第11壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題

1工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)返回總目錄第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題

2與剛體平衡類似，彈性體平衡也存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問(wèn)題。第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題細(xì)長(zhǎng)桿件承受軸向壓縮載荷作用時(shí)，將會(huì)由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效(failurebyloststability)，又稱為屈曲失效(failurebybuckling)。3壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題4壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題5桁架中的壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題6液壓缸頂桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題7液壓缸頂桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題8火箭發(fā)射架中的壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題9高壓輸電線路保持相間距離的受壓構(gòu)件第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題10壓桿穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題11工程構(gòu)件穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題12腳手架中的壓桿第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題13壓桿穩(wěn)定的基本概念不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

結(jié)論與討論臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回總目錄14壓桿穩(wěn)定的基本概念第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回15

壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界點(diǎn)平衡的穩(wěn)定性16Δ

壓桿從直線平衡構(gòu)形到彎曲平衡構(gòu)形的轉(zhuǎn)變過(guò)程，稱為“屈曲”。由于屈曲，壓桿產(chǎn)生側(cè)向位移，稱為屈曲位移。FPFPFP

壓桿的平衡構(gòu)形、平衡路徑及其分叉

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念17FPΔOFPFP>FPcrFPcrF′PFP<FPcrΔFP

分叉點(diǎn)(臨界點(diǎn))FPFPFPFP平衡路徑第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念18分叉點(diǎn)FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑

平衡路徑的分叉點(diǎn)：平衡路徑開(kāi)始出現(xiàn)分叉的那一點(diǎn)。

分叉載荷（臨界載荷）：分叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)的載荷，用FPcr表示。第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念19平衡構(gòu)形——壓桿的兩種平衡構(gòu)形

(equilibriumconfiguration)FP<FPcr:

直線平衡構(gòu)形FPFP>FPcr:彎曲平衡構(gòu)形

(在擾動(dòng)作用下)FP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念20FP

FP<FPcr:在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來(lái)的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念21FP

FP>FPcr:在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來(lái)的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP

判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念22壓桿穩(wěn)定的概念 前面各章節(jié)討論了構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。 本章討論受壓桿件的穩(wěn)定性問(wèn)題。穩(wěn)定性問(wèn)題的例子平衡形式突然改變喪失穩(wěn)定性失穩(wěn)粗短壓桿FF細(xì)長(zhǎng)拉桿細(xì)長(zhǎng)壓桿F23平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡壓桿的平衡 穩(wěn)定性當(dāng)F

Fcr

當(dāng)F

Fcr

FFF≥FcrF<Fcr24壓桿的平衡 穩(wěn)定性臨界壓力Fcr當(dāng)Ｆ

Ｆcr時(shí)，壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當(dāng)Ｆ

Ｆcr時(shí)，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的，受干擾后成為微彎平衡狀態(tài)。使直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)的最大壓力，也是在微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力。當(dāng)Ｆ

Ｆcr

當(dāng)Ｆ

Ｆcr

FFF<FcrF≥Fcr25其它結(jié)構(gòu)形式的穩(wěn)定性問(wèn)題例子Ｆ壓桿彎曲Ｆq薄壁筒受內(nèi)壓薄壁管受扭主壓應(yīng)力方向其它薄壁結(jié)構(gòu)在主壓應(yīng)力方向產(chǎn)生失穩(wěn),情況類似于細(xì)長(zhǎng)壓桿。由壓桿穩(wěn)定性概念和臨界壓力定義可知,臨界壓力是穩(wěn)定性計(jì)算的重要依據(jù),其值顯然與外力無(wú)關(guān),而與桿的長(zhǎng)度、截面大小和形狀及材料和約束有關(guān)。26

當(dāng)壓縮載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，壓桿都要由直線的平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形，這一過(guò)程稱為屈曲（buckling）或失穩(wěn)（loststability）。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，由于屈曲過(guò)程中出現(xiàn)平衡路徑的分叉，所以又稱為分叉屈曲（bifurcationbuckling）。

穩(wěn)定的平衡構(gòu)形與不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形之間的分界點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)（criticalpoint）。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿，因?yàn)閺呐R界點(diǎn)開(kāi)始，平衡路徑出現(xiàn)分叉，故又稱為分叉點(diǎn)。臨界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載荷稱為臨界載荷（criticalload）或分叉載荷（bifurcationload），用FP表示。

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定的基本概念27兩端鉸支壓桿的臨界載荷

歐拉公式第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回28第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

從平衡路徑可以看出，當(dāng)w00時(shí)FPFPcr。這表明，當(dāng)FP無(wú)限接近分叉載荷FPcr時(shí)，在直線平衡構(gòu)形附近無(wú)窮小的鄰域內(nèi)，存在微彎的平衡構(gòu)形。根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程，以及端部約束條件，即可確定臨界載荷。

分叉點(diǎn)FPΔOFPcr平衡路徑平衡路徑29假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題30M(x)=FPw(x)假設(shè)壓力略大于臨界力，在外界擾動(dòng)下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題31微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題32微分方程的解w=Asinkx+Bcoskx邊界條件w(0)=0,w(l)=0根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，上述方程中，常數(shù)A、B不全為零的條件是他們的系數(shù)行列式等于零：兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題33由此得到臨界載荷最小臨界載荷兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題34得到屈曲位移函數(shù)w=Asinkx+Bcoskx其中A為未定常數(shù)。這表明屈曲位移是不確定的量。這與開(kāi)始推導(dǎo)公式時(shí)假設(shè)壓桿處于任意微彎狀態(tài)是一致的。

兩端鉸支壓桿的臨界載荷歐拉公式

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題35Fy當(dāng)取n=1

時(shí)，由則，撓曲線方程為其中，A為桿中點(diǎn)的撓度。A的數(shù)值不確定。歐拉公式與精確解曲線精確解曲線理想受壓直桿 非理想受壓直桿時(shí)，F(xiàn)crF36兩端鉸支的臨界壓力歐拉公式的適用條件：(1)理想壓桿(2)線彈性范圍(3)I取Imin可以看出，臨界壓力與外力無(wú)關(guān)，與桿件本身截面慣性矩Ｉ有關(guān)（彎曲），而與桿件長(zhǎng)度的平方成反比。桿件在失穩(wěn)臨界時(shí)材料處于彈性范圍。要使桿件有足夠的穩(wěn)定性，在工作壓力Ｆ時(shí)，應(yīng)滿足：Ｆ≤Ｆcr37不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回38不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學(xué)平衡方法得到的平衡微分方程和邊界條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達(dá)式亦因此而異，但基本分析方法和分析過(guò)程卻是相同的。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，這些公式可以寫(xiě)成通用形式：這一表達(dá)式稱為歐拉公式。其中l(wèi)為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長(zhǎng)度，稱為有效長(zhǎng)度(effectivelength)；為反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長(zhǎng)度系數(shù)（coefficientof1ength），可由屈曲后的正弦半波長(zhǎng)度與兩端鉸支壓桿初始屈曲時(shí)的正弦半波長(zhǎng)度的比值確定。第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響39一端自由，一端固定

＝2.0兩端固定＝0.5一端鉸支，一端固定

＝0.7兩端鉸支

＝1.0不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題40

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時(shí)才是成立的。

不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題41表14.1

壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)

4歐拉公式的普遍形式l相當(dāng)長(zhǎng)度；長(zhǎng)度系數(shù)。42例1 已知:

兩端固支壓桿，E,

I，l。求：臨界壓力。解：lx考察微彎平衡狀態(tài)

x

處截面的彎矩

撓曲線近似微分方程兩端的水平約束力為零vyxFFMeMeFM43

撓曲線近似微分方程xwyxFFMeMe引入記號(hào)通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。44xwyxFFMeMe通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為:時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解又代入45通解為邊界條件為:時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解又代入代入代入通解46最小非零解為代入47例2由壓桿撓曲線的微分方程,導(dǎo)出一端固定、另一端鉸支壓桿的歐拉公式w’’=-——+——(l-x)FwQEIEIxFQylx48k2=——

FEIw’’+k2w=——(l-x)QEI通解加特解:w=Asinkx+Bcoskx+——(l-x)QF49邊界條件x=0時(shí),w=0,w’=0x=l時(shí),v=0得B+—l=0QFAk-—=0QFAsinkl+Bcoskl=0v=Asinkx+Bcoskx+——(l-x)QF50B+—l=0QFAk-—=0QFAsinkl+Bcoskl=0A,B,Q不能都為零，則其系數(shù)行列式必為零01lk0-1sinklcoskl0=051tgkl=kl最小非零解kl=4.49Fcr=———

20.19EIl2

———p2EI(0.7l)252例3材料及橫截面均相同，哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根最不容易失穩(wěn)。比較μL(a)5l;(b)4.9l;(c)4.5l;(d)4l;(d)最不易失穩(wěn)53臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回54

臨界應(yīng)力與長(zhǎng)細(xì)比的概念三類不同壓桿的不同失效形式三類壓桿的臨界應(yīng)力公式第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖與P、s值的確定55

前面已經(jīng)提到歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在分叉載荷即臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時(shí)，其橫截面上的正應(yīng)力小于或等于材料的比例極限，即

其中σcr稱為臨界應(yīng)力(criticalstress)；

σp為材料的比例極限。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

臨界應(yīng)力與長(zhǎng)細(xì)比的概念第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題56

長(zhǎng)細(xì)比是綜合反映壓桿長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對(duì)壓桿分叉載荷影響的量，用表示，由下式確定：

其中，I為壓桿橫截面的慣性半徑，由下式確定：

從上述二式可以看出，長(zhǎng)細(xì)比反映了壓桿長(zhǎng)度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對(duì)壓桿承載能力的綜合影響。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題57用長(zhǎng)細(xì)比表示的細(xì)長(zhǎng)桿臨界應(yīng)力公式臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題58

歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式由臨界壓力概念和定義，它是保持軸向平衡方式的最大軸向壓力。所以此時(shí)仍處于軸向變形情況，其軸向應(yīng)力為：σcr稱為臨界應(yīng)力，λ－柔度臨界應(yīng)力與臨界壓力的歐拉公式是完全等效的。用臨界應(yīng)力表達(dá)更簡(jiǎn)單方便591臨界應(yīng)力

歐拉公式

柔度

(長(zhǎng)細(xì)比)柔度是壓桿穩(wěn)定問(wèn)題中的一個(gè)重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。i

慣性半徑柔度的物理意義更明確，臨界應(yīng)力只用一個(gè)參數(shù)表達(dá)，桿件的自身柔度決定了其臨界應(yīng)力。602歐拉公式的適用范圍歐拉公式成立的條件為：可以看出：P

只與材料的性質(zhì)有關(guān),滿足上式的壓桿稱為大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)3直線經(jīng)驗(yàn)公式歐拉公式成立條件等效為:λ≥λP當(dāng)不滿足大柔度桿條件時(shí),材料處于非線彈性,歐拉公式不成立,采用經(jīng)驗(yàn)公式:614壓桿分類不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)

P

的壓桿(2)中柔度桿

P

S

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

S

的壓桿直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為滿足強(qiáng)度條件應(yīng)有:所以:經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍是:滿足該條件的稱為中柔度桿62大柔度桿小柔度桿中柔度桿5臨界應(yīng)力總圖S636拋物線經(jīng)驗(yàn)公式拋物線經(jīng)驗(yàn)公式為式中，a1

,b1

是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

說(shuō)明若壓桿的局部有截面被削弱的情況，則：進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)，可忽略若壓桿的局部削 弱，仍用原來(lái)截面的面積和慣性矩計(jì)算臨界 應(yīng)力；進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)按削弱后的面積計(jì)算。64例題

1

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件各不相同。試；

2.已知：d=160mm，

E=206GPa,

求：兩根桿的臨界載荷。

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大？

臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題65

1.分析兩根壓桿的臨界載荷

從臨界應(yīng)力總圖可以看出，對(duì)于材料相同的壓桿，長(zhǎng)細(xì)比越大，臨界載荷越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計(jì)算壓桿的長(zhǎng)細(xì)比，長(zhǎng)細(xì)比小者，臨界載荷大。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題662.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷首先計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細(xì)長(zhǎng)桿，都可以采用歐拉公式。臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題672.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa,確定兩根桿的臨界載荷臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖對(duì)于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長(zhǎng)桿，都可以采用歐拉公式。

對(duì)于兩端鉸支的壓桿，就有第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題682.已知：

d=160mm，

Q235鋼，

E=206GPa，確定兩根桿的臨界載荷臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

對(duì)于Q235鋼，p=101，二者都屬于細(xì)長(zhǎng)桿，都可以采用歐拉公式。

對(duì)于兩端固定的壓桿，就有第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題69工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)返回總目錄第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題

70

需要注意的是,臨界載荷公式只有在壓桿的微彎曲狀態(tài)下仍然處于彈性狀態(tài)時(shí)才是成立的。

不同剛性支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題71表14.1

壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)

4歐拉公式的普遍形式l相當(dāng)長(zhǎng)度；長(zhǎng)度系數(shù)。72

歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式由臨界壓力概念和定義，它是保持軸向平衡方式的最大軸向壓力。所以此時(shí)仍處于軸向變形情況，其軸向應(yīng)力為：σcr稱為臨界應(yīng)力，λ－柔度臨界應(yīng)力與臨界壓力的歐拉公式是完全等效的。用臨界應(yīng)力表達(dá)更簡(jiǎn)單方便731臨界應(yīng)力

歐拉公式

柔度

(長(zhǎng)細(xì)比)柔度是壓桿穩(wěn)定問(wèn)題中的一個(gè)重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。i

慣性半徑柔度的物理意義更明確，臨界應(yīng)力只用一個(gè)參數(shù)表達(dá)，桿件的自身柔度決定了其臨界應(yīng)力。742歐拉公式的適用范圍歐拉公式成立的條件為：可以看出：P

只與材料的性質(zhì)有關(guān),滿足上式的壓桿稱為大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)3直線經(jīng)驗(yàn)公式歐拉公式成立條件等效為:λ≥λP當(dāng)不滿足大柔度桿條件時(shí),材料處于非線彈性,歐拉公式不成立,采用經(jīng)驗(yàn)公式:754壓桿分類不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)

P

的壓桿(2)中柔度桿

P

S

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

S

的壓桿直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為滿足強(qiáng)度條件應(yīng)有:所以:經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍是:滿足該條件的稱為中柔度桿76大柔度桿小柔度桿中柔度桿5臨界應(yīng)力總圖S77壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回78

本章前面幾節(jié)所討論的壓桿，都是理想化的，即壓桿必須是直的，沒(méi)有任何初始曲率；載荷作用線沿著壓桿的中心線；由此導(dǎo)出的歐拉臨界載荷公式只適用于應(yīng)力不超過(guò)比例極限的情形。

實(shí)際工程中的壓桿大都不滿足上述理想化的要求。因此，實(shí)際壓桿的設(shè)計(jì)都是以經(jīng)驗(yàn)公式為依據(jù)的，這些經(jīng)驗(yàn)公式是以大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果為基礎(chǔ)建立起來(lái)的。

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

79

穩(wěn)定性設(shè)計(jì)內(nèi)容

安全因數(shù)法與穩(wěn)定性安全條件

穩(wěn)定性設(shè)計(jì)過(guò)程壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題80

壓桿的穩(wěn)定校核工作安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定校核滿足穩(wěn)定性要求時(shí)，應(yīng)有:81壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的解題步驟1穩(wěn)定校核問(wèn)題

1) 計(jì)算

P

，S，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度，中柔度， 小柔度)；

3) 根據(jù)桿的類型求出cr和Fcr; 4) 計(jì)算桿所受到的實(shí)際壓力F；

5) 校核n=Fcr/F

nst

是否成立。2確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問(wèn)題；

4) FFcr/nst

。新課822確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問(wèn)題；

4) F

Fcr/nst

。

3) 進(jìn)一步求出直徑d(若為圓截面桿)

; 4) 計(jì)算

P

和；求出Fcr：

5) 檢驗(yàn)

P

是否成立。若成立，則結(jié)束;I3截面設(shè)計(jì)問(wèn)題

1) 計(jì)算實(shí)際壓力F；

2)由于截面末知,無(wú)法計(jì)算柔度,可先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,即:Fcr=

nstF；83

3) 先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進(jìn)一步求出直徑d(若為圓截面桿)

; 4) 計(jì)算

P

和；

5) 檢驗(yàn)

P

是否成立。若成立，則結(jié)束;

6)若

P

不成立，則設(shè)為中柔度桿，按經(jīng) 驗(yàn)公式求出

; 8) 計(jì)算S；

9) 檢驗(yàn)

S是否成立。

10)若

S成立，則由求出慣性半徑i,

再求出直徑d(若為圓截面桿)，結(jié)束。84例題

2已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8

校核:穩(wěn)定性是否安全？正視圖俯視圖壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題85解：壓桿在正視圖平面內(nèi)，兩端約束為鉸支,屈曲時(shí)橫截面將繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)：y=yl/iy,Iz=bh3/12Iy=hb3/12z=132.6y=99.48z=zl/iz,

壓桿在俯視圖平面內(nèi)，兩端約束為固定端,屈曲時(shí)橫截面將繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)：因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題86工作安全因數(shù)為Iz=bh3/12z=132.6z=zl/iz,因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題87nw>[n]st=1.8

因此，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。工作安全因數(shù)為壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題88壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

已知：在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為

d＝20mm，二者材料均為

Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知FP＝25kN，l1＝1.25m，l2＝0.55m，s＝235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)ns＝1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)[n]st＝1.8。例題

3

校核:此結(jié)構(gòu)是否安全？

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題89壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問(wèn)題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問(wèn)題。

1.大梁AB的強(qiáng)度校核

大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的彎矩和軸力分別為

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題90壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：1.大梁AB的強(qiáng)度校核由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為

Wz=102cm3=102103mm3；A＝21.5cm2＝21.5102mm2

由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題91壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：1.大梁AB的強(qiáng)度校核

由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題92壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：1.大梁AB的強(qiáng)度校核由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力Q235鋼的許用應(yīng)力

max略大于[]，但（max一[]）100％/[]＝0.7％＜5％，在工程上仍認(rèn)為是安全的。

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題93壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力

因?yàn)槭菆A截面桿,故慣性半徑

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題94壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，＝1.0，所以

這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題95壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題96壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。于是，壓桿的工作安全因數(shù)

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題97壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的安全因數(shù)法

解：2.

校核壓桿CD的穩(wěn)定性

這一結(jié)果說(shuō)明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。上述兩項(xiàng)計(jì)算結(jié)果表明，整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。

第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題98例3 已知:

活塞直徑D=65mm，p=求：活塞桿直徑d。解：這是截面設(shè)計(jì)問(wèn)題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp1.2MPa,l=1250mm,45鋼，sp=220MPa,

E=210GPa,

nst=6。活塞桿所受壓力用歐拉公式計(jì)算臨界壓力99解：這是截面設(shè)計(jì)問(wèn)題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp活塞桿所受壓力用歐拉公式計(jì)算臨界壓力活塞桿可簡(jiǎn)化為兩端鉸支桿取100活塞桿可簡(jiǎn)化為兩端鉸支桿取根據(jù)求出的d計(jì)算柔度計(jì)算

1

因?yàn)椋谴笕岫葪U。以上計(jì)算正確。101例１ＦＡＢＣ30°L圖示簡(jiǎn)單桁架Q235鋼材,許用應(yīng)力[σ]=160MPa,a=304MPa,b=1.12MPa,AC桿直徑d1=30mm,BA桿直徑d2=50mm,L=1m,彈性模量Ｅ＝200GPa,σP=200MPa,σs=235MPa穩(wěn)定安全系數(shù)nst=5試求許可載荷。解：由結(jié)點(diǎn)Ａ平衡得到：由ＡＣ桿的強(qiáng)度條件：102由ＡＣ桿的強(qiáng)度條件：ＦＡＢＣ30°LAC桿穩(wěn)定性計(jì)算：λS

≤λ≤λP中柔度桿許可載荷：[Ｆ]＝56.52KN103例2qL1L2hbdABC圖示結(jié)構(gòu),AB桿為矩形截,h=2b=10cm,許用應(yīng)力[σ]=160MPa,BC直徑d=30mm,材料為優(yōu)質(zhì)碳鋼,a=461MPa,b=2.568MPa,E=200GPa,σp=280MPa,σs=306MPa,L1=1m,L2=2m,nst=5,試求許可載荷q。解此例為梁、桿組合靜不定結(jié)構(gòu)FNFNL2L1q取相當(dāng)系統(tǒng)如圖示變形協(xié)調(diào)關(guān)系為：104qL1L2hbdABC(1)梁的強(qiáng)度計(jì)算，作彎矩圖0.5q0.28q(彎矩圖)(2)壓桿穩(wěn)定計(jì)算（為兩端鉸支）大柔度桿105qL1L2hbdABC大柔度桿由梁的強(qiáng)度條件得到的許可載荷為：所以許可載荷是：106

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題返回107

結(jié)論與討論穩(wěn)定設(shè)計(jì)的重要性影響壓桿承載能力的因素提高壓桿承載能力的主要途徑穩(wěn)定設(shè)計(jì)中需要注意的幾個(gè)重要問(wèn)題第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題

要正確應(yīng)用歐拉公式108

穩(wěn)定設(shè)計(jì)的重要性

由于受壓桿的失穩(wěn)而使整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌，不僅會(huì)造成物質(zhì)上的巨大損失，而且還危及人民的生命安全。在19世紀(jì)末，瑞士的一座鐵橋，當(dāng)一輛客車通過(guò)時(shí)，橋梁桁架中的壓桿失穩(wěn)，致使橋梁發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有200人遇難。加拿大和俄國(guó)的一些鐵路橋梁也曾經(jīng)由于壓桿失穩(wěn)而造成災(zāi)難性事故。

雖然科學(xué)家和工程師早就針對(duì)這類災(zāi)害進(jìn)行了大量的研究，采取了很多預(yù)防措施，但直到現(xiàn)在還不能完全制止這種災(zāi)害的發(fā)生。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題109

影響壓桿承載能力的因素

影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

一般情形下，控制構(gòu)件強(qiáng)度的因素主要是個(gè)別危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力、危險(xiǎn)面的幾何形狀和尺寸。

而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，這一過(guò)程不是某個(gè)截面或某幾個(gè)截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。

與梁的位移形成過(guò)程相似，壓桿的屈曲過(guò)程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結(jié)果。所以，個(gè)別截面的削弱對(duì)于壓桿臨界載荷的數(shù)值影響不大。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題110

兩端鉸支的壓桿，若在某一截面處開(kāi)一小孔，對(duì)強(qiáng)度和穩(wěn)定性將會(huì)產(chǎn)生什么影響？

影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題111影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題112

影響壓桿承載能力的因素

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷為

所以，影響承載能力的因素較多。臨界載荷不僅與材料的彈性模量E有關(guān)，而且與長(zhǎng)細(xì)比有關(guān)。長(zhǎng)細(xì)比包含了截面形狀、幾何尺寸以及約束條件等多種因素。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題113

影響壓桿承載能力的因素

對(duì)于中長(zhǎng)桿，臨界載荷為因而影響其承載能力的主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長(zhǎng)細(xì)比，當(dāng)然還有壓桿的橫截面積。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題114

影響壓桿承載能力的因素

對(duì)于粗短桿,因?yàn)椴话l(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服或破壞，故有

因而臨界載荷主要取決于材料的屈服強(qiáng)度和桿件的橫截面積。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題115

首先，只有細(xì)長(zhǎng)桿才能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算其臨界載荷。所謂細(xì)長(zhǎng)桿，不能只看壓桿的長(zhǎng)度，而要綜合考慮長(zhǎng)度、約束性質(zhì)以及截面的慣性矩。也就是要根據(jù)長(zhǎng)細(xì)比和材料的性能判斷是不是細(xì)長(zhǎng)桿。

其次，要正確確定橫截面的慣性矩。為此，必須判斷屈曲時(shí)．壓桿的橫截面將繞哪一根慣性主軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

要正確應(yīng)用歐拉公式

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題116I如何確定？

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題117兩端球鉸約束的壓桿，橫截面有如下不同形式，請(qǐng)分析確定臨界應(yīng)力時(shí)，慣性矩I應(yīng)該怎樣確定？

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題118

首先，要正確進(jìn)行受力分析，判斷哪些構(gòu)件受壓；對(duì)于受壓桿，特別是細(xì)長(zhǎng)壓桿，必然存在穩(wěn)定性問(wèn)題。

其次，要根據(jù)約束性質(zhì)，以及截面的幾何形狀和尺寸，確定壓桿的長(zhǎng)細(xì)比。

然后，要根據(jù)長(zhǎng)細(xì)比的大小，正確區(qū)分三類不同壓桿，分別采用相應(yīng)的公式計(jì)算其臨界載荷。

需要特別指出的是：屈曲失效與強(qiáng)度和剛度失效有著本質(zhì)上的差異，前者失效時(shí)的載荷遠(yuǎn)低于后者，而且往往是突發(fā)性的，因而常常造成災(zāi)難性后果。

穩(wěn)定設(shè)計(jì)中需要注意的幾個(gè)重要問(wèn)題

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題119

為了提高壓桿承載能力，防止屈曲失效，必須綜合考慮桿長(zhǎng)、支承性質(zhì)、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。

提高壓桿承載能力的主要途徑

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題120盡量減小壓桿長(zhǎng)度

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷與桿長(zhǎng)平方成反比。因此，減小壓桿長(zhǎng)度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小壓桿長(zhǎng)度、提高壓桿承載能力的目的。

圖示的兩種桁架，其中的①、④桿均為壓桿，但是左圖中①、④桿的長(zhǎng)度大于右圖中①、④桿的長(zhǎng)度。所以，右圖中桁架的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于左圖中的桁架。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題121增強(qiáng)支承的剛性

支承的剛性越大，壓桿長(zhǎng)度系數(shù)μ值越低，臨界載荷也就越大。例如，將兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將增加數(shù)倍。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題122合理選擇截面形狀

當(dāng)壓桿兩端在各個(gè)方向上都具有相同的約束條件時(shí)，壓桿將在剛度最小的主軸平面內(nèi)屈曲。這時(shí)如果只增加截面某個(gè)方向的慣性矩（例如，增加矩形截面高度），并不能提高壓桿的承載能力。最經(jīng)濟(jì)的辦法是將截面設(shè)計(jì)成中空的，并且盡量使截面在各個(gè)方向上的慣性矩都相等，也就是使Iy=Iz。從這一角度考慮，對(duì)于一定的橫截面積，正方形截面或圓截面比矩形截面好；空心正方形或圓環(huán)形截面比實(shí)心截面好。

當(dāng)壓桿端部在不同的方向上具有不同的約束條件時(shí)，應(yīng)采用最大與最小主慣性矩不等的截面（例如矩形截面），并使壓桿在慣性矩較小的方向具有較大剛性的約束，盡量使壓桿在兩個(gè)主慣性矩方向的長(zhǎng)細(xì)比相互接近。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題123合理選用材料

在其他條件均相同的情形下，選用彈性模量E數(shù)值大的材料，可以提高大長(zhǎng)細(xì)比壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強(qiáng)度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)鋼制壓桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對(duì)壓桿臨界載荷的影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費(fèi)。但是，對(duì)于粗短桿或中長(zhǎng)桿，其臨界載荷與材料的比例極限和屈服強(qiáng)度有關(guān)，這時(shí)選用高強(qiáng)度鋼會(huì)使臨界載荷有所提高。

結(jié)論與討論第11章壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題1241選擇合理的截面形狀截面的慣性矩

I越大，或慣性半徑i

越大,就越不容易失穩(wěn)，即穩(wěn)定性越好。所以，應(yīng)選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大125各縱向平面內(nèi)的約束情況相同時(shí)應(yīng)使對(duì)各形心軸的I

或i

接近相等。兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的約束情況不相同時(shí)應(yīng)使在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的柔度接近相等.所以，應(yīng)選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大126兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的約束情況不相同時(shí)應(yīng)使在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的柔度接近相等.1272改變壓桿的約束條件約束越強(qiáng)，越不容易失穩(wěn)128第12章A

動(dòng)載荷與疲勞強(qiáng)度概述(1)

返回總目錄工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)129第12章A動(dòng)載荷與疲勞強(qiáng)度概述(1)

本書(shū)前面幾章所討論的都是靜載荷作用下所產(chǎn)生的變形和應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為靜載應(yīng)力（staticalstresses），簡(jiǎn)稱靜應(yīng)力。靜應(yīng)力的特點(diǎn)：一是與加速度無(wú)關(guān)；二是不隨時(shí)間的改變而變化。

工程中一些高速旋轉(zhuǎn)或者以很高的加速度運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件，以及承受沖擊物作用的構(gòu)件，其上作用的載荷，稱為動(dòng)載荷(dynamicalload)。構(gòu)件上由于動(dòng)載荷引起的應(yīng)力，稱為動(dòng)應(yīng)