第三章 形態(tài)學處理

形態(tài)學圖像處理第九章形態(tài)學形態(tài)學是生物學的一個分支，它是研究動物和植物的形態(tài)和結(jié)構的學科。數(shù)學形態(tài)學被作為工具從圖像中提取對于表達和描述區(qū)域形狀有用處的圖像分量，例如邊界、骨架以及凸殼。主要內(nèi)容集合論膨脹和腐蝕開操作與閉操作常用形態(tài)學提取灰度級圖像擴展集合、并集、交集、補集、集合的差9.1集合論的幾個基本概念集合A、B并集交集補集集合的差

1、集合令A為Z中的一個集合，如果a=(a1,a2)是A中的元素，則表示為；如果a不是A的元素，則寫成

9.1集合論的幾個基本概念2、集合的子集與相等

且當且僅當和同時成立時,稱集合A和B集合相等。

9.1集合論的幾個基本概念BA3、集合的并

集合A和B集合的并9.1集合論的幾個基本概念4、集合的交

9.1集合論的幾個基本概念5、集合的補

集合的補9.1集合論的幾個基本概念6、集合的差

或集合的差9.1集合論的幾個基本概念

(1)集合的反射由集合A中所有元素相對于原點的反射元素組成的集合稱為集合A的反射，記為。

其中，x表示集合A中的元素a對應的反射元素。集合的反射圖示9.1集合的平移和反射

(2)集合的平移由集合A中所有元素平移z=(z1，z2)后組成的元素集合稱為集合A的平移，記為。

其中，x表示集合A中的元素a平移z后形成的元素。集合的平移圖示9.1集合的平移和反射二值圖像的邏輯運算二值圖像的邏輯運算膨脹和腐蝕是形態(tài)學處理的基礎。1、膨脹：A被B膨脹的定義為：該式表明膨脹過程是B首先做關于原點的映像，然后平移z。A被B膨脹是所有位移z的集合，這樣和A至少有一個元素是重疊的。集合B在膨脹操作中常被稱為結(jié)構元素。9.2膨脹與腐蝕膨脹運算的基本過程是：

（1）求結(jié)構元素B關于其原點的反射集合；（2）每當結(jié)構元素在目標圖像A上平移后，結(jié)構元素與其覆蓋的子圖像中至少有一個元素相交時，就將目標圖像中與結(jié)構元素的原點對應的那個位置的像素值置為“1”，否則置為0。注意：（1）當結(jié)構元素中原點位置的值是0時，仍把它看作是0；而不再把它看作是1。

（2）當結(jié)構元素在目標圖像上平移時，允許結(jié)構元素中的非原點像素超出目標圖像范圍。

9.2膨脹與腐蝕111

111

1111212112

12112

112112

11

1

1

11

（a）目標圖像A（b）結(jié)構元素B（c）結(jié)構元素（d）膨脹運算結(jié)果圖像

1、概念舉例：膨脹

2、結(jié)構元素形狀對膨脹運算結(jié)果的影響

當目標圖像不變，但所給的結(jié)構元素的形狀改變時；或結(jié)構元素的形狀不變，而其原點位置改變時，膨脹運算的結(jié)果會發(fā)生改變。9.2膨脹與腐蝕111

111

1111

12112

12112

112112

11

11

（a）目標圖像A（b）結(jié)構元素B（c）結(jié)構元素（d）膨脹運算結(jié)果圖像膨脹

下面給出的是目標圖像相同但結(jié)構元素不同時，膨脹運算結(jié)果不同的例子。

111

111

1111

2020202212210222210

211

222

11

1

1

11

（a）目標圖像A（b）結(jié)構元素B（c）結(jié)構元素（d）膨脹運算結(jié)果圖像膨脹

下面給出的是目標圖像相同，但僅結(jié)構元素的原點位置改變時，膨脹運算結(jié)果不同的例子。

1111利用膨脹運算將相鄰的物體連接起來

3、膨脹運算的應用

1111利用膨脹運算填充目標區(qū)域中的小孔

3、膨脹運算的應用

9.2膨脹與腐蝕9.2膨脹與腐蝕2、腐蝕：A被B腐蝕的定義為：該式表明腐蝕的結(jié)果為所有使B中包含于A中的點z的集合用z平移。膨脹和腐蝕對于集合求補運算和反射運算是彼此對偶的，即：9.2膨脹與腐蝕

腐蝕運算的含義是：每當在目標圖像A中找到一個與結(jié)構元素B相同的子圖像時，就把該子圖像中與B的原點位置對應的那個像素位置標注為1，圖像A上標注出的所有這樣的像素組成的集合，即為腐蝕運算的結(jié)果。

簡而言之，腐蝕運算的實質(zhì)就是在目標圖像中標出那些與結(jié)構元素相同的子圖像的原點位置的像素。

注意，結(jié)構元素中的原點位置可以不為1，但要求目標圖像中的子圖像與結(jié)構元素B的原點對應的那個位置的像素值是1。9.2膨脹與腐蝕

腐蝕運算的基本過程是：把結(jié)構元素B看作為一個卷積模板，每當結(jié)構元素平移到其原點位置與目標圖像A中那些像素值為“1”的位置重合時，就判斷被結(jié)構元素覆蓋的子圖像的其它像素的值是否都與結(jié)構元素相應位置的像素值相同；只有當其都相同時，就將結(jié)果圖像中的那個與原點位置對應的像素位置的值置為“1”，否則置為0。注意：當結(jié)構元素在目標圖像上平移時，結(jié)構元素中的任何元素不能超出目標圖像的范圍。

9.2膨脹與腐蝕1111111111110000100（a）目標圖像A（b）結(jié)構元素B（c）腐蝕運算結(jié)果圖像圖a腐蝕運算實例

1、概念9.2膨脹與腐蝕9.2膨脹與腐蝕

2、結(jié)構元素形狀對腐蝕運算結(jié)果的影響

腐蝕運算的結(jié)果不僅與結(jié)構元素的形狀(矩形、圓形、菱形等)選取有關，而且還與原點位置的選取有關。

11

111

1111

1100

010

1010圖b與圖a結(jié)構元素不同時的腐蝕運算實例9.2膨脹與腐蝕11

111

111111100

000

0100圖c與圖a的結(jié)構元素的原點不同時的腐蝕運算實例

2、結(jié)構元素形狀對腐蝕運算結(jié)果的影響舉例：

9.2膨脹與腐蝕1111利用腐蝕算法消除物體之間的粘連示例

2、結(jié)構元素形狀對腐蝕運算結(jié)果的影響舉例：

9.2膨脹與腐蝕利用腐蝕算法識別物體示例

3、腐蝕運算在物體識別中的應用舉例：

9.2膨脹與腐蝕

4、腐蝕運算與膨脹運算的對偶性

膨脹和腐蝕運算的對偶性可分別表示為：也即：對目標圖像的膨脹運算，相當于對圖像背景的腐蝕運算操作；對目標圖像的腐蝕運算，相當于對圖像背景的膨脹運算操作。9.2膨脹與腐蝕(a)目標圖像(b)結(jié)構元素B(c）膨脹(d)腐蝕(e)

的補(f)

的反射(g)腐蝕(h)膨脹1111111111111111111111111111

2

2112111211212

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11111111111111111111

1111111111111221111

21111

21111211111111100110100腐蝕運算與膨脹運算的對偶性－示例

9.2膨脹與腐蝕腐蝕和膨脹的幾個重要性質(zhì)：1、交換性：2、結(jié)合性：3、遞增性：4、分配性：9.2膨脹與腐蝕

1、開操作使用同一個結(jié)構元素對目標圖像先進行腐蝕運算,然后再進行膨脹運算稱為開操作。開操作一般使對象的輪廓變得光滑，斷開狹窄的間斷和消除細的突出物。結(jié)構元素B對目標圖像A的開操作定義為：9.3開操作與閉操作

11

1111

11

1

0

11

01

11

10

000100(a）目標圖像A

(b)結(jié)構元素BB的反射(c）B對A的腐蝕結(jié)果(d）B對(c)膨脹結(jié)果1

11

1、開操作舉例：11

119.3開操作與閉操作9.3開操作與閉操作圖8.18對含噪聲的印刷電路板圖像進行開運算實例

(a)印刷電路板二值圖像（b）對(a)進行開運算的結(jié)果圖像

1、開運算實例：9.3開操作與閉操作

2、閉操作使用同一個結(jié)構元素對目標圖像先進行膨脹運算,然后再進行腐蝕運算稱為閉操作。閉操作同樣使輪廓線更光滑，但它通常消弭狹窄的間斷和長細的鴻溝，消除小的孔洞，并填補輪廓線中的斷裂。結(jié)構元素B對目標圖像A的閉運算定義為：9.3開操作與閉操作111

111

1111212112

12112

112112

11

1

(b)結(jié)構元素B

(a）目標圖像A

(c）B對A的膨脹結(jié)果(d)B對(c)

腐蝕結(jié)果

2、閉操作舉例：

011

011

011

11

011

11

1111B的反射9.3開操作與閉操作電路板二值圖像閉運算實例

2、閉操作實例：(a)電路板二值圖像（b）對(a)進行閉運算的結(jié)果圖像

9.3開操作與閉操作

3、開運算與閉運算的對偶性開運算與閉運算互為對偶，并可表示為：閉操作可以使物體的輪廓線變得光滑。閉運算具有磨光物體內(nèi)邊界的作用，而開運算具有磨光圖像外邊界的作用。

9.3開運算與閉運算9.3開操作與閉操作9.3開操作與閉操作擊中或擊不中變換主要是在圖像中尋找相關對象的位置的一種方法。如果B可表示為由X和X的背景構成的集合，則在A中對B進行匹配的操作定義為：擊中或擊不中變換是形狀檢測的基本工具。通過腐蝕與膨脹之間的對偶關系，也存在：如果，變換也可以表示為：9.4擊中或擊不中變換9.4擊中或擊不中變換9.5基本的形態(tài)學算法1、邊界提?。哼吔缣崛】梢韵葘υ紙D像進行腐蝕，而后用原始圖像減去腐蝕的結(jié)果：B是一個適當?shù)慕Y(jié)構元素。當B的原點在圖像的邊界上時，結(jié)構元素的一部分在圖像的外面，此時假設圖像邊界外部的值為零。9.5.1邊界提取2、區(qū)域填充：以集合的膨脹、求補和交集為基礎對區(qū)域進行填充。B是一個適當?shù)慕Y(jié)構元素。當B的原點在圖像的邊界上時，結(jié)構元素的一部分在圖像的外面，此時假設圖像邊界外部的值為零。確定一個種子，當結(jié)果不發(fā)生變化時，認為填充結(jié)束。即時，迭代結(jié)束。9.5基本的形態(tài)學算法9.5.2區(qū)域填充9.5.2區(qū)域填充3、連通分量的提取：提取圖像中的連通分量。B是一個適當?shù)慕Y(jié)構元素。當B的原點在圖像的邊界上時，結(jié)構元素的一部分在圖像的外面，此時假設圖像邊界外部的值為零。確定一個種子，當結(jié)果不發(fā)生變化時，認為填充結(jié)束。當時，迭代結(jié)束。9.5基本的形態(tài)學算法9.5.3連通分量的提取9.5.3連通分量的提取凸性(convexity)：如某集合A中任意兩點的連線上的所有點都在該集合中，則稱該集合是凸的。凸殼：任意集合S的凸殼H（表示成C(S)）指的是包含S的最小凸集。差H-S稱為S的凸缺。凸缺/殼主要用于對象的描述。凸殼算法如下：其中Bi代表下頁圖所示的4個結(jié)構元素，且X0i＝A，令D=Xiconv為上述迭代的收斂(convergence)值,則A的凸殼由下式得到：凸殼算法的具體過程可參照下頁圖9.5基本的形態(tài)學算法9.5.4凸殼x219.5.4凸殼9.5.4凸殼上述方法的一個明顯的不足是凸殼可能在A基礎上生成的保證凸殼凸性所需的最小尺寸。一個簡單的解決辦法是限制結(jié)果凸殼不超過原集合水平和垂直方向的最大尺寸。上述結(jié)果經(jīng)過此限制后的凸殼如下。5、細化：根據(jù)擊中或擊不中變換進行定義：B是幾個適當?shù)慕Y(jié)構元素，反復使用擊中或擊不中變換。如果定義B為：則有：9.5基本的形態(tài)學算法其中是結(jié)構元素序列，且Bi是對Bi-1旋轉(zhuǎn)而來的。對所有結(jié)果元素操作一遍后，如果沒收斂，再依次對各個結(jié)構元素重復進行運算，直至沒有變化為止。9.5.5細化6、粗化：粗化在形態(tài)學上是細化的對偶過程。B是幾個適當?shù)慕Y(jié)構元素，反復使用擊中或擊不中變換。如果定義B為：則有：9.5基本的形態(tài)學算法其中所使用的結(jié)構元素序列與細化算法一樣，并把所有的1和0互換。9.5.6粗化實際應用中，很少直接用粗化算法，而是先對問題集合的補集（即背景集合）進行細化，接著對細化結(jié)果求補來得到粗化結(jié)果。但這種方式會產(chǎn)生不連續(xù)點，因此必須進行一些簡單的后處理來去掉不連續(xù)的點。9.5.7骨架7、骨架：提取圖像的骨架的過程，可以用腐蝕和開操作表達。B是幾個適當?shù)慕Y(jié)構元素，對Sk(A)反復使用腐蝕變換：有：9.5基本的形態(tài)學算法9.5.7骨架（a）原圖像（b）提取的原圖像的骨架圖像骨架提取實例9.5.7骨架9.5.8裁剪灰度膨脹灰度腐蝕灰度開和閉運算灰度形態(tài)學處理應用9.6灰度級圖像擴展9.6.1灰度膨脹令f(x,y)表示圖像，b(x,y)表示結(jié)構元素，(x,y)是整數(shù)坐標值對。f和b取實數(shù)或整數(shù)。b對f進行灰度膨脹可定義為：為對其有個清楚的理解，先看一下一維的情況，這時上式變?yōu)椋夯叶扰蛎浀男Ч喝绻械慕Y(jié)構元素的值是正的，則輸出圖像比輸入圖像更亮；暗的細節(jié)可被減少或消除，其程度依賴于這些暗細節(jié)的值和形狀與結(jié)構元素間的關系。一維灰度膨脹圖示注意：此圖中移動的是b而不是定義中的f，但結(jié)果是一樣的，因為膨脹運算滿足交換律。移動b而不是f更直觀，更簡單，因為b的尺寸通常小于f。9.6.2灰度腐蝕定義：同樣可以先看一下一維的情況，這時上式變?yōu)椋夯叶雀g的效果：如果所有的結(jié)構元素的值是正的，則輸出圖像比輸入圖像更暗；在比結(jié)構元素還小的區(qū)域中的亮細節(jié)效果將減弱，其程度依賴于環(huán)繞亮細節(jié)的灰度值，及結(jié)構元素的形狀和幅度值。一維灰度腐蝕圖示對一維膨脹示例中的同樣f和b，腐蝕的結(jié)果如下：灰度膨脹和腐蝕相對函數(shù)補和反射變換成對偶關系：灰度膨脹和腐蝕運算應用實例注意不同圖中亮和暗細節(jié)的變化灰度結(jié)構元素灰度膨脹和腐蝕運算應用實例9.6.3灰度開和閉運算開運算：閉運算：開、閉運算也相對補和反射操作成對偶關系開運算通常用于去除小的（相對于結(jié)構元素而言）亮細節(jié)，而保留總體的灰度及和大的亮的特征不變。因為開始的腐蝕操作消除小細節(jié)的同時也使圖像變暗，所以后面的膨脹過程用于增加圖像的整個強度，但不會再引入被去除的細節(jié)。(a)Y為某常數(shù)時的圖像界面(c）b在f下方滑動(d)開運算結(jié)果灰度開運算過程示意圖灰度開運算

采用該結(jié)構元素對目標圖像進行開運算的過程是：

在目標圖像下方滑動結(jié)構元素時，在每一點記錄結(jié)構元素上的最高點，則由這些最高點構成的集合即為開運算的結(jié)果。(b)球形結(jié)構元素b的界面灰度閉運算

采用該結(jié)構元素對目標圖像進行閉運算的過程是：

在目標圖像上方滑動結(jié)構元素時，在每一點記錄結(jié)構元素上的最低點，則由這些最低點構成的集合即為閉運算的結(jié)果。(b)球形結(jié)構元素b的界面(a)Y為某常數(shù)時的圖像界面(c）b在f上方滑動(d)閉運算結(jié)果灰度閉運算過程示意圖9.6.3灰度開和閉運算9.6.3灰度開和閉運算開、閉運算的效果開運算通常用于去除小的（相對于結(jié)構元素而言）亮細節(jié)，而保留總體的灰度及和大的亮的特征不變。因為開始的腐蝕操作消除小的亮細節(jié)的同時也使圖像變暗，所以后面的膨脹過程用于增加圖像的整個強度，但不會再引入被去除的細節(jié)。閉運算通常用于去除小的（相對于結(jié)構元