第十講均值比較與T檢驗(yàn)

第十講均值比較與T檢驗(yàn)對(duì)某班學(xué)生進(jìn)行智力測試，問該班學(xué)生的IQ平均分與100分的差異。某地區(qū)12歲男孩的平均身高為142.5cm,現(xiàn)有某市測量120名12歲男孩身高資料，檢驗(yàn)該市12歲男孩平均身高與該地區(qū)12歲男孩平均身高是否有顯著性差異。對(duì)12名來自城市的學(xué)生與14名來自農(nóng)村的學(xué)生進(jìn)行心理素質(zhì)測驗(yàn)，試分析城市學(xué)生與農(nóng)村學(xué)生心理素質(zhì)有無顯著差異。對(duì)12名學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)之后，其培訓(xùn)前后某項(xiàng)心理測試得分如表5.1所示，試分析該培訓(xùn)是否引起學(xué)生心理變化。均值比較的概念在研究中常常采取抽樣研究的方法，即從總體中隨機(jī)抽取一定數(shù)量的樣本進(jìn)行研究來推斷總體的特性。由于總體中的每個(gè)個(gè)體間均存在差異，即使嚴(yán)格遵守隨機(jī)抽樣原則也會(huì)由于多抽到一些數(shù)值較大或較小的個(gè)體致使樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間有所不同。又由于實(shí)驗(yàn)者測量技術(shù)的差別或測量儀器精確程度的差別等也會(huì)造成一定的偏差，使樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間存在差異。由此可以得到這樣的認(rèn)識(shí)：均值不相等的兩組樣本不一定來自均值不同的總體。能否用樣本均值估計(jì)總體均值？兩個(gè)變量均值接近的樣本是否來自均值相同的總體？換句話說，兩組樣本某變量均值不同，其差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義？能否說明總體差異？這是各種研究工作中經(jīng)常提出的問題。這就要進(jìn)行均值比較?？傮w平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)?zāi)承W(xué)歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗(yàn)水平為66分，標(biāo)準(zhǔn)差為11.7?，F(xiàn)以同樣的試題測驗(yàn)應(yīng)屆畢業(yè)生（假定應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生條件基本相同），并從其中隨機(jī)抽取18份試卷，計(jì)算得平均分為69分，問該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗(yàn)水平是否一樣？檢驗(yàn)的步驟提出假設(shè)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值確定檢驗(yàn)的形式（雙尾）統(tǒng)計(jì)決斷所以保留，拒絕，即該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗(yàn)一樣。雙側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則與臨界值的比較P值檢驗(yàn)結(jié)果顯著性<1.96P>0.05保留拒絕不顯著1.96<2.580.01<P0.05保留拒絕在0.05水平上2.58P0.01保留拒絕在0.01水平上總體標(biāo)準(zhǔn)差已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)?zāi)呈懈咧腥雽W(xué)考試數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)為68分，標(biāo)準(zhǔn)差為8.6分。其中某所中學(xué)參加此次考試的46名學(xué)生的平均分為63分。過去的資料表明，該校數(shù)學(xué)成績低于全市平均水平，問此次考試該校數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)是否仍顯著低于全市的平均分?jǐn)?shù)？檢驗(yàn)的步驟提出假設(shè)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量確定檢驗(yàn)的形式（采用左尾檢驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)決斷所以在0.01水平上拒絕，接受，即該校入學(xué)考試數(shù)學(xué)的平均分極其顯著地低于全市的平均分?jǐn)?shù)。[自己總結(jié)單側(cè)Z檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則。]總體標(biāo)準(zhǔn)差未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（小樣本）某區(qū)初三英語統(tǒng)一測驗(yàn)平均分為65，該區(qū)某校20份試卷的分?jǐn)?shù)分別為：72、76、68、78、62、59、64、85、70、75、61、74、87、83、54、76、56、66、68、62。問該校初三英語平均分與全區(qū)是否一樣？檢驗(yàn)的步驟(1)提出假設(shè)經(jīng)計(jì)算因?yàn)榭傮w標(biāo)準(zhǔn)差未知,總體分布為正態(tài)分布,所以用t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值(3)確定檢驗(yàn)采用的形式(采用雙尾檢驗(yàn))(4)統(tǒng)計(jì)決斷df=20-1=19t=2.266*>所以在0.05水平上拒絕初始假設(shè),接受備擇假設(shè),即該校初三英語平均分?jǐn)?shù)與全區(qū)平均分?jǐn)?shù)有本質(zhì)區(qū)別,或者說,它不屬于平均數(shù)為65的總體.某校上一屆初一學(xué)生自學(xué)能力平均分?jǐn)?shù)為38,這一屆初一24個(gè)學(xué)生自學(xué)能力平均分?jǐn)?shù)為42,標(biāo)準(zhǔn)差為5.7,假定這一屆初一學(xué)生的學(xué)習(xí)條件與上一屆相同,試問這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力是否高于上一屆?檢驗(yàn)的步驟:(1)提出假設(shè)(2)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值(3)確定檢驗(yàn)的形式(右尾檢驗(yàn))(4)統(tǒng)計(jì)決斷所以在0.01顯著性水平上,拒絕初始假設(shè),接受備擇假設(shè).即:這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力極其顯著地高于上一屆.[總結(jié)t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷的規(guī)則;并與Z檢驗(yàn)作比較]總體標(biāo)準(zhǔn)差未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（大樣本）某年高考某市數(shù)學(xué)平均分為60分,現(xiàn)從參加此次考試的文科學(xué)生中,隨機(jī)抽取94份試卷,算得平均分為58,標(biāo)準(zhǔn)差為9.2,問文科數(shù)學(xué)成績與全市考生是否相同?

同理可計(jì)算得：0.01顯著性水平的臨界值所以在0.01顯著性水平上拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即走讀生與住宿生自學(xué)能力，從總體上來說有極其顯著性差異。樣本相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（配對(duì)組的情況）例：為了揭示小學(xué)二年級(jí)的兩種識(shí)字教學(xué)法是否有顯著性差異，根據(jù)學(xué)生的智力水平、努力程度、識(shí)字量多少、家庭輔導(dǎo)力量等條件基本相同的原則，將學(xué)生配成10對(duì)，然后把每對(duì)學(xué)生隨機(jī)地分入實(shí)驗(yàn)組、對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組施以分散識(shí)字教學(xué)法，而對(duì)照組施以集中識(shí)字教學(xué)法，后期統(tǒng)一測驗(yàn)結(jié)果如下表所示，問兩種識(shí)字法是否有顯著性差異？對(duì)別實(shí)驗(yàn)組x1對(duì)照組x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D2193761728927274-2439180111214655213169581631832467762152257898274988485-1197364981107072-24總和795710851267分析：每對(duì)學(xué)生的分?jǐn)?shù)都有一個(gè)差數(shù)（），假如兩種識(shí)字教學(xué)法沒有本質(zhì)區(qū)別，則它們差數(shù)的總體平均數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔?，也就是說兩個(gè)總體平均數(shù)之差為0，而兩組測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的差數(shù)平均數(shù)不等于0，僅僅是由于抽樣誤差所致。檢驗(yàn)的步驟（1）提出假設(shè)（2）選擇統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值（3）采用雙尾檢驗(yàn)方式（4）統(tǒng)計(jì)決斷所以，在0.01水平上拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即小學(xué)分散識(shí)字與集中識(shí)字教學(xué)法差異顯著。

相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（同一組對(duì)象的情況）例：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練前與訓(xùn)練后測驗(yàn)分?jǐn)?shù)如下表所示，問三天集中訓(xùn)練有無顯著效果？（根據(jù)過去的資料得知，三天集中射擊訓(xùn)練有顯著效果）序號(hào)訓(xùn)練后x1訓(xùn)練前x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D2142402423835-3935356-3944941864524213965460-63674334981851401112196064-416104739864111215-39序號(hào)訓(xùn)練后x1訓(xùn)練前x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D212323024136561416144858-1010015545224166258416175044636182526-11196359416204537-864213932749224853--525序號(hào)訓(xùn)練后x1訓(xùn)練前x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D223424024243835-39255356-3926494186427242139285460-63629433498130514011121316064-416324739864總和14911413781584檢驗(yàn)的步驟提出假設(shè)選擇統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值選擇檢驗(yàn)的形式：單尾檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷所以在0.05顯著性水平上，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即三天射擊訓(xùn)練有顯著效果。獨(dú)立樣本檢驗(yàn)獨(dú)立大樣本：兩個(gè)樣本容量都大于30的樣本。獨(dú)立小樣本：兩個(gè)樣本容量都小于30或其中一個(gè)小于30的樣本。獨(dú)立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立大樣本平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤為：（1）當(dāng)兩個(gè)樣本相應(yīng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)（2）當(dāng)兩個(gè)樣本相應(yīng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)例：某校高一學(xué)生英語測驗(yàn)成績?nèi)缦卤硭荆瑔柲信⒄Z測驗(yàn)成績是否有顯著性差異？性別人數(shù)樣本平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差男18076.511.50女17478.210.50高一男女生英語測驗(yàn)成績結(jié)果統(tǒng)計(jì)表檢驗(yàn)步驟提出假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值選擇檢驗(yàn)的形式（雙尾檢驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)決斷所以接受原假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)，即高一男女生英語測驗(yàn)成績無顯著性差異。獨(dú)立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（應(yīng)在方差齊性檢驗(yàn)之后進(jìn)行）方差齊性獨(dú)立小樣本平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤（方差齊性時(shí)的情況）若未知，可用代替。例：從高二年級(jí)隨機(jī)抽取兩個(gè)小組，在化學(xué)教學(xué)中實(shí)驗(yàn)組采用啟發(fā)探究法，對(duì)照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗(yàn)結(jié)果如下表所示，問兩種教學(xué)法是否有顯著性差異？（根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)確知啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法）序號(hào)實(shí)驗(yàn)組對(duì)照組X12X2216460642602

25859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069

692

總和5994533632123277以原始數(shù)據(jù)檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組化學(xué)平均分差異顯著性用表檢驗(yàn)的步驟提出假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值確定檢驗(yàn)的形式（單尾檢驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)決斷所以在0.01顯著性水平上差異顯著，即高二化學(xué)啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授方差不齊性獨(dú)立樣本平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)總體方差不齊性的兩個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，可用兩個(gè)樣本方差分別估計(jì)出的兩個(gè)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤平方和再開方來表示。這時(shí)樣本平均數(shù)之差的離差統(tǒng)計(jì)量呈與t分布相近的t，分布，它有3種表示形式：例：18個(gè)走讀生與7個(gè)同齡住宿生自學(xué)能力得分如下表所示，問走讀生與住宿生自學(xué)能力是否有顯著性差異？序號(hào)XX2序號(hào)XX2走讀生住宿生走讀生住宿生走讀生住宿生走讀生住宿生119331923321125

252

224282422821227

272

310301023021314

142

432343223421422

222

5629622921523

232

62136212362168

82

720332023321711

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826

262

1827

272

912

122

總和33022372447155103

32

檢驗(yàn)的步驟提出假設(shè)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值選擇檢驗(yàn)的形式（雙尾檢驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)決斷1、用總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)計(jì)算：查t值表得：將相關(guān)數(shù)據(jù)代入上式的計(jì)算0.05顯著性水平臨界值的近似值2、用樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算3、用原始數(shù)據(jù)計(jì)算同理可計(jì)算得：0.01顯著性水平的臨界值所以在0.01顯著性水平上拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即走讀生與住宿生自學(xué)能力，從總體上來說有極其顯著性差異。方差齊性檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)總體的方差是否有顯著性差異所進(jìn)行的檢驗(yàn)稱為方差齊性（相等）檢驗(yàn)。對(duì)兩個(gè)獨(dú)立樣本方差是否齊性，需進(jìn)行F檢驗(yàn)；對(duì)兩個(gè)相關(guān)樣本方差是否齊性，需進(jìn)行t檢驗(yàn)。1、F分布若從方差相同的兩個(gè)正態(tài)總體中，隨機(jī)地抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，以此為基礎(chǔ)，分別求出兩個(gè)相應(yīng)總體方差的估計(jì)值，這兩個(gè)總體方差估計(jì)值的比值稱為F比值，即。F比值的抽樣分布稱為F分布。

在一般情況下，經(jīng)常應(yīng)用的是右側(cè)F檢驗(yàn)，所以F比值表只列有右側(cè)理論值（臨界值）。在計(jì)算樣本的F值時(shí)，要求將總體方差估計(jì)值較大的作為分子，而總體方差值較小的作為分母，使計(jì)算所得的F值落在1和大于1的范圍內(nèi)，以便在作F檢驗(yàn)時(shí)，將實(shí)際計(jì)算出的F值與查表所得臨界值相比較。兩個(gè)獨(dú)立樣本的方差齊性檢驗(yàn)例：從高二年級(jí)隨機(jī)抽取兩個(gè)小組，在化學(xué)教學(xué)中實(shí)驗(yàn)組采用啟發(fā)探究法，對(duì)照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗(yàn)結(jié)果如下表所示（根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)確知啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法），問兩種教學(xué)法測驗(yàn)分?jǐn)?shù)總體方差是否齊性？

實(shí)驗(yàn)組X1對(duì)照組X21646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069

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總和

實(shí)驗(yàn)組X1對(duì)照組X21646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069

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總和實(shí)驗(yàn)組對(duì)照組1646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069692總和檢驗(yàn)步驟提出假設(shè)選擇并計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值根據(jù)分子的自由度為8，分母的自由度為9，查表得統(tǒng)計(jì)決斷因?yàn)?.21<3.23，所以接受原假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)，即啟發(fā)探究法與傳統(tǒng)講授法兩種測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的總體方差為齊性，或者說，兩個(gè)樣本方差來自同一個(gè)總體。兩個(gè)相關(guān)樣本的方差齊性檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)相關(guān)樣本的方差進(jìn)行齊性檢驗(yàn)時(shí)，需用t檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

說明:分別表示兩個(gè)樣本的方差；r表示兩個(gè)樣本之間的相關(guān)系數(shù)；n表示樣本容量。例：用A，B兩卷對(duì)36名學(xué)生分別進(jìn)行測驗(yàn)，結(jié)果A卷的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，B卷的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，A、B兩卷的相關(guān)系數(shù)r=0.40，問A、B兩試卷的方差是否齊性？檢驗(yàn)步驟提出假設(shè)選擇統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值確定檢驗(yàn)的形式（雙尾檢驗(yàn)）統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)自由度查表得，因?yàn)?.068小于2.032，所以接受原假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)，即方差齊性。練習(xí)題1一個(gè)樣本容量為10的配對(duì)樣本，實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組分別施以兩種教學(xué)方法，后期測驗(yàn)結(jié)果如下表，試比較兩種教學(xué)方法是否有顯著性差異？組別實(shí)驗(yàn)組對(duì)照組116.113.1213.26.3315.812.5418.216.7514.09.2616.314.6715.213.889.510.4913.910.51018.414.7練習(xí)題2某校8名自由體操隊(duì)員訓(xùn)練前后兩次得分如下表，問訓(xùn)練是否有效？序號(hào)實(shí)驗(yàn)組對(duì)照組1162021414318164202151519614157171582119練習(xí)題3測得甲、乙兩所小學(xué)二年級(jí)學(xué)生的身高如下表，試問這兩所小學(xué)二年級(jí)學(xué)生的身高是否有顯著性差異？校別人數(shù)n平均身高標(biāo)準(zhǔn)差甲10013615.4乙12012814.0練習(xí)題4下列數(shù)據(jù)是兩所幼兒園6歲兒童某項(xiàng)測驗(yàn)成績：甲園：11、8、10、11、9、10、9、12；乙園：13、14、9、13、11、12、12。試問兩所幼兒園該項(xiàng)測驗(yàn)成績是否有顯著性差異？練習(xí)題5某班地理測驗(yàn)5個(gè)男同學(xué)的得分分別為：70、72、69、67、71；11個(gè)女同學(xué)的得分分別為：46、89、91、56、80、84、51、99、42、64、48。問男女同學(xué)地理測驗(yàn)成績是否有顯著性差異？習(xí)題640人英語測驗(yàn)中的聽力和閱讀分?jǐn)?shù)的方差分別為7和9，兩部分滿分分?jǐn)?shù)相等，平均分?jǐn)?shù)相近，相關(guān)系數(shù)為0.52，問聽力與閱讀分?jǐn)?shù)的方差是否齊性？進(jìn)行均值比較及檢驗(yàn)的過程MEANS過程：不同水平下（不同組）的描述統(tǒng)計(jì)量Ttest過程：對(duì)樣本進(jìn)行T檢驗(yàn)的過程單一樣本的T檢驗(yàn)：檢驗(yàn)單個(gè)變量的均值是否與給定的常數(shù)之間存在差異。獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)：檢驗(yàn)兩組不相關(guān)的樣本是否來自具有相同均值的總體（均值是否相同，如男女的平均收入是否相同，是否有顯著性差異）配對(duì)T檢驗(yàn)：檢驗(yàn)兩組相關(guān)的樣本是否來自具有相同均值的總體(前后比較，如訓(xùn)練效果)One-WayANOVA：一元(單因素)方差分析，用于檢驗(yàn)幾個(gè)（三個(gè)或三個(gè)以上）獨(dú)立的組，是否來自均值相同的總體。如果分析變量明顯是非正態(tài)分布的，應(yīng)該選擇非參數(shù)檢驗(yàn)過程。單一樣本的T檢驗(yàn)概念：檢驗(yàn)單個(gè)變量的均值是否與給定的常數(shù)(指定的檢驗(yàn)值)之間存在顯著差異。如：要求樣本來自正態(tài)分布總體。