構造基本圖形-等腰三角形

人人都能獲得良好的數(shù)學教育不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展——數(shù)學課程標準修訂的主要內容武昌區(qū)教研培訓中心劉欣認識數(shù)學----什么是數(shù)學？原課標：數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程新課標：數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學

體現(xiàn)數(shù)學課程核心理念的三句話:人人學有價值的數(shù)學人人都能獲得必需的數(shù)學不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展人人都能獲得良好的數(shù)學教育不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展

數(shù)學課標修訂的主要方面:

1.關于基本理念2.關于設計思路3.關于課程目標4.關于課程內容5.關于課程實施

1.關于基本理念的修改（在前言中增加了課程性質的描述、修改、豐富了基本理念的一些提法）《前言》增加了對數(shù)學課程性質的表述數(shù)學課程的性質表述為，“義務教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性。義務教育階段的數(shù)學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎。數(shù)學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能；培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力；培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力；促進學生在情感、態(tài)度與價值觀等方面得到發(fā)展。”義務教育階段數(shù)學課程本質屬性事實上，義務教育階段數(shù)學課程這些本應被“突出體現(xiàn)”的屬性有被弱化（或“異化”）的傾向。在相當大范圍，義務教育階段的數(shù)學課程從一開始就被導入應試升學的軌道，“突出體現(xiàn)”的就是競爭性、區(qū)分性和篩選性，這給學生發(fā)展帶來諸多不利影響。因此，《標準》對義務教育階段數(shù)學課程本質屬性的強調頗有“正本清源”之意。什么是課程的基本理念？基本理念反映出我們對數(shù)學、數(shù)學課程、數(shù)學教學以及評價等方面應具有的基本認識和觀念、態(tài)度，它是制定和實施數(shù)學課程的指導思想?！稑藴省分械拿恳徊糠輧热荻家灤┗纠砟畹乃枷牒鸵蟆Ｍ瑫r，教師作為課程的實施者，更應自覺樹立起正確的數(shù)學觀、數(shù)學課程觀、數(shù)學教學觀、評價觀等數(shù)學教育觀念，并用以指導自己的教學實踐活動。

關于基本理念的修改原課標：

數(shù)學課程數(shù)學數(shù)學學習數(shù)學教學評價信息技術修改后：

數(shù)學課程課程內容

教學活動學習評價信息技術我們需要什么樣的數(shù)學教學？教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。

數(shù)學教學活動的本質是什么？什么是數(shù)學課堂教學中最需要做的事？數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應激發(fā)學生興趣，調動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。

原課標：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式?！?/p>

學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。原課標：教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。

教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得基本的數(shù)學活動經驗。原課標：“對數(shù)學學習的評價要關注學生學習的結果，更要關注他們學習的過程；要關注學生數(shù)學學習的水平,更要關注他們在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心。”

應建立目標多元、方法多樣的評價體系。評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程；既要關注學生數(shù)學學習的水平，也要重視學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我、建立信心。如何看待信息技術的運用？數(shù)學課程的設計與實施應根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效。要充分考慮信息技術對數(shù)學學習內容和方式的影響，開發(fā)并向學生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式2.關于設計思路的修改學段劃分保持不變對課程目標動詞及水平要求的設計基本保持不變，增加了目標動詞的同義詞對四個學習領域的名稱作適當調整對課程內容中的若干核心概念作適當調整，對其意義作更明確的闡釋核心概念課程目標的行為動詞及水平：《標準》使用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述學習活動結果目標的不同水平，使用“經歷、體驗、探索”等術語表述學習活動過程目標的不同程度。這些詞的基本含義如下。了解：從具體事例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。掌握：在理解的基礎上，把對象用于新的情境。運用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。經歷：在特定的數(shù)學活動中，獲得一些感性認識。體驗：參與特定的數(shù)學活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一些經驗。探索：獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識。

在標準中，使用了一些詞，表述與上述術語同等水平的要求程度。這些詞與上述術語之間的關系如下：（1）了解，同類詞：知道，初步認識（2）理解，同類詞：認識，會（3）掌握，同類詞：能（4）運用，同類詞：證明（5）經歷，同類詞：感受、嘗試（6）體驗，同類詞：體會對四個學習領域名稱的修改：

——總稱呼改為課程內容的四個部分原課標：數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計與概率實踐與綜合應用修改后：數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計與概率綜合與實踐關于10個核心概念的分析

——原課標也稱為“關鍵詞”原課標：數(shù)感符號感空間觀念（6個）統(tǒng)計觀念應用意識推理能力修改后：數(shù)感符號意識運算能力（10個）模型思想空間觀念幾何直觀推理能力數(shù)據(jù)分析觀念應用意識創(chuàng)新意識核心概念有何意義？

首先，《標準》將這些核心概念放在課程內容設計欄目下提出，是想表明，這些概念不是設計者超乎于數(shù)學課程內容之上外加的，而是實實在在蘊涵于具體的課程內容之中的。從這一意義上看，核心概念往往是一類課程內容的核心或主線，它有利于我們體會內容的本質，把握課程內容的線索，抓住教學中的關鍵。第二，這些核心概念都是數(shù)學課程的目標點，也應該成為數(shù)學課堂教學的目標，僅以“數(shù)學思考”和“問題解決”部分的目標設定來看，《標準》就提出了：“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”；“增強應用意識，提高實踐能力”；“體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”。這些目標表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。第三，深入一步講，很多核心概念都體現(xiàn)著數(shù)學的基本思想。數(shù)學基本思想集中反映為數(shù)學抽象、數(shù)學推理和數(shù)學模型思想。比如，與“數(shù)與代數(shù)”部分內容直接關聯(lián)的數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學要更關注其數(shù)學思想本質。第四，從這10個名詞的指稱來看，它們體現(xiàn)的都是學習主體——學生的特征，涉及的是學生在數(shù)學學習中應該建立和培養(yǎng)的關于數(shù)學的感悟、觀念、意識、思想、能力等，因此，可以認為，它們是學生在義務教育階段數(shù)學課程中最應培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)，是促進學生發(fā)展的重要方面。所以，把握好這些核心概念無論對于教師教學和學生學習都是極為重要的。核心概念一：數(shù)感

修訂后《標準》關于數(shù)感的提法是：“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。”存在數(shù)感嗎？（1）兩個實例給人的啟示：實例一：2010年2月25日，國家統(tǒng)計局公布的《2009年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示：我國70個大中城市房屋銷售價格同比上漲1.5%，其中新建住宅價格上漲1.3%。此報告一出立刻引起全國一片嘩然。公眾普遍反映此數(shù)據(jù)與實際狀況嚴重不符。實例二：一老師在教學指數(shù)冪的意義時，拋出一個現(xiàn)實情境問題：將一張紙對折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結論使學生在感到驚訝之余，更表示出強烈的質疑。該問題的結論是：其厚度可以超過世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。此例就其實質看，教師在這里利用的是，學生基于實際操作（將紙對折若干次）所建立起來的2

的直觀感覺與數(shù)學科學計算得出的結果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設出一個生動的極富吸引力的學習環(huán)境這一實例說明，學生在學習數(shù)學概念時，其固有的數(shù)感不僅在起作用，而且老師若能適時地利用學生原有數(shù)感的特點，使其形成課堂教學中的認知沖突，則能大大提高課堂教學的效率。32（2）何為數(shù)感？關于數(shù)感（NumberSense），在原標準中未作內涵解釋，只從外延上指出它所包括的內容。經過這么多年的課改實踐，研究者對數(shù)感在理論上有了一些探討，第一線教師在課堂教學實踐中也對培養(yǎng)學生的數(shù)感做了許多有益的嘗試。此次修訂，認真聽取了各方意見，吸納了前期實驗研究的一些成果，重新對數(shù)感的內涵及功能作了表述。

修訂后《標準》關于數(shù)感的提法《標準》的提法是：“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系?！睂?shù)感表述為“感悟”原來，對數(shù)感內涵的認識較多強調其直覺、感知、潛意識、經驗等方面，在教學中常常感到“虛”，找不到教學支點。

將數(shù)感表述為“感悟”不僅使這一概念有了較為明晰的界定，也使得這一概念有了更實在的意義，有利于一線教師的理解和把握。它揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領悟。感悟是既通過肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分《標準》將這種對數(shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計，這主要是基于義務教育階段數(shù)學課程內容的范圍并根據(jù)學生的實際所作出的要求，這有利于教師在教學中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線。緊密結合現(xiàn)實生活

情境和實例，培養(yǎng)學生的數(shù)感

現(xiàn)實生活情境和實例，與學生的實際生活經驗密切相連，不僅能夠為學生提供真實自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學生在數(shù)的認知上經歷由具體到抽象的過程，逐步發(fā)展學生關于數(shù)的思維。反之，學生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周圍世界，正如《標準》所說：“建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系?！?/p>

核心概念二：符號意識

（1）何為符號意識？所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數(shù)字、字母、圖形、關系式等等構成了數(shù)學的符號系統(tǒng)符號意識（Symbolsense）是學習者在感知、認識、運用數(shù)學符號方面所作出的一種主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。（2）符號意識的含義《標準》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會：其一，能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律。即對數(shù)學符號不僅要“懂”，還要會“用”符號“操作”其二，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。這涉及到的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關系轉換、等價推演、模型抽象及模型解決等等符號表達與符號思考其三，使學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。這又引出了兩個除符號理解和操作之外的要求，即符號的表達與思考。概括起來，符號意識的要求就具體體現(xiàn)于符號理解、符號操作、符號表達、符號思考四個維度。發(fā)展符號意識最重要的是運用符號進行數(shù)學思考，我們不妨把這種思考稱為“符號思考”例：“房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？”

如果學生沒有經過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓練，他完全可以使用恰當?shù)姆栠M行數(shù)學思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程組的、關于字母的思考方式來加以解決。核心概念三：空間觀念

（1）空間觀念的含義空間觀念是指對物體及其幾何圖形的形狀、大小、位置關系及其變化建立起來的一種感知和認識，空間想象是建立空間觀念的重要途徑空間觀念也是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造

（2）《標準》中空間觀念所提出的要求《標準》從四個方面提出了要求：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。核心概念四：幾何直觀

——此次新增的核心概念（1）對幾何直觀的認識顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考、想象。它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。幾何直觀在研究、學習數(shù)學中的價值由此可見一般。（2）《標準》中幾何直觀的含義

《標準》指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用?！彼砻鳎航窈髷?shù)學課程中有兩件事需要刻意去做，即針對較抽象的數(shù)學對象的“圖形表示”和“圖形分析”。前者指教學中要培養(yǎng)學生通過畫圖來表達數(shù)學問題的習慣，能畫圖時盡量畫；后者指引導學生借助圖形將相對抽象的、復雜的數(shù)學關系直觀、清晰地展示出來，通過對圖形的分析思考進而尋求解決問題的思路。（3）幾何直觀的培養(yǎng)使學生養(yǎng)成畫圖習慣,鼓勵用圖形表達問題可以通過多種途徑和方式使學生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學中應有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，其實質是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學的過程變得直觀重視變換——讓圖形動起來

幾何變換或圖形的運動既是學習的對象，也是認識數(shù)學的思想和方法。在數(shù)學中，我們接觸的最基本的圖形都是對稱圖形，例如圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等；另一方面，在認識、學習、研究非對稱圖形時，又往往是運用這些對稱圖形為工具的。變換又可以看作運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉180度，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。

學會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學

數(shù)形結合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉化的意識，這種對數(shù)學的認識和運用的能力，應該是形成正確的數(shù)學態(tài)度所必需要求的。

用“圖形法”解決問題掌握、運用一些基本圖形解決問題把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數(shù)學教學、學習的始終。例如，除了前面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標系等等。在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為教學中關注的目標。核心概念五：數(shù)據(jù)分析觀念

——由統(tǒng)計觀念改為數(shù)據(jù)分析觀念

原課標中的“統(tǒng)計觀念”，強調的是從統(tǒng)計的角度思考問題，認識統(tǒng)計對決策的作用，能對數(shù)據(jù)處理的結果進行合理的質疑等要求。此次將其改為“數(shù)據(jù)分析觀念”，就是希望改變過去這一概念含義較“泛”，體現(xiàn)統(tǒng)計與概率的本質意義不夠鮮明的弱點，而將該部分內容聚焦于“數(shù)據(jù)分析”。

（1）數(shù)據(jù)分析觀念的含義

數(shù)據(jù)分析觀念是學生在有關數(shù)據(jù)的活動過程中建立起來的對數(shù)據(jù)的某種“領悟”、由數(shù)據(jù)去作出推測的意識、以及對于其獨特的思維方法和應用價值的體會和認識。一是過程性（或活動性）要求：讓學生經歷調查研究，收集、處理數(shù)據(jù)的過程，通過數(shù)據(jù)分析作出判斷，并體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息二是方法性要求：了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析方法，需要根據(jù)問題背景選擇合適的數(shù)據(jù)分析方法三是體驗性要求：通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性（2）數(shù)據(jù)分析觀念的要求：核心概念六：運算能力

——此次增加的核心概念

運算是數(shù)學的重要內容，在義務教育階段的數(shù)學課程的各個學段中，運算都占有很大的比重。學生在學習數(shù)學的過程中，要花費較多的時間和精力，學習和掌握關于各種運算的知識及技能，并發(fā)展運算能力。（1）標準對運算能力的要求《標準》指出：運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。（2）對運算能力的認識運算的正確、有據(jù)、合理、簡潔是運算能力的主要特征。運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力，更是一種數(shù)學的思維能力。核心概念七：推理能力

此次《標準》提出的推理能力與過去相比，有這樣一些特點：一是進一步指明了推理在數(shù)學學習中的重要意義?！稑藴省分赋觯骸巴评硎菙?shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式”。它對教學的啟示是，不僅要引導學生認識到推理是數(shù)學的重要基礎之一，它與人們的生活息息相關，更重要的是要逐步培養(yǎng)學生運用推理進行思維的方式。突出了合情推理與演繹推理二是基于數(shù)學推理的特點，突出了合情推理與演繹推理這條主線。指出在數(shù)學思維和問題解決的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成——合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論。

引導學生多經歷“猜想——證明”的問題探索過程

三是強調推理能力的培養(yǎng)“應貫穿于整個數(shù)學學習過程中”。

其一，它應貫穿于整個數(shù)學課程的各個學習內容，其二，它應貫穿于數(shù)學課堂教學的各種活動過程其三，它應貫穿于整個數(shù)學學習的環(huán)節(jié)也應貫穿于三個學段，合理安排，循序漸進，協(xié)調發(fā)展使學生多經歷

“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學生能親身經歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結論、用演繹推理證明結論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學活動經驗，這對于學生數(shù)學素養(yǎng)的提升極為有利。教師要善于對素材進行此類加工，引導學生多經歷這樣的活動。核心概念八：模型思想在義務教育階段提出模型思想主要有如下理由：第一，模型思想是一種基本的數(shù)學思想；第二，模型思想及相應的建模活動與很多課程目標點密切相關（如數(shù)感、符號意識、幾何直觀、發(fā)現(xiàn)、提出問題能力、數(shù)學的聯(lián)系、數(shù)學應用意識、改善數(shù)學學習方式等等），提出模型思想能很好地支撐這些課程目標的實現(xiàn)；

第三，模型思想本身就滲透于各課程內容領域之中，突出模型思想有利于更好理解、掌握所學內容；第四，培養(yǎng)學生的模型思想對義務教育階段學生來說是可行的。此外還要看到，數(shù)學建模已是高中數(shù)學課程的學習內容，提出模型思想亦能更好與高中課程銜接。對數(shù)學建模的認識所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的和問題，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數(shù)學結構。在義務教育階段數(shù)學中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型。數(shù)學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過程。這一過程的步驟可用如下框圖來體現(xiàn)：觀察實際情境發(fā)現(xiàn)提出問題抽象成數(shù)學模型得到數(shù)學結果可用結果檢驗合乎實際不合乎實際修改

這些步驟反映的是一個相對嚴格的數(shù)學建模過程，義務教育階段特別是小學的數(shù)學建模視具體課程內容要求，不一定完全經歷所有的環(huán)節(jié)，這里有一個逐步提高的過程。

《標準》中模型思想的含義及要求模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。使學生體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系是這一核心概念的本質要求《標準》從義務教育數(shù)學課程的實際情況出發(fā)，將這一過程進一步簡化為這樣三個環(huán)節(jié)：首先是“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象數(shù)學問題”。這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學建模的起點。然后“用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律”。在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。最后，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。模型思想的培養(yǎng)在三學段，主要是結合相關概念學習，引導學生運用函數(shù)、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統(tǒng)計表格等分析表達現(xiàn)實問題，解決現(xiàn)實問題。模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應該蘊含于日常教學之中，使學生經歷“問題情境——建立模型

——求解驗證”的數(shù)學活動過程

“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學活動過程體現(xiàn)了《標準》中模型思想的基本要求，也有利于學生在過程中理解、掌握有關知識、技能，積累數(shù)學活動經驗，感悟模型思想的本質。這一過程更有利于學生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。方程與模型實際情境數(shù)學問題已知量、未知量、等量關系方程（模型）方程的解分析抽象解釋解的合理性合乎實際求出列出不合乎實際驗證核心概念九：應用意識應用意識有兩個方面的含義：一方面有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題——數(shù)學知識現(xiàn)實化另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決。

——現(xiàn)實問題數(shù)學化核心概念十：創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終。從基礎、核心、方法三個方面指明了創(chuàng)新意識的要素。這為我們培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識提出了幾個基本的切入點和路徑，使創(chuàng)新意識的培養(yǎng)落在了比較實在的載體上，即圍繞這三個要素，教師應緊緊抓住“數(shù)學問題”、“學會思考”、“猜想、驗證”這幾個點，做足教學中的“文章”，創(chuàng)新意識培養(yǎng)的目標就有可能得到落實。3.關于課程目標的修改

在目標的結構上仍按：總體目標總體表述知識技能數(shù)學思考問題解決情感態(tài)度學段目標第一學段第二學段第三學段（1）目標上有哪些變化？

在總體目標中突出了“培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力”的改革方向和目標價值取向。

變化之一：明確提出四基，即“基礎知識、基本技能、基本活動經驗、基本思想”變化之二：針對創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，明確提出“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”變化之三：針對了解知識的來龍去脈，明確提出“體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系”變化之四：對于情感態(tài)度的培養(yǎng)，進一步明確“了解數(shù)學的價值,提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣”變化之五：針對學科精神的培養(yǎng)，明確提出“具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度”數(shù)學課程總目標有那些新變化？（2）對幾個新目標點的分析目標點一：“四基”從“雙基”到“四基”

——對數(shù)學教學有何意義？何為數(shù)學基本思想？德國諾貝爾獎獲得者、物理學家馮.勞厄：

“教育無非是一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西”數(shù)學課堂教學應該是有思想的教學！有了思想才有了課堂的生命何為數(shù)學基本思想？數(shù)學基本思想是指對數(shù)學及其對象、數(shù)學概念和數(shù)學結構以及數(shù)學方法的本質性認識數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中；它制約著學科發(fā)展的主線和邏輯架構；是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。如歸納、演繹、抽象、轉化、分類、模型、結構、數(shù)形結合、隨機…等。如何理解？三個常用的概念：

數(shù)學思想數(shù)學方法數(shù)學思想方法注意教材中蘊含的數(shù)學基本思想在課程內容和教材中，數(shù)學基本思想其實是很豐富的，這些思想常常處于潛形態(tài)，教師要成為有心人

如何使數(shù)學思想從潛形態(tài)轉變?yōu)轱@形態(tài)呢？

※分類

※化歸

※歸納

什么是數(shù)學活動經驗?

數(shù)學活動經驗的基本特征：數(shù)學活動經驗是基于學習主體的，它帶有明顯的主體性特征，因此也就具有學習者的個性特征，它屬于特定的學習者自己。

—主體性數(shù)學活動經驗是學習者在學習的活動過程中所獲得的，離開了活動過程這一實踐是不會形成有意義的數(shù)學活動經驗的

—實踐（過程）性數(shù)學活動經驗反映的是學習者在特定的學習環(huán)境中或某一學習階段對學習對象的一種經驗性認識，這種經驗性認識更多的時候是內隱的，原生的或直接感受的、非嚴格理性的，也是可在學習過程中可變的。

—發(fā)展性即使是外部條件看來相同，但是對同一對象，每一個學生仍然可能具有不同的經驗

——多樣性數(shù)學活動經驗的類型：直接的活動經驗，間接的活動經驗，設計的活動經驗和思考的活動經驗。直接的活動經驗是與學生日常生活直接聯(lián)系的數(shù)學活動中所獲得的經驗，如購買物品、校園設計等。而間接的活動經驗是學生在教師創(chuàng)設的情景、構建的模型中所獲得的數(shù)學經驗，如雞兔同籠、順水行舟等。設計的活動經驗是學生從教師特意設計的數(shù)學活動中所獲得的經驗，如隨機摸球、地面拼圖等。思考的活動經驗是通過分析、歸納等思考獲得的數(shù)學經驗，如預測結果、探究成因等。數(shù)學活動經驗并不僅僅是解題的經驗，

更加重要的是在數(shù)學活動中思考的經驗提出數(shù)學活動經驗，還有一個重要目的，就是培養(yǎng)學生在活動中從數(shù)學的角度進行思考，直觀地、合情地獲得一些結果，因為進行創(chuàng)造，獲得新結果的主要途徑是作出猜想。數(shù)學活動經驗并不僅僅是解題的經驗，更加重要的是思維的經驗，是在數(shù)學活動中思考的經驗。數(shù)學基本活動經驗：學習主體通過親身經歷數(shù)學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗?！八幕笔强陀^性知識與主觀性體驗的結合是結果性知識與過程性活動的結合

經驗，在哲學上指人們在同客觀事物直接接觸的過程中通過感覺器官獲得的關于客觀事物的現(xiàn)象和外部聯(lián)系的認識?！八幕迸c數(shù)學素養(yǎng)掌握數(shù)學基礎知識訓練數(shù)學基本技能領悟數(shù)學基本思想積累數(shù)學基本活動經驗

——發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力目標點二：為何要強調

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題？在數(shù)學中，發(fā)現(xiàn)結論常常比證明結論更重要創(chuàng)新性的成果往往始于問題傳統(tǒng)教學在這方面的不足問題解決的全過程是發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”所謂“發(fā)現(xiàn)問題”，是經過多方面、多角度的數(shù)學思維，從表面上看來沒有關系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或者空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量或者空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾提煉出來。所謂“提出問題”，是在已經發(fā)現(xiàn)問題的基礎上，把找到的聯(lián)系或者矛盾用數(shù)學語言、數(shù)學符號集中地以“問題”的形態(tài)表述出來發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決針對的是問題解決的全程，是數(shù)學能力要求發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是創(chuàng)新的基礎諾貝爾獎金獲得者李政道教授認為“我們學習知識，目的是要做到‘學問’。學習，就是學習問問題，學習怎樣問問題?！苯處熞朴趯㈥愂鲂灾R的教材進行二度設計轉換成一系列問題序列，使教學成為問題解決的活動過程教師更要善于創(chuàng)設問題情境，引導學生自己去發(fā)現(xiàn)、提出、分析解決問題目標點三：增強數(shù)學的聯(lián)系這里說到學生要體會三個方面的聯(lián)系：數(shù)學知識之間的聯(lián)系（系統(tǒng)性、綜合性）數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系（相關性、工具性）數(shù)學與生活之間的聯(lián)系（應用性）目標點四：數(shù)學學習習慣第一次提出“培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣”《標準》在“情感與態(tài)度”目標中具體指明了其含義：

“養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣?！笔裁词菍W習習慣？

為什么要提出培養(yǎng)學習習慣？學習習慣指在長期的學習中逐漸養(yǎng)成的、較穩(wěn)固的學習行為、傾向和習性。之所以提出數(shù)學學習習慣，一是因為在長達九年的義務教育學習階段，一個人在學習上的習慣總是處于不斷的養(yǎng)成過程中，它是與學習行為相伴而行的，客觀存在的。

在日常教學中刻意誘導，潛移默化，點滴

積累，通過長時間的磨練，方能習以為常。

二是良好的數(shù)學學習習慣具有很強的心理內驅力和學習目標達成的慣性力，它有利于學生通過自主學習形成學習的正向遷移，提高學習效率三是良好的數(shù)學學習習慣能幫助學生逐步實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉變，使學生今后在適應終身學習上受益。4.關于內容標準的修改將“內容標準”的提法改為“課程內容”課程內容中的條目數(shù)量統(tǒng)計（三學段）

原標準修訂標準差數(shù)與代數(shù)

4852（3）+4(3)圖形與幾何

8389（4）+6(4)統(tǒng)計與概率

1311-2綜合與實踐

43-1合計

148155（7）+7(7)三學段關于課程內容的修改數(shù)與代數(shù)：增加了：知道｜a｜的含義（這里a表示有理數(shù)）知道最簡二次根式和最簡分式的概念能進行簡單的整式乘法運算中增加了一次式與二次式相乘會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等會用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析表達式數(shù)與代數(shù)：增加了：*了解一元二次方程根與系數(shù)關系*能解簡單的三元一次方程組*知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數(shù)刪除的內容：能對含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋與推斷了解有效數(shù)字的概念能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式組，解決簡單的問題求絕對值時關于“絕對值符號內不含字母”的限制。

圖形與幾何（三學段）：內容結構上略有調整（圖形的性質、圖形的運動、圖形與坐標）（原來是圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明）對基本事實規(guī)定更清晰（9條），不再使用“公理”這個詞增強了“圖形與幾何”內容的條理性，進一步闡述了合情推理和演繹推理的關系，強調了幾何證明表述方式的多樣性增加了：會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義了解平行于同一條直線的兩條直線平行會按照邊長的關系和角的大小對三角形進行分類了解并證明圓內接四邊形的對角互補；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系尺規(guī)作圖：過一點作已知直線的垂線已知一直角邊和斜邊作直角三角形作三角形的外接圓、內切圓作圓的內接正方形和正六邊形*了解平行線性質定理的證明；*了解相似三角形判定定理的證明；*探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧；*探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長相等；*了解圓周角及其推論的證明；例

證明兩直線平行，同位角相等。這個證明可以利用反證法完成。如圖15所示，我們希望證明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假設∠1≠∠2，過點O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”這個基本事實，可得A′B′∥CD。這樣，過點O就有兩條直線AB，A′B′平行于CD，這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設是不對的，于是有∠1＝∠2。*了解平行線性質定理的證明基本事實1：兩點確定一條直線?；臼聦?：兩點之間線段最短?；臼聦?：過一點有且只有一條直線與這條直線垂直。基本事實4：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。基本事實5：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行?；臼聦?：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等?；臼聦?：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。基本事實8：三邊分別相等的兩個三角形全等?；臼聦?：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例?；臼聦?條刪去了：刪去了有關等腰梯形的內容刪去了“探索并了解兩圓位置關系”降低了關于視圖與投影的要求，刪去關于影子、視點、視角、盲區(qū)等內容以及對雪花曲線和莫比烏斯帶等圖形的欣賞刪去關于鏡面對稱的要求統(tǒng)計與概率：

較為系統(tǒng)地整理了“統(tǒng)計與概率”，減少了概率的部分內容，使得三個學段的層次更加清晰，表達更加準確。

統(tǒng)計內容主要變化如下：

第一學段與《標準》相比，最大的變化是鼓勵學生運用自己的方式（包括文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結果，不要求學生學習“正規(guī)”的統(tǒng)計圖（一格代表一個單位的條形統(tǒng)計圖）以及平均數(shù)（這些內容放在了第二學段）。第二學段與《標準》相比，在統(tǒng)計量方面，只要求學生體會平均數(shù)的意義，不要求學生學習中位數(shù)、眾數(shù)（這些內容放在了第三學段）。

加強體會數(shù)據(jù)的隨機性這是修改后的一個重要變化。原來，學生主要是依靠概率來體會隨機思想的，現(xiàn)在希望學生通過數(shù)據(jù)來體會隨機思想。這種變化從“數(shù)據(jù)分析觀念”核心詞的表述可以看出。

第三學段，刪去極差、頻數(shù)折線圖等內容，強調了對“隨機”的體會。比如，增加了“通過案例了解簡單隨機抽樣”、“通過表格、折線圖等，了解隨機現(xiàn)象的變化趨勢”、增加了能用計算器處理較為復雜的數(shù)據(jù)、理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù).強調培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念，加強體會數(shù)據(jù)的隨機性。概率部分：（1）在第一學段，去掉了該內容的要求；第二學段，只要求學生體會隨機現(xiàn)象，并能對隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做定性描述。（2）第三學段，通過列出簡單隨機現(xiàn)象所有可能的結果，以及指定事件發(fā)生的所有結果，來了解隨機現(xiàn)象發(fā)生的概率。統(tǒng)計與概率未采納的意見：主要是希望在第二學段保留“中位數(shù)、眾數(shù)”，在第三學段增加“標準差”。考慮到義務教育階段統(tǒng)計學習核心是發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，對于分析數(shù)據(jù)特征，關鍵是讓學生認識到可以刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢和離中程度，而不在于學習過多的概念，所以沒有采納此建議。“綜合與實踐”是一類以問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數(shù)學活動經驗、培養(yǎng)學生應用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑綜合與實踐

統(tǒng)一了三個學段的名稱，進一步明確了其目的和內涵學生針對問題情境，綜合所學知識及生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數(shù)學各部分內容之間、數(shù)學與生活實際之間、數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，加深對所學數(shù)學內容的理解5.實施建議的修改

實施建議的修改。將原來的按三個學段分別表述改為整體表述，避免不必要的重復，并增強了可操作性。為了使教材編寫者和廣大教師能夠更好地理解《標準》的理念，明確教學的過程與方法，增補一些具有針對性的案例，并且對于案例的教學功能等進行了比較詳細地闡述。

術語解釋與案例術語解釋與案例匯總作為附錄，統(tǒng)一放在正文后面，使正文更加簡捷清晰；

增加了一些幫助教師理解、澄清困惑的案例。案例數(shù)達到82個。對大部分案例不僅僅呈現(xiàn)了案例要求本身，而且提出了案例的設計思路及教學過程建議，有利于教師理解課程內容、體會數(shù)學思想、實施教學。修訂原則：關注數(shù)學的科學性、教學的合理性，兩者兼顧.教材體系保持相對穩(wěn)定，適當調整，考慮使用教材的慣性

.附：教科書體系的修訂1.數(shù)與代數(shù)方程函數(shù)一元一次方程（七上）二元一次方程組（七下）一次函數(shù)（八下）一元二次方程（九上）二次函數(shù)（九上）反比例函數(shù)（九下）

一次函數(shù)后移，使學生學習函數(shù)的難點移后。二次函數(shù)提前，加強與一元二次方程的聯(lián)系。反比例函數(shù)移后，便于學生理解涉及的一些物理等相關知識。代數(shù)式方程、函數(shù)整式的加減（七上）一元一次方程（七上）二元一次方程組（七下