浙江省寧波市2023-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷(含解析)

2023-2023學(xué)年浙江省寧波市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1．化簡cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值為（）A． B． C．﹣ D．﹣2．已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．45° B．60° C．120°或60° D．135°或45°3．在等差數(shù)列{an}中，若a2+a8=10，則a1+a3+a5+a7+a9的值是（）A．10 B．15 C．20 D．254．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，若a3+a5=20，a2a6=64，則S4=（）A．63或126 B．252 C．120 D．635．已知α，β都是銳角，cosα=，cos（α+β）=﹣，則oosβ值為（）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=，若a1=，則a2023的值是（）A． B． C． D．7．若c=acosB，b=asinC，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形8．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b=c，且滿足=．若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四邊形OACB面積的最大值是（）A． B． C．3 D．二．填空題（本大題共7小題，其中多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）9．（6分）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則d=，S6=．10．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1=3，a4=24，則a3+a4+a5=．11．（6分）若cosα+3sinα=﹣，則tanα=，sin2α=．12．（4分）已知鈍角△ABC的三邊a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范圍．13．（6分）在四邊形ABCD中，已知AD⊥DC，AB⊥BC，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，則BD=，AC=．14．（4分）已知銳角θ滿足sin（+）=，則cos（θ+）的值為．15．（6分）數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，其前n項(xiàng)和為Sn，則（1）a1+a3+a5+…+a99=；（2）S4n=．三．解答題（本大題共5小題，共74分）16．（14分）已知函數(shù)．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程f（x）=m在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．（15分）三角形的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c．（I）求C角的大小（Ⅱ）若a=，求△ABC的面積．18．（15分）已知數(shù)列{an}中，a1=3，且an=2an﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）（Ⅰ）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．19．（15分）已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，則求b+c的取值范圍．20．（15分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若＜k恒成立，求k的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)m，k，使得am，am+5，ak成等比數(shù)列？若存在，求出m和k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．2023-2023學(xué)年浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1．化簡cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值為（）A． B． C．﹣ D．﹣【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】先利用誘導(dǎo)公式把cos75°轉(zhuǎn)化為sin15°，進(jìn)而利用兩角和的余弦函數(shù)求得答案．【解答】解：cos15°cos45°﹣cos75°sin45°=cos15°cos45°﹣sin15°sin45°=cos（15°+45°）=cos60°=故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，利用誘導(dǎo)公式把cos75°轉(zhuǎn)化為sin15°關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．2．已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．45° B．60° C．120°或60° D．135°或45°【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理，即可求出A的大小．【解答】解：∵△ABC中，a=，b=，∴a＜b，且A＜B，又B=60°，即A＜60°，由正弦定理得sinA==，則A=45°或135°（舍去），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理是解決本題的關(guān)鍵，注意要判斷角A的取值范圍．3．在等差數(shù)列{an}中，若a2+a8=10，則a1+a3+a5+a7+a9的值是（）A．10 B．15 C．20 D．25【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5，即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5，∴a5=5，∴a1+a3+a5+a7+a9=5a5=25．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，若a3+a5=20，a2a6=64，則S4=（）A．63或126 B．252 C．120 D．63【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}公比為q，且0＜q=，根據(jù)a3+a5=20，a2a6=64=a3a5，解得a3=16，a5=4．可得q2=，0＜q＜1，解得q，a1，利用求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}公比為q，且0＜q=，∵a3+a5=20，a2a6=64=a3a5，解得a3=16，a5=4．∴q2=，0＜q＜1，解得q=，∴=16，解得a1=64．則S4==120．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5．已知α，β都是銳角，cosα=，cos（α+β）=﹣，則oosβ值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用分別求得sinα和sin（α+β）的值，進(jìn)而根據(jù)余弦的兩角和公式求得答案．【解答】解：∵α，β都是銳角，cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinα==，sin（α+β）==，∴cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦函數(shù)的兩角和公式的應(yīng)用．注重了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的考查．6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=，若a1=，則a2023的值是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】81：數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】由數(shù)列{an}滿足an+1=，a1=，可得an+3=an．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足an+1=，a1=，∴a2=2a1﹣1=，a3=2a2﹣1=，a4=2a3=，…，∴an+3=an．則a2023=a671×3+3=a3=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段數(shù)列的性質(zhì)、分類討論方法、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7．若c=acosB，b=asinC，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理化簡c=acosB得：a2=b2+c2，判斷出A=90°，再由正弦定理化簡b=asinC，判斷出B、C的關(guān)系．【解答】解：因?yàn)椋涸凇鰽BC中，c=acosB，所以：由余弦定理得，c=a×，化簡得，a2=b2+c2，則：△ABC是直角三角形，且A=90°，所以：sinA=1，又因?yàn)椋篵=asinC，由正弦定理得，sinB=sinAsinC，即sinC=sinB，又因?yàn)椋篊＜90°，B＜90°，則C=B，所以：△ABC是等腰直角三角形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了邊角互化，即根據(jù)式子的特點(diǎn)把式子化為邊或角，再判斷出三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．8．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b=c，且滿足=．若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四邊形OACB面積的最大值是（）A． B． C．3 D．【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；HR：余弦定理．【分析】依題意，可求得△ABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式與余弦定理可求得SOACB=2sin（θ﹣）+（0＜θ＜π），從而可求得平面四邊形OACB面積的最大值．【解答】解：∵△ABC中，=，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC為等邊三角形；∴SOACB=S△AOB+S△ABC=|OA|?|OB|sinθ+×|AB|2×=×2×1×sinθ+（|OA|2+|OB|2﹣2|OA|?|OB|cosθ）=sinθ+（4+1﹣2×2×1×cosθ）=sinθ﹣cosθ+=2sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，∴當(dāng)θ﹣=，即θ=時(shí)，sin（θ﹣）取得最大值1，∴平面四邊形OACB面積的最大值為2+=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，求得SOACB=2sin（θ﹣）+是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．二．填空題（本大題共7小題，其中多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）9．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則d=3，S6=48．【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案為：3，48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10．在等比數(shù)列{an}中，a1=3，a4=24，則a3+a4+a5=84．【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)a1=3，a4=24求出數(shù)列的公比，從而可求出a3+a4+a5的值．【解答】解：∵等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn﹣1，∴a4=a1q3=3q3=24解得q=2∴a3+a4+a5=3q2+3q3+3q4=84故答案為：84【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列性質(zhì)的能力，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．11．若cosα+3sinα=﹣，則tanα=3，sin2α=．【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα，進(jìn)而可得cosα，可得tanα，利用倍角公式即可求得sin2α的值．【解答】解：∵3sinα+cosα=﹣，∴cosα=﹣﹣3sinα，代入sin2α+cos2α=1可得sin2α+（﹣﹣3sinα）2=1，解得sinα=﹣，∴cosα=﹣﹣3sinα=﹣，∴tanα==3，sin2α=2sinαcosα=．故答案為：3；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)計(jì)算，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，二倍角的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．12．已知鈍角△ABC的三邊a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范圍（2，6）．【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】根據(jù)余弦定理以及C為鈍角，建立關(guān)于k的不等式，解之可得﹣2＜k＜6，再根據(jù)n為整數(shù)和構(gòu)成三角形的條件，不難得出本題答案．【解答】解：由題意，得c是最大邊，即C是鈍角∴由余弦定理，得（k+4）2=（k+2）2+k2﹣2k（k+2）?cosC＞=（k+2）2+k2即（k+2）2+k2＜（k+4）2，解之得﹣2＜k＜6，∵a+b＞c，∴k+（k+2）＞k+4，解之得k＞2綜上所述，得k的取值范圍是（2，6）故答案為：（2，6）【點(diǎn)評(píng)】本題給出鈍角三角形的三邊滿足的條件，求參數(shù)k的取值范圍，著重考查了利用余弦定理解三角形和不等式的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．13．在四邊形ABCD中，已知AD⊥DC，AB⊥BC，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，則BD=，AC=．【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】由余弦定理求出BD，利用AC為直徑，根據(jù)正弦定理，即可求出．【解答】解：△ABD中，由余弦定理可得BD==∵AD⊥DC，AB⊥BC，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，AC為直徑，∴AC==．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．14．已知銳角θ滿足sin（+）=，則cos（θ+）的值為．【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值．【解答】解：∵sin（+）=，∴sin2（+）==，則cos（θ+）=﹣，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴sin（θ+）＞0，∴sin（θ+）==∴cos（θ+）=cos（+θ+）=﹣sin（θ+）=﹣，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，熟記公式即可解答，屬于基礎(chǔ)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力．15．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，其前n項(xiàng)和為Sn，則（1）a1+a3+a5+…+a99=50；（2）S4n=8n2+2n．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式可得a2n+1+a2n﹣1=2．分別取n=1、3、5、…、49，可得a1+a3+a5+…+a99的值；（2）由已知數(shù)列遞推式結(jié)合（1）可得（k∈N*）．設(shè)bn=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=16n﹣6（n∈N*），則{bn}為首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列．由此求得S4n=b1+b2+…+bn．【解答】解：（1）∵an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，∴a2n+1+a2n=4n﹣1，a2n﹣a2n﹣1=4n﹣3．兩式相減得a2n+1+a2n﹣1=2．則a3+a1=2，a7+a5=2，…，a99+a97=2，∴a1+a3+a5+…+a99=25×2=50；（2）由（1）得，a3=2﹣a1，a2n+3+a2n+1=2，∴a2n+3=2﹣a2n+1=2﹣（2﹣a2n﹣1）=a2n﹣1（n∈N*）．當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，a4k+3=a4k﹣1=…=a3=2﹣a1；當(dāng)n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，a4k+1=a4k﹣3=…=a1．由已知可得a4k﹣1+a4k﹣2=8k﹣5，a4k﹣a4k﹣1=8k﹣3（k∈N*）．∴a4k﹣2=8k﹣5﹣a4k﹣1=8k﹣7+a1，a4k=8k﹣3+a4k﹣1=8k﹣1﹣a1．∴（k∈N*）．設(shè)bn=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=16n﹣6（n∈N*），則{bn}為首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列．∴S4n=b1+b2+…+bn=．故答案為：（1）50；（2）8n2+2n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了邏輯思維、推理論證以及計(jì)算能力，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，題目難度較大．三．解答題（本大題共5小題，共74分）16．（14分）（2023春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程f（x）=m在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）內(nèi)有時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的值域．即得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：函數(shù)．化簡可得：f（x）=2cos（x+）?sin（x+）﹣×2cos2（x+）=sin（2x+）cos（2x+）=2sin（2x+）﹣（1）∵﹣1≤sin（2x）≤1．∴﹣2﹣≤2sin（2x）﹣≤2﹣，最小正周期T==π，即f（x）的值域?yàn)椋钚≌芷跒棣校?）當(dāng)x∈時(shí)，∴2x+∈[]，故sin（2x+）∈[]，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．17．（15分）（2023春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）三角形的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c．（I）求C角的大?。á颍┤鬭=，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】HQ：正弦定理的應(yīng)用；GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】（I）根據(jù)cos（A﹣C）+cosB=1，可得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，展開化簡可得2sinAsinC=1，由a=2c，根據(jù)正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大?。á颍┐_定A，進(jìn)而可求b，c，利用三角形的面積公式，可求△ABC的面積．【解答】解：（I）因?yàn)锳+B+C=180°，所以cos（A+C）=﹣cosB，因?yàn)閏os（A﹣C）+cosB=1，所以cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，展開得：cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=1，所以2sinAsinC=1．因?yàn)閍=2c，根據(jù)正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式可得：4sin2C=1，所以sinC=，所以C=30°；（Ⅱ）由（I）sinA=2sinC=1，∴A=∵a=，C=30°，∴c=，b=∴S△ABC=bc==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（15分）（2023?梅州一模）已知數(shù)列{an}中，a1=3，且an=2an﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）（Ⅰ）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和．【分析】（1）整理變形an﹣1=2（an﹣1﹣1）+2n，（n≥2且n∈N*）式兩端同除以2n得出：=1=常數(shù)，運(yùn)用等差數(shù)列的和求解即可．（2）根據(jù)數(shù)列的和得出Sn=（1×21+2×22+3×23+…+n×2n）+n，設(shè)Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解即可．得出Tn，代入即可．【解答】解：（1）∵an=2an﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）∴an﹣1=2（an﹣1﹣1）+2n，（n≥2且n∈N*）∴等式兩端同除以2n得出：=1=常數(shù)，∵a1=3，∴==1，∴數(shù)列{}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為1，（2）∵根據(jù)（1）得出=1+（n﹣1）×1=n，an=n×2n+1∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（1×21+2×22+3×23+…+n×2n）+n，令Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，①2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，②①﹣②得出：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1，∴Tn=n×2n+1﹣2×2n+2，∴Sn=n×2n+1﹣2n+1+2+n【點(diǎn)評(píng)】本題考察了數(shù)列的遞推關(guān)系式的運(yùn)用，錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和，考察了學(xué)生的分析問題，化簡計(jì)算的能力．19．（15分）（2023?梅河口市校級(jí)模擬）已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，則求b+c的取值范圍．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）在銳角△ABC中，根據(jù)條件利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），化簡可得cosA=，由此可得A的值．（2）由正弦定理可得==2，可得b+c=2（sinB+sinC）=2sin（B+）．再由，求得B的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得b+