第1講 組合概率

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗河南師范大學(xué)概率教研室

概率模型概率模型變量是隨機(jī)變量

變量間關(guān)系錯綜復(fù)雜現(xiàn)實世界充滿不確定性有諸多不確定因素

不存在確定的函數(shù)關(guān)系往往借助于模擬仿真方法隨機(jī)現(xiàn)象的模擬一.隨機(jī)變量的模擬掌握成功模擬具有特定分布的隨機(jī)變量的方法,是模擬隨機(jī)現(xiàn)象的重要方面.例1老鼠在哪個房間？

在任一時刻觀察老鼠在有3個房間的迷宮內(nèi)的情況,老鼠所在房號X

是一個隨機(jī)變量,模擬X的分布律.例11.1.doc兩種模擬方法

1．利用理論分布，基于對問題的實際、合理的假設(shè),選擇適當(dāng)?shù)睦碚摲植寄M隨機(jī)變量.2.基于實際數(shù)據(jù)的頻率做近似模擬.方法評價缺點：限于十分簡單的情況.問題越復(fù)雜,數(shù)學(xué)處理變得越困難,并且丟失了試驗數(shù)據(jù)的信息.*方法2

優(yōu)點：完全與觀察數(shù)據(jù)相符,并且隨實際問題的復(fù)雜程度增大不會產(chǎn)生更大的困難,僅增大工作量而已.應(yīng)用中常將兩種模擬方法結(jié)合使用

*方法1

優(yōu)點：可以計算各種可能結(jié)果的概率,便于進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和處理.缺點：不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,不得不依賴于模擬得到的統(tǒng)計結(jié)果.二.利用理論分布重點闡述怎樣根據(jù)變量特點合理選擇理論分布來模擬隨機(jī)變量.

1．均勻分布需掌握幾種重要的概率理論分布均勻分布隨機(jī)變量X的取值具有“均勻性”.

均勻性特點均勻分布隨機(jī)變量X

落在(a,b)內(nèi)任意子區(qū)間的概率只與子區(qū)間的長度有關(guān),而與子區(qū)間的位置無關(guān).

可以假設(shè)具有這種性質(zhì)的隨機(jī)變量服從均勻分布

例2穿越公路模型

穿越公路者在60秒的期間內(nèi)的每一時刻都可能到達(dá)公路旁,用[0,60](單位:秒)上的均勻分布隨機(jī)變量模擬穿越公路者到達(dá)路旁的時刻是合理的.

渡口模型中假設(shè)車身長度服從均勻分布,處理起來雖然較簡單但卻顯然不合理.

2．正態(tài)分布

正態(tài)分布隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布由兩個參數(shù)μ和σ唯一確定：μ0xf(x)f(x)0xμσ小σ大位置參數(shù)分布特點：有3σ—原則：實用判別方法:較多獨立的、微小變量疊加而成的隨機(jī)變量,可以用正態(tài)分布來模擬.判別方法1.2.doc原理分析例*考試成績服從正態(tài)分布；*單峰、對稱；*數(shù)學(xué)期望μ確定概率曲線的中心位置；*標(biāo)準(zhǔn)差σ確定概率曲線的“寬窄”程度.

*測試誤差服從正態(tài)分布；*人的身高服從正態(tài)分布；…

3．指數(shù)分布

指數(shù)分布隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為０f(x)x壽命T則服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.

上述假設(shè)從技術(shù)上講就是電子元件未出現(xiàn)“老化”現(xiàn)象.對一些壽命長的元件,在穩(wěn)定運行的初期階段老化很輕微,這種假設(shè)是合理的.＊指數(shù)分布比較確切地描述了電子元件在穩(wěn)定階段的壽命分布情況.指數(shù)分布常用來描述“壽命”問題.設(shè)電子元件的壽命為T，假定元件在t時刻尚正常工作的條件下,其瞬時失效率總保持為常數(shù)λ,即有指數(shù)分布具有無后效性(馬氏性):對任意的實數(shù)s>0，t>0，均有永遠(yuǎn)年輕性

人類在50歲或60歲以前的壽命分布接近指數(shù)分布.

若瞬時失效率是時間的函數(shù)λ(t),試確定壽命Ｔ的分布.(參見電子科大教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》p76).思考

4．泊松分布和泊松流離散型隨機(jī)變量X的分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布.

事件流：隨時間的推移，逐個出現(xiàn)的隨機(jī)事件列A1，A2，…An，…t0A1A2A3An例3在渡口模型中，從渡船靠岸開始計時，將第i輛汽車的到達(dá)看成隨機(jī)事件Ai發(fā)生，隨汽車連續(xù)不斷地開到碼頭，就形成了一個事件流

A1，A2，…，Ai，…；*工作臺上工件的逐件到達(dá)；*機(jī)場跑道中飛機(jī)的逐架到達(dá)；*港口船舶的逐艘到達(dá)；*電話交換臺電話的到達(dá)；*餐廳顧客的到達(dá);*工廠中機(jī)器故障的發(fā)生,…記N(t)為[0,t]時間內(nèi)各事件發(fā)生的總次數(shù)0t)N(t)=3)N(t)=7N(t)是隨機(jī)變量隨機(jī)變量族｛N(t),t＞0｝是一個隨機(jī)過程(計數(shù)過程).

將工件、飛機(jī)、船只、電話、就餐的顧客及破損的機(jī)器等統(tǒng)稱為顧客.

稱{N(t),t＞0｝為顧客的到達(dá)過程,通常關(guān)心對每一時刻

t，在[0，t]時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)

N(t)的分布；2)事件流A1，A2，…，Ai，…中兩個事件發(fā)生的間隔時間具有什么分布.

形成泊1.2.doc松流的條件重要定理：1.如果顧客的到達(dá)過程是一個泊松過程，則在[0,t]期間內(nèi)有n個顧客到達(dá)的概率為并且，顧客相繼到達(dá)的時間間隔

T1，T2，…，Ti，…相互獨立,都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.2.若顧客流到達(dá)的間隔時間是相互獨立的隨機(jī)變量序列：T1,T2,…,Ti，…且Ti，i=1,2,…均服從參數(shù)為λ指數(shù)分布,則在［0，t］內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)｛N(t)，t>0｝是一個泊松過程.

例4.穿越公路模型用均值為1/q的指數(shù)分布隨機(jī)變量模擬兩車經(jīng)過同一地點的時間間隔，相當(dāng)于假設(shè)通過該點的汽車流構(gòu)成了一個泊松流，[0,t]時間內(nèi)到達(dá)的汽車數(shù)目N(t)服從泊松分布.隨機(jī)變量X～B(n,p)，其分布律為隨機(jī)變量X是

n

次獨立貝努里試驗中,事件A發(fā)生的總次數(shù),其中p=P(A).

5．二項分布三.利用概率模型重點闡述利用概率的特點計算某些特定概率.

1．古典概型需掌握幾種重要的概率模型.具有如下特點的試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判?(1)試驗的樣本空間只包含有限個樣本點;(2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.*中學(xué)學(xué)過的利用排列組合計算的概率.

2．幾何概型

具有如下特點的試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?(1)試驗的樣本空間有無限個樣本點;(2)試驗中落入A中的可能性與A的面積成正比,而與A的位置和形狀無關(guān).例5甲、乙兩人約定在6時到7時會面,并約定先到者應(yīng)等候另一個人20分鐘,過時即可離去,求兩人能夠會面的概率.利用概率模型的例題一.報童的訣竅報童每天清晨從報社購進(jìn)報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設(shè)報紙每份的購進(jìn)價為b，零售價為a，退回價為c，假設(shè)a>b>c。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進(jìn)報紙?zhí)?，賣不完會賠錢；購進(jìn)太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進(jìn)報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。問題報童售報：a(零售價)

>b(購進(jìn)價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分析購進(jìn)太多賣不完退回賠錢購進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個合適的購進(jìn)量等于每天收入的期望建模

設(shè)每天購進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢b-c~退回一份賠的錢0rp即購進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。練習(xí):利用上述模型計算，若每份報紙的購進(jìn)價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？問題提出

在足球比賽中,球員在對方球門前不同的的位置起腳射門對球門的威脅是不一樣的.在正前方射門的威脅大于兩側(cè),近距離對球門的威脅大于遠(yuǎn)射.已知標(biāo)準(zhǔn)球場長104米,寬為69米,球門高2.44米,寬為7.32米.對于職業(yè)球員假設(shè)基本素質(zhì)差別不大.根據(jù)資料顯示,射門時球的速度在10米/秒左右.結(jié)合球場和足球賽是實際研究問題:二.足球門的危險區(qū)域問題

(1)針對球員在不同位置射門對球門的威脅度進(jìn)行研究,繪制出球門的危險區(qū)域;(2)在有一名守門員防守的情況下,對球員射門的威脅度和危險區(qū)域作近一步的研究.問題分析

(1)球員無論從哪個地方射門都有進(jìn)與不進(jìn)兩種可能,是隨機(jī)事件;(2)影響球員射門的命中率的因素主要有球員的基本素質(zhì)和射門時的位置.我們主要研究同質(zhì)球員在球場上任意一點射門時對球門的危險度.

(3)球員在球門前某處向球門內(nèi)某目標(biāo)點射門時,球員到目標(biāo)點的距離決定了到達(dá)目標(biāo)點的概率.當(dāng)位置固定時,球飛向球門所在的平面上的落點將呈現(xiàn)固定的概率分布(二維正態(tài)分布);(4)球員從球場上某點射門時,必定在球門平面上確定一個目標(biāo)點,射門后球依據(jù)該概率分布落入球門所在平面.將球門視為平面上的一個區(qū)域,在該區(qū)域內(nèi)對該分布積分可得到該次射門的命中率.由于射門的目標(biāo)點是任意的,因此遍歷球門區(qū)域內(nèi)的所有點,對命中率作積分,將其定義為球場上某點對球門的威脅度,根據(jù)威脅度的大小來確定球門的危險區(qū)域.1.模型假設(shè)(1)在理想狀態(tài)下,認(rèn)為球員是同質(zhì)的,即基本素質(zhì)相同;(2)不考慮球員射門后空氣、地面對球速的影響.設(shè)球速為10米/秒;(3)球員射門只在前半場進(jìn)行,為此假設(shè)前半場為有效射門區(qū)域;(4)只考慮標(biāo)準(zhǔn)球場:104X69(m)和球門7.32X2.44(m).2.符號說明

----半場上的一個球門所在的地面以上的半平面;A(x,y)-----球場上的點,(x,y)為其坐標(biāo);B(x,z)-----球門內(nèi)的點,(x,z)為其坐標(biāo);P(x,y)--從球場上A點對準(zhǔn)球門內(nèi)B點射門時,命中球門的概率;D(x,y)-----球場(x,y)上點對球門的威脅度;k-----球員的基本素質(zhì);d-----球場上A點到球門內(nèi)B的直線距離;-----直線AB在地面上的投影與球門平面的夾角,為銳角.模型假設(shè)和符號說明:首先建立空間坐標(biāo)系,一球門的底邊中點為原點o,地面為xoy面,球門所在的平面為xoz面.問題(1):根據(jù)前面對問題的分析,假設(shè)素質(zhì)為k的球員從A()點向距離為d的球門內(nèi)目標(biāo)點B()射門時,球在目標(biāo)平面上的落點為二維正態(tài)分布,且隨機(jī)變量x,z是相互獨立的.其密度函數(shù)為其中方差與球員素質(zhì)k成反比,與射門點A和目標(biāo)點B之間的距離d成正比,偏角越大方差越小,當(dāng)夾角為90度時(即正對球門中心),方差僅與k、d有關(guān).由此確定的表達(dá)式為模型建立與求解:在密度函數(shù)中,關(guān)于變量x,z是對稱的,但實際中球只能落在地面上,即,為此令則取兩者的比值即為這次射門命中球門的概率對命中球門的概率在球門區(qū)域D內(nèi)做積分,定義為球場上某點A對球門的威脅度,即綜合以上分析,對球場上任意一點A(x,y)對球門的威脅度為其中要求解該問題較困難,只能采用數(shù)值積分的方法求解.首先確定反應(yīng)球員基本素質(zhì)的參數(shù)k.根據(jù)一般職業(yè)球員的情況,認(rèn)為球員在球門的正前方即夾角為0,距離球門10米處向球門勁射,標(biāo)準(zhǔn)差為1,由標(biāo)準(zhǔn)差的公式的k=10.問題(2):假設(shè)守門員站在射門在垂直射門線平面上的投影區(qū)域中心位置是最佳防守位置.球員在球場上某點對球門內(nèi)任意一點B(x,z)起腳射門,經(jīng)過時間t到達(dá)球門平面,球到達(dá)該點時,守門員對球都有一個撲獲概率,下面分析這個函數(shù)的形式.

當(dāng)t一定時,應(yīng)該是一個以守門員為中心向周圍輻射衰減的二維函數(shù),當(dāng)t減小時,曲面的峰度應(yīng)增高,而面積減小,與二維正態(tài)密度函數(shù)類似,因此采用該函數(shù)形式表示撲獲函數(shù),參數(shù)t表示從起腳射出到球到達(dá)球門的時間,即守門員的反應(yīng)時間,該時間越長,曲面越光滑.因此其中c為守門員的反應(yīng)系數(shù),根據(jù)“紙條實驗”取c=1/7.于是可得守門員防