第11章(壓桿穩(wěn)定-5wang)

第11章

壓桿的穩(wěn)定性§11-1壓桿穩(wěn)定的概念平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡mgmgmgF<Fcr(a)壓桿的穩(wěn)定平衡(c)F<Fcr(b)干擾力F<Fcr(1)當(dāng)F＜Fcr時(shí)，撤去橫向干擾力后，壓桿仍能恢復(fù)原有的直線平衡狀態(tài)——穩(wěn)定平衡。Fcr——壓桿保持穩(wěn)定平衡所能承受的極限壓力，即臨界壓力（臨界荷載）。（2）當(dāng)F≥Fcr時(shí)，在干擾力除去后，桿件不能恢復(fù)到原直線位置?！Х€(wěn)。(d)F≥Fcr(c)F≥Fcr壓桿的不穩(wěn)定平衡桿件在原直線狀態(tài)的平衡——不穩(wěn)定平衡。其它失穩(wěn)的工程例子梁壓力管道拱2010年11月18日上午9時(shí)15分，浙江嘉興電廠三期碼頭取水口工地，一名工人在水下鉆孔鋼護(hù)筒內(nèi)作業(yè)時(shí)，因海水漲潮，水壓增大致使護(hù)筒突然發(fā)生變形，工人被困在24米深的護(hù)筒底部，在這名工人被困77小時(shí)后，救援隊(duì)將圍困工人的鋼桶整體吊出水面并進(jìn)行切割，救出該名工人。彎曲失穩(wěn)的主要因素（干擾）：荷載不可避免地有一定的偏心；桿軸線有一定初曲率；材料本身的不均勻性。壓桿正常工作要滿足穩(wěn)定性條件。建立穩(wěn)定性條件，關(guān)鍵是要確定壓桿的臨界壓力Fcr。F≥FcrFcr與哪些因素有關(guān)？F≥Fcr材料幾何尺寸約束?§11-2細(xì)長壓桿的臨界荷載一、兩端鉸支的臨界壓力FcrM(x)Fcr=FM(x)=Fcrw(x)（a）EIw″(x)=-M(x)（b）得:EIw″(x)=-Fcrw

(x)令:k2=Fcr/EI得:w″+k2w=0（c）

w(x)=Asinkx+Bcoskx（d）FcrxxyOlw0二個(gè)邊界條件:（1）x=0，w=0（2）x=l，w=0sinkl=0w(x)=Asinkx+Bcoskxk2=Fcr/EIFcrxxyOlw0B=0w=Asinπx/l…………（f）

w0=w│x=l/2=A………（g）

n=1時(shí)（Fcr最小）：FcrxxyOlw0w(x)=AsinkxFcr與w0的關(guān)系。FcrxxyOlw0Fw0OFcr簡化模型.精確模型.實(shí)際情況.w=Asinπx/l…………（f）

w0=w│x=l/2=A………（g）

w(x)=Asinkx二、不同桿端約束下壓桿的臨界壓力Fcr

統(tǒng)一形式：μ——長度系數(shù)，μl——相當(dāng)長度Fcrμ=1lFcrμ=2l2lFcrμ=0.5l/2l/4l/4Fcrμ=0.70.7l0.3l0.67l0.33l結(jié)論：（1）Fcr與EI成正比，與l2成反比，且與桿端約束有關(guān)。Fcr越大，壓桿穩(wěn)定性越好，越不容易失穩(wěn)；（2）桿端約束情況對(duì)Fcr的影響，是通過長度系數(shù)μ來實(shí)現(xiàn)的。要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)摩?。μ——長度系數(shù)，μl——相當(dāng)長度（3）當(dāng)桿端各個(gè)方向受到的約束情況相同時(shí)，則失穩(wěn)一定發(fā)生在最小剛度平面，即I最小的縱向平面。

（4）若桿端約束在不同方向不相同時(shí)，要分別取μl和I，計(jì)算Fcr，選Fcrmin進(jìn)行穩(wěn)定分析。（5）假設(shè)壓桿是均質(zhì)的直桿，且中心受壓—理想壓桿。柱形鉸§11-4歐拉公式的適用范圍和非彈性失穩(wěn)的壓桿一、壓桿的臨界應(yīng)力λ=μl/i——柔度，細(xì)長比。λ越大，壓桿越細(xì)長，σcr

越小，F(xiàn)cr越小，越不穩(wěn)定。Fcr二、歐拉公式的適用范圍（線彈性失穩(wěn)）適用條件：σcr

=π2E/λ2≤σP

σP

——材料的比例極限——細(xì)長桿（大柔度桿）Fcrλ=μl/i——柔度。小柔度桿（粗細(xì)桿）中柔度桿（中長桿）大柔度桿（細(xì)長桿）三、非彈性失穩(wěn)的壓桿低碳鋼壓桿試驗(yàn)結(jié)果FEuler公式臨界應(yīng)力與柔度關(guān)系的簡化模型直線型二次曲線小柔度桿（粗細(xì)桿）中柔度桿（中長桿）大柔度桿（細(xì)長桿）(1)大柔度桿(2)中柔度桿(3)小柔度桿強(qiáng)度破壞非彈性失穩(wěn)直線型公式系數(shù)a,b和柔度系數(shù)λP,λu材料(σs,σb/Mpa)a/MPab/MPaλPλuQ235(σs=235,σb≥372)3041.1210060優(yōu)質(zhì)低碳鋼(σs=306,σb≥470)4602.5710060硅鋼(σs=353,σb≥510)5773.7410060鉻鉬鋼9805.2955硬鋁3923.2650鑄鐵3321.4580松木28.70.259拋物線型公式我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范對(duì)中小柔度桿件采用拋物線型實(shí)驗(yàn)公式。式中：如Q235鋼：壓桿承載力計(jì)算的三種情況Fλ≤λu小柔度桿Fλu<λ<λP中柔度桿FλP

≤λ大柔度桿λ=μl/i四、臨界應(yīng)力總圖（壓桿破壞時(shí)的極限應(yīng)力）（1）0＜λ≤λu，小柔度桿，σcr=σu；（2）λu

＜λ≤λP，中柔度桿，σcr=a-bλ

；（3）λ＞λP，大柔度桿，σcr=π2E/λ2

。臨界應(yīng)力圖Oλ小柔度桿中柔度桿大柔度桿強(qiáng)度破壞區(qū)非線性彈性失穩(wěn)破壞區(qū)彈性失穩(wěn)破壞區(qū)λ=μl/i例1.圖示兩根壓桿，其直徑均為d，都是A3鋼，但二者的長度和約束條件不同(a)圖壓桿兩端為球鉸約束。(b)圖壓桿兩端為固定約束。試求:(1)哪一根壓桿的臨界力大？(2)當(dāng)d=0.16m時(shí)，各桿的臨界力。解：（1）二桿均為圓截面（a）（b）由于(a)、(b)約束不同，且長度也不同。（a）（b）可見，二桿均為大柔度桿件。由歐拉公式:（a）（b）（a）（b）作業(yè)11-2(b)11-411-12（1）0＜λ≤λu，小柔度桿，σcr=σu；（2）λu

＜λ≤λP，中柔度桿，σcr=a-bλ

；（3）λ＞λP，大柔度桿，σcr=π2E/λ2

。臨界應(yīng)力圖Oλ小柔度桿中柔度桿大柔度桿強(qiáng)度破壞區(qū)非線性彈性失穩(wěn)破壞區(qū)彈性失穩(wěn)破壞區(qū)Fcr歐拉公式：例2.一壓桿長l=2m，截面為10號(hào)工字鋼，材料為Q235鋼，σs=235MPa，E=206GPa，σp=200MPa。壓桿兩端為柱形鉸，試求壓桿的Fcr。解：(1)xz面內(nèi)，兩端視作鉸支，u=1，查表iy=4.14cm(2)xy面內(nèi)，兩端視作固定端，u=0.5，查表iz=1.52cm所以壓桿將先在xy平面內(nèi)失穩(wěn)。顯然λy＜λz，查表可有a=304Mpa,b=1.12Mpa§11-5壓桿的穩(wěn)定計(jì)算及提高穩(wěn)定性措施一、壓桿的穩(wěn)定條件F壓桿不失穩(wěn)的條件：工作壓力F≤

Fcr

或工作應(yīng)力σ≤σcr[Fst]＝Fcr/nst——穩(wěn)定容許壓力[σst]=σcr/nst——穩(wěn)定容許應(yīng)力安全余度（儲(chǔ)備）的需要引入穩(wěn)定安全因數(shù)nst.壓桿穩(wěn)定性條件：nst的取值一般比強(qiáng)度安全因數(shù)大。鋼1.8~3.0,鑄鐵5.0~5.5，松木2.8~3.2F[σ]、[σst]的區(qū)別？二、壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算1、安全系數(shù)法穩(wěn)定性校核；壓桿截面設(shè)計(jì)；求容許荷載（壓力）。F2、折減系數(shù)法Fcr鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范(GBJ17—88)木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范(GBJ5—88)樹種強(qiáng)度等級(jí)為TC17，TC25及TＣ20時(shí)：樹種等級(jí)為TC13，TC11，TB17及TB15時(shí)：TC17:柏木、東北落葉松等TC25:紅杉、云杉等TC13:紅松、馬尾松等TC11:西北云杉、冷杉等TB20:櫟木、桐木等TB17:水曲柳等TB15:樺木、栲木等對(duì)于壓桿重點(diǎn)要進(jìn)行穩(wěn)定性校核，少數(shù)情況也要進(jìn)行強(qiáng)度校核。Fcr例1：廠房鋼柱長7m，由兩根16b號(hào)Q235槽鋼組成。截面為b類。截面上有四個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。μ=1.3，F(xiàn)N=270kN，[σ]=170MPa。（1）求兩槽鋼間距h；（2）校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度。解（1）求h∵鋼柱各方向的約束均相同。∴合理的設(shè)計(jì)應(yīng)使Iy=Iz。查單根16b號(hào)槽鋼，得：A=25.15cm2，Iz=934.5cm4。Iy0=83.4cm4z0=1.75cm，δ=10mmA=25.15cm2，Iz=934.5cm4。Iy0=83.4cm4z0=1.75cm，δ=10mm由平行移軸公式Iy=2[Iy0+A(z0+h/2)2]=2Izh=8.23cm(2)校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度條件.查表,φ=0.308,[σst]=φ[σ]=52.4MPaσ=F/A=53.7MPaσ雖大于φ[σ],但不超過5%,故滿足穩(wěn)定性要求.σ=F/(2A-4dδ)=70.5Mpa＜

[σ]=[170]Mpa故滿足強(qiáng)度條件.薄弱截面處的強(qiáng)度校核安全系數(shù)法：壓桿穩(wěn)定性計(jì)算：折減系數(shù)法：例2。桁架上弦桿AB為Q235工字鋼，截面類型為b類，[σ]=170MPa，F(xiàn)=250kN。試選擇工字鋼的型號(hào)。L=4m。AB4m解：1.設(shè)φ=0.5AB4mAB4m例題3圖所示結(jié)構(gòu)中，AB桿為14號(hào)工字鋼，CD為圓截面直桿，直徑d=20mm，二者材料均為Q235鋼，彈性模量E=206GPa，若已知F=25kN，l1=1.25m,l2=0.55m，強(qiáng)度安全因素n=1.45，穩(wěn)定安全因素nst=1.8。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全。（1）校核AB桿的強(qiáng)度。AB為拉彎組合變形桿件，分析計(jì)算其內(nèi)力。軸力：FNAB=Fcos300=25×cos300=21.65kN截面C處彎矩最大：Mmax＝F×sin300×l1＝25×0.5×1.25＝15.63kN·m由型鋼表查得14號(hào)工字鋼Wz＝102cm3，A＝21.5cm2。Q235鋼的容許應(yīng)力為：σmax略大于［σ］，但不超過5%，工程上仍認(rèn)為是安全的。（2）校核CD桿的穩(wěn)定性。由平衡方程求得壓桿CD的軸力為：FN=2Fsin300=F=25kN柔度：故CD桿為細(xì)長桿，按歐拉公式計(jì)算臨界力：所以壓桿CD是穩(wěn)定的。故整個(gè)結(jié)構(gòu)是安全的。穩(wěn)定容許壓力：因?yàn)镕N=25kN＜29.3kN.三、

提高壓桿穩(wěn)定性的措施一、選擇合理的截面形式1、使Iy=Iz，或λy=λz

2、當(dāng)Iy=Iz時(shí)，盡可能在面積一定的情況下，增大I。3、使每個(gè)分支和整體具有相同的穩(wěn)定性。

λ分支=λ整體二、減少相當(dāng)長度和增強(qiáng)桿端約束2、增強(qiáng)約束；1、設(shè)置中間支撐。三、合理選用材料選用彈模較大的材料，可提高桿的穩(wěn)定性。WW作業(yè)11-1311-1611-1811-19§11-5按折算彈性模量理論分析非彈性失穩(wěn)的壓桿§11-6縱橫彎曲問題qFFABCwmax=w0wxl/2ly當(dāng)EI比較小時(shí)，F(xiàn)、q對(duì)梁產(chǎn)生的撓度有相互影響，不能用疊加原理分析。彎矩方程：撓曲線近似微分方程：令：k2=F/EI，則有：其通解為：由邊界條件x=0,l時(shí)w=0得解為：跨中最大撓度：將k=2u/l代入，化簡得：當(dāng)u<900，將sec(u)展開為級(jí)數(shù)，整理后得：求得撓度后，可得彎矩方程：可見撓度和彎矩與荷載不再成線性關(guān)系。將secu展開成級(jí)數(shù)，求得跨中最大彎矩：橫截面上的最大正應(yīng)力仍可用疊加原理計(jì)算：不滿足強(qiáng)度條件。桿件失穩(wěn)！§11-7大柔度桿件小偏心距壓縮eFABCw0wxl/2lyF當(dāng)EI比較小時(shí)，F(xiàn)、M(=Fe)對(duì)梁產(chǎn)生的撓度有相互影響，不能用疊加原理分析。彎矩方程：梁撓曲線近似微分方程：令k2=F/EI，則有：微分方程的通解：由邊界條件x=0、l時(shí)w=0，確定積分常數(shù)：eFABCw0wxl/2lyF撓曲線方程為：跨中最大撓度w0：最大彎矩（跨中）：最大應(yīng)力：小柔度桿件：可見可用疊加原理。eFABCw0wxl/2lyF(1)e=0時(shí)，sec(kl/2)→∞，w0可以是任意值。kl/2→π/2，即有：(2)e>0，當(dāng)w0→∞時(shí)，有：kl/2→π/2，即有：Fw0ABOe1e2e3e1>e2>e3謝謝！試討論如何分析臨界壓力。yz橫截面bh