第07章 應(yīng)力和應(yīng)變分析 強(qiáng)度理論

第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論重要考點(diǎn)1、已知平面應(yīng)力狀態(tài)，求斜截面上應(yīng)力、主應(yīng)力、主平面、

主切應(yīng)力及主切平面；2、用圖解法求解平面應(yīng)力狀態(tài)；3、用解析法求出平面應(yīng)變狀態(tài)的主應(yīng)力及主應(yīng)力方向；4、已知點(diǎn)的各應(yīng)變分量求該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；5、利用各強(qiáng)度理論對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度校核；6、應(yīng)變比能的概念考察以及相關(guān)計(jì)算。

前面我們研究了直桿在基本變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算，如：σF1.軸向拉壓：2.圓軸扭轉(zhuǎn)：MeτFστ危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)或處于純剪應(yīng)力狀態(tài)，相應(yīng)強(qiáng)度條件為：[][]ttssmaxmax3.直梁彎曲：一.基本概念一點(diǎn)：微元（有結(jié)構(gòu)，不同于數(shù)學(xué)點(diǎn)）應(yīng)力：六面體各面上皆有應(yīng)力（正，切）微元或單元體

（Element）

無窮小正六面體dx，dy,dz?0狀態(tài)：分析：一點(diǎn)可以用無窮個(gè)微元表示，找出之間應(yīng)力的關(guān)系，稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。分布--均勻?qū)?yīng)量--相等對(duì)面正應(yīng)力鄰面切應(yīng)力yxz§

7.1應(yīng)力狀態(tài)概述

從受力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處截取一單元體，如果各側(cè)面（一般為橫截面）的上的應(yīng)力均為已知，則單元體各截面上的應(yīng)力情況代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。abcdAFA二.應(yīng)力狀態(tài)的研究方法

利用靜力平衡條件來分析單元體各面上的應(yīng)力，是研究應(yīng)力狀態(tài)的基本方法。

過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力

哪一點(diǎn)？在哪一個(gè)面上？

那個(gè)面在哪個(gè)方位？要指明說明：?jiǎn)卧w上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。三.主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類說明:

1.一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體,三個(gè)相互垂直的面均為主平面,這樣的單元體稱為主單元體；2.三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為1

,2

,3

且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即。（1）單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零。（2）二向應(yīng)力狀態(tài)：有個(gè)二主應(yīng)力不等于零。（3）三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)：主單元體上的三個(gè)應(yīng)力均不等于零。二向和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)特例特例材料力學(xué)◆

重要應(yīng)用實(shí)例承受內(nèi)壓薄壁容器任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)ｐｌxsts（壁厚為t，內(nèi)直徑為d，t<<d，內(nèi)壓為p）ＤｐπD２４)Dp(xsｐｐｐ×Ｄ×lxstsxsts承受內(nèi)壓薄壁容器任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài):xybzacdefbxybneftyx§

7.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法一、斜截面上的應(yīng)力二.主應(yīng)力和方位角主應(yīng)力大?。褐髌矫娣轿唤牵褐鲬?yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3主切應(yīng)力所在的平面稱為主切平面，主切平面的方位角為：主切應(yīng)力為：2.切應(yīng)力極值（主切應(yīng)力）和方向即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45°。這個(gè)方程恰好表示一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓

或稱為莫爾圓?！?.4

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法RC1.應(yīng)力圓：2.應(yīng)力圓的畫法ADxyoADxyoDxyAx量取OA

=x，AD

=xy，得D

點(diǎn)。在

-坐標(biāo)系內(nèi),選定比例尺。ADxy量取OB

=yBD′

=yx得D′

點(diǎn)。D'yxoDxyAxyBADxy連接DD′

兩點(diǎn)的直線與軸相交于C點(diǎn)；以C為圓心,CD

或CD′為半徑作圓。D'yxoDxyAxyBC3.應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系xyHncD(sx,txy)D′(sy,tyx)E（1）應(yīng)力符號(hào)對(duì)應(yīng)：?jiǎn)卧w上正號(hào)的正應(yīng)力，在應(yīng)力圓上位于縱坐標(biāo)軸的右方，反之位于左方；使單元體有逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的切應(yīng)力，在應(yīng)力圓上位于橫坐標(biāo)軸的下方，反之位于上方。（2）點(diǎn)面對(duì)應(yīng)：應(yīng)力圓上任一點(diǎn)E的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。3、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系xyHncD(

x

,

xy)ED′(

x

,

xy)（3）夾角關(guān)系：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。xyHncD(sx,txy)D′(sy,tyx)E§7.5

三向應(yīng)力狀態(tài)xyzo前面右側(cè)面上面Y、Z

平面的定義類似。X平面：法線與X軸平行的平面。xyzo第一下標(biāo)第二下標(biāo)xy表示x平面上，沿y方向的切應(yīng)力。第一下標(biāo)表示切應(yīng)力所在的平面。第二下標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。t=txzzxt=tzyyzt=tyxxy因而獨(dú)立的應(yīng)力分量是6個(gè)根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在數(shù)值上有xyzo已知：受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1、2、3

。利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。D結(jié)論：三個(gè)應(yīng)力圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。D該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo)1最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓上B點(diǎn)的縱坐標(biāo)。AB上述兩公式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)或單向應(yīng)力狀態(tài),只需將具體問題的主應(yīng)力求出,并按代數(shù)值123的順序排列?！?.7

平面應(yīng)變狀態(tài)分析若構(gòu)件各點(diǎn)的位移和應(yīng)變都發(fā)生于同一平面內(nèi)，則稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。復(fù)習(xí)§7.6

PoxyABdxdy1、任意斜截面上的應(yīng)變以上兩式相似。2、主應(yīng)變和主方向3、切應(yīng)變的極值，稱為主切應(yīng)變主切應(yīng)變所在的面稱為主切平面，主切平面的方位角為3、平面應(yīng)變狀態(tài)分析-圖解法（應(yīng)變圓）以線應(yīng)變作為橫坐標(biāo),而將(-/2)

作為縱坐標(biāo),便可繪出表示平面應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處不同方向的應(yīng)變變化規(guī)律的應(yīng)變圓?！?.8廣義胡克定律各向同性材料的廣義胡克定律若微元體的三個(gè)主應(yīng)力已知時(shí)，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫成：式中分別為沿主應(yīng)力方向的線應(yīng)變。由于主應(yīng)力單元體在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零，故主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變?！?/p>

7.9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度一、應(yīng)變能密度的定義：二、應(yīng)變能密度的計(jì)算公式:1、單向應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為單位體積物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度（比能）。2、三個(gè)主應(yīng)力同時(shí)存在時(shí),單元體的應(yīng)變能密度應(yīng)為將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得用Vv表示單元體體積改變相應(yīng)的那部分比能，稱為體積改變能密度。用Vd表示單元體形狀改變相應(yīng)的那部分比能,稱為畸變能密度。應(yīng)變能密度等于兩部分之和。空間應(yīng)力狀態(tài)下單元體的畸變能密度為應(yīng)變能密度等于兩部分之和。（1）脆性斷裂:無明顯的變形下突然斷裂。材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）1、屈服失效:材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。2、斷裂（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂?！?.10

強(qiáng)度理論包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論。第二類強(qiáng)度理論

—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志。包括：最大切應(yīng)力理論和畸變能密度理論。第一類強(qiáng)度理論

—以脆斷作為破壞的標(biāo)志。（一）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）強(qiáng)度條件：1[]（二）最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）強(qiáng)度條件:（三）最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)強(qiáng)度條件:（四）畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）強(qiáng)度條件：試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知解：（1）斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主應(yīng)力單元體：主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：例2：求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置(單位：MPa)。解：(1)主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖(3)AB的垂直平分線與sa

軸的交點(diǎn)C即是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓(2)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)taBAs2s1sa(MPa)(MPa)O20MPaCs3(4)按圖計(jì)算心標(biāo)

和半徑

OC=(A橫坐標(biāo)

+B橫坐標(biāo))/2=70(5)計(jì)算主應(yīng)力及方位角s3s1s2BACsata(MPa)(MPa)O20MPaEDF(5)計(jì)算主應(yīng)力及方位角(6)在圖上畫主單元體、主應(yīng)力4532532595150°

102AB例3

：簡(jiǎn)支梁由18號(hào)工字鋼制成。其上作用有力P=15KN，已知E=200GPa,=0.3。求：A點(diǎn)沿00，450，900方向的線應(yīng)變0.50.50.25PA00450900解：zA0.50.50.25PA00450900zA(-)yA,Iz,d查表得出中性軸的靜矩為圖示面積對(duì)0.50.50.25PA00450900A0.50.50.25PA004509000.50.50.25PA00450900A例4：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了測(cè)定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測(cè)出線應(yīng)變?，F(xiàn)測(cè)得軸向應(yīng)變