物理-流體第2章

第二章流體靜力學(xué)工程流體力學(xué)第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及特性當(dāng)流體處于平衡或相對平衡狀態(tài)時(shí),作用在流體上的應(yīng)力只有法向應(yīng)力而沒有切向應(yīng)力,流體作用面上負(fù)的法向應(yīng)力就是靜壓強(qiáng)流體靜壓強(qiáng)的兩個(gè)特性：特性一：流體靜壓強(qiáng)的作用方向沿作用面的內(nèi)法線方向流體靜壓強(qiáng)及其特性邊長

δx、δy、δz

靜壓強(qiáng)

Px、Py、Pz和Pn

密度

ρ單位質(zhì)量力的分量fx、fy、fz流體靜壓強(qiáng)及其特性第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及特性

特性二：靜壓強(qiáng)與作用面在空間的方位無關(guān)，只是坐標(biāo)點(diǎn)的連續(xù)可微函數(shù)力在x方向的平衡方程為

由于

忽略無窮小量流體靜壓強(qiáng)及其特性※證明在靜止流體內(nèi)部,壓強(qiáng)只是點(diǎn)的坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)靜壓強(qiáng)可表示為：第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及特性

由N-S方程可得歐拉平衡方程常數(shù)時(shí)，直接求解，聯(lián)立求解壓強(qiáng)分布體積力壓強(qiáng)梯度00u=v=w=0，

對靜止流體第二節(jié)歐拉平衡微分方程等壓面力函數(shù)1.歐拉平衡微分方程由歐拉平衡方程稱為壓強(qiáng)全微分式，表示體積力在任何方向的投影為該方向的壓強(qiáng)增量。沿等壓面壓強(qiáng)增量為零，即。或稱為等壓面微分方程式，上式表明體積力處處與等壓面垂直。靜止流體中等壓面為水平面;繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的流體中，等壓面為旋轉(zhuǎn)拋物面。2.等壓面設(shè)密度分別為ρ1和ρ2

的兩種互不相混的液體放在同一容器中，試證明當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)其分界面必為等壓面。

[例]

兩種液體的分界面：等壓面

解：在分界面上任取相鄰dr的兩點(diǎn)A和B，dp=pA-pB

。

對液體1dp=ρ1(fxdx+fydy+fzdz)dp=ρ2(fxdx+fydy+fzdz)對液體2兩式分別除以ρ1

和ρ2

，再相減可得

由于ρ1≠ρ2，要使上式成立,只有dp=0，證明分界面必為等壓面。討論：當(dāng)容器以恒角速度繞中軸旋轉(zhuǎn)，兩種液體均處于相對平衡狀態(tài)時(shí)其分界面也是等壓面。

AB即體積力必須有勢：為勢函數(shù)上式成立的充分必要條件是3.1對均質(zhì)流體，ρ

=常數(shù),壓強(qiáng)全微分式化為重力是有勢力因此均質(zhì)流體在重力場中能保持平衡狀態(tài)。3.流體平衡的條件3.2對正壓流體，ρ=ρ(p)

引入一個(gè)壓強(qiáng)函數(shù)上式成立的充要條件也是體積力必須有勢。因此正壓流體在重力場中也能保持平衡狀態(tài)。3.3對斜壓流體ρ=ρ(p，T)，可以證明不能在重力場中保持平衡。如赤道和極地的大氣，大范圍的海水等。均質(zhì)流體（如淡水）和正壓流體（如等溫的空氣）在平衡時(shí)，等壓面、等勢面、等密度面三者重合：[例]貿(mào)易風(fēng)：流體平衡條件大氣滿足完全氣體狀態(tài)方程p=RρT

(B1.4.5)

差懸殊，由（B1.4.5）式相應(yīng)的密度不相同，因此大氣密度除了沿高度變化外還隨地球緯度改變而改變，等壓面與等密度面（虛線）不重合(見右圖），造成大氣層的非正壓性，不滿足流體平衡條件。設(shè)在赤道和北極地區(qū)離地面相同高度處壓強(qiáng)相同，但由于太陽光照射強(qiáng)度不同，兩處溫度相形成在赤道處大氣自下向上，然后在高空自赤道流向北極；在北極大氣自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大氣環(huán)流。通常將沿洋面自北向南吹的風(fēng)稱為貿(mào)易風(fēng)。用于靜止流體上式適用于全流場，表示總勢能守恒。若寫成表示總水頭保持不變。(a),(b)式均稱為流體靜力學(xué)基本方程。適用條件：連通的同種均質(zhì)重力流體。將伯努利方程(a)(b)第三節(jié)重力場中流體的平衡◆流體靜力學(xué)基本方程流體靜力學(xué)基本方程的常用形式為說明兩點(diǎn)的測壓管水頭相等。當(dāng)保持不變時(shí)，改變引起同時(shí)改變，這就是帕斯卡原理.均質(zhì)靜止流體ρ=常數(shù)，u＝v＝w＝0在重力場中上式說明：z方向壓強(qiáng)梯度由單位體積流體的重力決定。積分可得1.壓強(qiáng)分布一般表達(dá)式由N-S方程可得◆靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布2.具有自由液面的重力液體壓強(qiáng)公式為自由面上的壓強(qiáng)，h為淹深(1)在垂直方向壓強(qiáng)與淹深成線性關(guān)系(2)在水平方向壓強(qiáng)保持常數(shù)3.等壓面在連通的同種流體中的等壓強(qiáng)面稱為等壓面。在靜止重力流體中的等壓面為水平面h＝常數(shù)右圖中3－3為等壓面非等壓面1－1為不連通液體2－2為不同液體[例]

靜壓強(qiáng)分布圖1.壓強(qiáng)計(jì)示方式習(xí)慣上壓強(qiáng)基準(zhǔn)真空度完全真空絕對壓強(qiáng)表壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)由壓強(qiáng)公式p0提供壓強(qiáng)基準(zhǔn)◆壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位2.壓強(qiáng)單位標(biāo)準(zhǔn)大氣壓atm(標(biāo)準(zhǔn)國際大氣模型)液柱高：?國際單位制（SI）：帕斯卡Pa毫米汞柱mmHg（血壓計(jì)）米水柱mH2O（水頭高）測壓管高度h=pA/ρg[例1]

單管測壓計(jì)（2－1）已知：圖示密封容器中液體(ρ),在A點(diǎn)接上單管測壓計(jì)求：

與測壓管高度h的關(guān)系解：(表壓強(qiáng))h為被測點(diǎn)的淹深，稱為測壓管高度.討論：液面在壓強(qiáng)推動下上升至h高度，壓強(qiáng)勢能轉(zhuǎn)化為重力勢能。

壓強(qiáng)勢能重力勢能[例1]

U形管測壓計(jì)（2－2）解：沿U形管右支液面取等壓面，列平衡方程已知：圖示封閉容器中為水,U形管水銀測壓計(jì) 中Δh

=10cm求：

(,表壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)）[例2]

U形管差壓計(jì)解：沿U形管左支液面取等壓面1－1已知：圖示盛滿水封閉容器高差, U形管水銀測壓計(jì)中液面差Δh

=10cm求：

(,表壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)）當(dāng)液體以等加速度a作直線運(yùn)動或以等角速度（向心加速度 )旋轉(zhuǎn)并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，液體象剛體一樣運(yùn)動，N-S方程fg

為重力。上式與歐拉平衡方程形式相同，f=fg–a

也是有勢力。符合平衡條件，稱為液體的相對平衡。

設(shè)液體以等加速度a沿水平方向作直線運(yùn)動

1.體積力分量f

x=-a

,

f

y=0,

fz

=-g

第四節(jié)液體的相對平衡◆等加速度直線運(yùn)動由壓強(qiáng)全微分式積分得壓強(qiáng)分布式設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在液罐底部中點(diǎn)，靜止時(shí)的液位為z0

,即x=0，z=z0

，p=p0,，可得C=p

0+ρgz0

壓強(qiáng)分布式為壓強(qiáng)分布由dp=－ρ(adx+gdz)=0

，等壓面方程為C不同時(shí)得一簇平行斜平面，自由液面(x=0,z=z0

)上C=gz0

。設(shè)自由液面垂直坐標(biāo)為zs

，方程為等壓面ax+gz=C

或代入壓強(qiáng)分布式，令h=zs－z

，可得

證明在垂直方向壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜止液體一樣。[例]勻加速直線運(yùn)動液體的相對平衡(2-1)

已知:用汽車搬運(yùn)一玻璃缸。缸長×寬×高=L×b×h=0.6×0.3×0.5m3，靜止時(shí)缸內(nèi)水位高d=0.4m。設(shè)魚缸沿汽車前進(jìn)方向縱向放置。求:(1)為不讓水溢出，應(yīng)控制的汽車最大加速度am；

解：建立坐標(biāo)系Oxz如圖示。設(shè)魚缸加速度為a，體積力分量為等壓面微分方程為(2)若魚缸橫向放置時(shí)的最大加速度am'。

fx=-a，fz=-g

ax+gz=C

液面中點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,d），C=gd

。液面方程為

ax+gz=gd

[例]勻加速直線運(yùn)動液體的相對平衡(2-2)

加速度表達(dá)式為

(2)當(dāng)魚缸橫向放置時(shí)，與后壁最高液位（－b/2,h）相應(yīng)的加速度為(1)當(dāng)魚缸縱向放置時(shí)，與后壁最高液位（－L/2,h）相應(yīng)的加速度為

可見，魚缸橫向放置水不易溢出。

工程背景：壓力容器，水壩，潛艇，活塞等；結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，安全性能，運(yùn)動規(guī)律等。條件：均質(zhì)液體，體積力為重力。圖示斜平壁和坐標(biāo)系Oxy

,O點(diǎn)在自由液面上，y軸沿斜平壁向下。在面積A上取面元dA

，縱坐標(biāo)y

，淹深為第五節(jié)均質(zhì)流體對平壁的總壓力◆平壁總壓力大小作用在dA

和A上的總壓力在幾何上面積A

對x

軸的面積矩

pc為形心壓強(qiáng)。表明作用在面積A上的總壓力大小等于形心壓強(qiáng)乘以面積。yc

為面積A形心的縱坐標(biāo),為淹深。設(shè)壓強(qiáng)中心為D，由力矩合成法則1、積分法

總壓力

設(shè)面積慣性矩

可得◆平壁總壓力作用點(diǎn)建立輔助坐標(biāo)系,由平行移軸定理f稱為壓強(qiáng)中心對形心的橫向偏心距,當(dāng)圖形對稱時(shí)為零。再引入關(guān)于軸的回轉(zhuǎn)半徑x稱為壓強(qiáng)中心對形心的縱向偏心距。同理可得表FD1（查附錄表FD1）[例1]矩形平壁總壓力：積分法(2-1)已知:矩形閘門長×寬=l×b=4×2m2,b邊與自由液面平行,l邊θ=30°。

求:閘門頂邊分別位于(1)水面內(nèi)；(2)水下H=2m深處時(shí)的水總壓力F大小和壓強(qiáng)中心D的縱向偏心距e。

解：坐標(biāo)系Oxz，x軸位于自由面中，y軸沿閘門縱軸向下

(1)閘門頂邊位于水面內(nèi)yc1=l/2=2m，rξ2=l2/12

說明壓強(qiáng)中心位于矩形的下三分點(diǎn)上。hc1=0.5lsin30°=l/4=1m[例1]矩形平壁總壓力：積分法(2-2)(2)

閘門頂邊位于水面下2m深處討論：(1)兩種情況中回轉(zhuǎn)半徑rξ不變，e僅與形心坐標(biāo)有關(guān)，與閘門寬度無關(guān)；(2)閘門沿斜壁下移一個(gè)長度位置，總壓力增加至3倍：F2=3F1；縱向偏心距縮短至原來的1/3：e2=。y

c2=hc2/sinθ=3l/2=6m,不變

hc2

=H+hc1=2+1=3

m

[例2]圓形平壁總壓力(2-1)已知:封閉油柜側(cè)壁上有一圓形封蓋,d

=0.8mh=1.2m

,ρ=800kg/m3.

求:p0分別為(1)

5kPa

;(2)－2kPa時(shí)總壓力F和偏心距e。解：(1)

當(dāng)p01=5kPa時(shí)，在封蓋中心的壓強(qiáng)為

pc1=p01+ρgh=5+0.8×9.81×1.2=5+9.42=14.42(kPa)O1

點(diǎn)位于油面上方p01

/ρg處

hc1=0.5lsin30°=l/4=1m[例2]圓形平壁總壓力(2-2)O2

點(diǎn)位于油面下方|p02

|

/ρg處

(2)當(dāng)p0

2=－2kPa

時(shí)

pc2=p02+ρgh=-2+9.42=7.42

(kPa)F2=pc2

A=7.42×0.503=3.73

(kPa)圓板rξ2

=d2

/16=0.82/16=0.04

m2，偏心距為

歸結(jié)為求平面線性平行力系的合力。壓強(qiáng)分布圖2.幾何法

當(dāng)矩形平壁與液面平行時(shí)可用幾何法求解。圖示液面與b邊平行，與l邊夾角為θ。面積分可化為線積分矩形＋三角形＝梯形F矩形平壁總壓力：幾何法用幾何法重新求解例1

解:(1)l=4m,h=0,θ=30°

(2)l=4m,h=2m，θ=30°

例3取決于重心G

與浮心C

相對位置1、潛體的穩(wěn)定性(浮心不變)

潛體：水下艦艇、水雷、氣艇、氣球等。浮體：水面艦船、船塢、浮吊、浮標(biāo)等。平衡條件：(1)浮力＝重力；(2)浮軸＝重力線(1)G

在C下方：穩(wěn)定平衡(2)G在C上方：不穩(wěn)定平衡(3)G

與C重合：隨遇平衡第六節(jié)液體作用在浮體和潛體上的總壓力GM=CM–CG

(2)G

在C下方：穩(wěn)定平衡(3)G

在C上方：不穩(wěn)定平衡(1)G

與C重合：隨遇平衡2、浮體的穩(wěn)定性(浮心改變)