Tz),便得單位斜坡信號(hào)的z變換2/1/202340自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)例7-4求指數(shù)函數(shù)的z變換解:設(shè)f(t)=e-at,則2/1/202341自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)2.部分分式法先求出已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s),然后將其展開成部分分式之和的形式,(查表)求出相應(yīng)每一部分的z變換再疊加即可。2/1/202342自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)例7-5:設(shè),求f*(t)的z變換。解:上式兩邊求Laplace反變換,得2/1/202343自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)例7-6:求的z變換。解:2/1/202344自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)7.3.4
z反變換
z反變換是z變換的逆運(yùn)算。其目的是由象函數(shù)f(z)求出所對(duì)應(yīng)的采樣脈沖序列f*(T)(或f(nT)),記作z反變換只能給出采樣信號(hào)f*(t),而不能給出連續(xù)信號(hào)
f(t)。
注意2/1/202345自動(dòng)控制原理》
第七章離散系統(tǒng)1.
部分分式法若象函數(shù)F(z)是復(fù)變量z的有理分式,且所有的極點(diǎn),(i=1,2,…,m)互異,則可展成如下形式:上式兩邊同乘z,再取z反變換得2/1/20234
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