第4章 頻域分析

第4章頻域分析

4.1頻域分析法及其特點(diǎn)

4.2連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)控制的頻域分析

4.3MATLAB在頻域分析法中的應(yīng)用4.1頻域分析法及其特點(diǎn)4.1.1什么是頻域分析法4.1.2頻域分析法的特點(diǎn)

4.1.1什么是頻域分析法

頻域分析法（

傅里葉——J.Fourier,

1768-1830

）是一種變換域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常用的方法。所謂頻域分析，即在頻率域（簡稱頻域）內(nèi)分析、研究信號(hào)與系統(tǒng)控制的問題。“信號(hào)的頻域（頻譜）分析”利用信號(hào)的頻率特性，將周期信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)（序列）或虛指數(shù)信號(hào)（序列）的疊加，將非周期信號(hào)分解為相應(yīng)信號(hào)（序列）的頻譜函數(shù)的積分。這種分解具有明顯的物理意義，在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。

限于篇幅，本章只研究“連續(xù)”信號(hào)與系統(tǒng)控制的頻域分析，而對(duì)于“離散”信號(hào)與系統(tǒng)控制的問題，將在第5章“復(fù)頻域分析”中詳細(xì)討論。

4.1.2頻域分析法的特點(diǎn)1.明確的物理意義——信號(hào)的頻譜分析，揭示了信號(hào)的基本組成和能量的主要分布；系統(tǒng)控制的頻域分析，則明確了系統(tǒng)的基本濾波性能。2.圖解與漸近逼近——信號(hào)的“離散”或“連續(xù)”頻譜，非常直觀、明析；系統(tǒng)控制的Bode圖則可以快速、漸近畫出，且容易修正、逼近，因而具有簡單、形象、基本準(zhǔn)確的特點(diǎn)。3.近似與間接研究——根據(jù)信號(hào)頻譜的主要能量分布，可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的離散取樣與復(fù)現(xiàn)；根據(jù)系統(tǒng)控制的開環(huán)Bode圖，可研究系統(tǒng)的閉環(huán)性能并繪制

Nichols圖、得到系統(tǒng)的閉環(huán)特性曲線。4.可通過實(shí)驗(yàn)觀測——信號(hào)的頻譜可以通過頻譜分析儀觀察、測試；系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性則可以通過掃頻儀進(jìn)行觀察和測試。5.局限于LTI系統(tǒng)——頻域分析法僅限于LTI系統(tǒng)的分析與研究；對(duì)于滿足LTI條件的許多系統(tǒng)，都可以應(yīng)用頻域分析法進(jìn)行限于零狀態(tài)響應(yīng)的研究，但不宜進(jìn)行零輸入響應(yīng)與完全響應(yīng)的研究。4.2連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)控制的頻域分析4.2.1信號(hào)的頻譜4.2.2信號(hào)的傅立葉變換4.2.3采樣定理4.2.4連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

4.2.5連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性

4.2.6Nyquist穩(wěn)定判據(jù)與對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)4.2.7系統(tǒng)Bode圖的三頻段分析與閉環(huán)特性

4.2.8系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系

4.2.1信號(hào)的頻譜

1.

傅里葉級(jí)數(shù)

三角函數(shù)的正交性使得任意兩個(gè)不同的三角函數(shù)的乘積在一個(gè)周期內(nèi)的積分為0，即有

（4.2-1）

（4.2-2）

（4.2-3）

任一周期信號(hào)

都可由完備的正交三角函數(shù)集

中各正交函數(shù)的線性組合來表示。在此正交三角函數(shù)集中，由于

時(shí)，有

，因此上述正交三角函數(shù)集可以具體寫為

（4.2-4）

需要指出，此周期信號(hào)

須滿足狄里赫利（Dirichlet）條件：

⑴函數(shù)在任意有限區(qū)間連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

⑵在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)只有有限個(gè)極大值或極小值；

⑶在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)

絕對(duì)可積。

通常我們遇到的周期信號(hào)，都能滿足狄里赫利條件。對(duì)于任何一個(gè)周期為的周期信號(hào)，都可用下面的線性組合來表示：

（4.2-5）

稱為基波角頻率；

和

為加權(quán)系數(shù)，且

（4.2-6）（4.2-7）

的直流分量為

（4.2-9）式中，式（4.2-5）可寫為（4.2-10）列諧波分量之和來表示。其中，為直流分量，為

量的振幅，為

次諧波分量的相位。振幅

、相位

與系數(shù)

和

的三角關(guān)系如圖4.2-1所示，分別為式（4.2-10）表明，任一周期信號(hào)可用一直流分量和一系次諧波分

（4.2-11）（4.2-12）２.

函數(shù)的對(duì)稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系1)偶對(duì)稱2)奇對(duì)稱3)奇諧對(duì)稱4)偶諧對(duì)稱—信號(hào)波形關(guān)于縱軸對(duì)稱，有—信號(hào)波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有

—信號(hào)沿t軸平移半個(gè)周期后與原波形

鏡像，即—信號(hào)沿t

軸平移半個(gè)周期后與原波形滿足，在偶函數(shù)

的傅立葉級(jí)數(shù)展開式中，沒有正弦項(xiàng)，只需求a

0與an即可。

級(jí)數(shù)展開式只有正弦項(xiàng)，沒有直流與余弦項(xiàng)，只需求bn即可。

，其傅立葉關(guān)于時(shí)間軸，其傅立葉級(jí)數(shù)展開式中，只有奇次項(xiàng)，而沒有直流與偶次諧波項(xiàng)。完全重疊，，其傅立葉級(jí)數(shù)展開式中，沒有奇次諧波，只有直流及偶次正弦項(xiàng)與偶次余弦項(xiàng)。例4.2-1

求圖4.2-5所示周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。

解：分解圖4.2-5所示信號(hào)為

與

，如圖4.2-6所示。其中，為原信號(hào)的直流分量；

則同時(shí)具有奇對(duì)稱與奇諧對(duì)稱特性。即在

信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，只有奇次正弦項(xiàng)，沒有直流、偶次諧波與奇次余弦項(xiàng)。因此，對(duì)葉系數(shù)，只需求取bn|n=1,3,5,…

即可。的傅里

由

可得到圖4.2-5所示

信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

由此展開式可知，圖4.2-5所示的周期矩形脈沖信號(hào)分量E

/

2及奇次正弦分量，而沒有偶次諧波分量與余弦分量。

當(dāng)方波寬度不是T/2時(shí)，要按照式（4.2-8）具體計(jì)算；則只具有奇對(duì)稱而沒有奇諧余弦項(xiàng)，需要按照式（4.2-7）具體計(jì)算

。只含有直流的直流分量將大于或小于E/2，需對(duì)稱，即的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，只有正弦項(xiàng)，而沒有直流與3.

指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)1）指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)（4.2-14）2）指數(shù)形式與三角形式傅立葉級(jí)數(shù)的關(guān)系任意函數(shù)可在區(qū)間內(nèi)，用指數(shù)函數(shù)集

表示為：（4.2-15）其中，加權(quán)系數(shù)式（4.2-15）中，由式（4.2-15）可知，。設(shè)

，由式（4.2-14）則有

即

對(duì)式（4.2-16）與式（4.2-10）進(jìn)行比較，可得到周期函數(shù)

級(jí)數(shù)與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，即，，，有

（4.2-16）的指數(shù)形式傅立葉3)幾點(diǎn)說明（4.2-14）（4.2-14）4.周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)

可以表示為三角級(jí)數(shù)或虛指數(shù)級(jí)數(shù)的形式，即或1）周期信號(hào)的頻譜

由于周期信號(hào)

的復(fù)振幅

是

的復(fù)函數(shù)，所以周期信號(hào)

的頻譜圖一般包括振幅頻譜（振幅譜）與相位頻譜（相位譜）兩方面，即周期信號(hào)

周期信號(hào)的頻譜具有離散的特點(diǎn)。的幅頻特性圖和相頻特性圖。顯然，

的振幅譜和相位譜。解：由題

為周期信號(hào)，可認(rèn)為題中

的表達(dá)式就是

傅里葉級(jí)數(shù)展開式。的由

可知，例4.2-2

若

，試畫出

其基波頻率

(

rad

/

s

)，基本周期

T=2s

，則分別為

而且，，；，；，；，；，

按以上數(shù)據(jù)即可畫出振幅譜和相位譜，分別如圖4.2-7

a、b所示。從頻譜圖中，可以看出信號(hào)

個(gè)正弦分量所占的比重。的二次，三次和六次諧波頻率。。包含有哪些正弦分量以及每2）周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)

由圖4.2-11可以看出，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜具有以下三個(gè)特點(diǎn)：⑴離散性：此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，稱為離散譜。⑵諧波性：此頻譜的每一條譜線只出現(xiàn)在基波頻率

頻率上，即只有

的各整數(shù)次諧波分量，而沒有

波分量。⑶收斂性：此頻譜各次諧波分量的振幅隨

的總趨勢，是隨

的增大而逐漸減小的，當(dāng)

時(shí)，有

以上關(guān)于周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的三個(gè)特性，即離散性、諧波性和收斂性，是具有普遍意義的，同樣適用于其他周期信號(hào)。的整數(shù)倍的非整數(shù)次諧而起伏變化圖4.2－11周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜（4.2-19）

4）關(guān)于吉布斯現(xiàn)象

雖然周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)，但在實(shí)際應(yīng)用中，常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)去近似的方法復(fù)現(xiàn)原信號(hào)，而由近似產(chǎn)生的誤差則與所選項(xiàng)數(shù)的多少有關(guān)，存在吉布斯現(xiàn)象。

圖4.2-12表現(xiàn)了用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)近似復(fù)現(xiàn)周期矩形脈沖信號(hào)與鋸齒波信號(hào)時(shí)所呈現(xiàn)的吉布斯現(xiàn)象。

所謂吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象是這樣的：當(dāng)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的選取項(xiàng)數(shù)很多時(shí)，總合成信號(hào)的峰值將靠近原周期信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，且趨于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)大約為原信號(hào)不連續(xù)點(diǎn)總跳變值的9

%

。

5）周期信號(hào)的功率與有效值

周期信號(hào)是一種功率信號(hào)，周期信號(hào)的平均功率是有限的，而其能量則是無限的。有帕塞瓦爾等式

帕塞瓦爾等式（4.2－22）表明，周期信號(hào)的功率等于直流和各次諧波分量功率之和。

考慮1Ω電阻上的功率P與電壓或電流有效值U、I的關(guān)系為

容易得到：與

。

即周期信號(hào)的有效值為各諧波分量有效值的平方和的平方根。

4.2.2信號(hào)的傅里葉變換當(dāng)周期矩形脈沖信號(hào)的周期

因此可把非周期信號(hào)看成是周期變成連續(xù)頻譜，不能再用原來傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)振幅來表示其頻譜，而必須引入頻

譜密度函數(shù)的新概念。時(shí)，周期信號(hào)就變成非周期的單脈沖信號(hào)，的周期信號(hào)，此時(shí)，原來的離散頻譜將1.非周期信號(hào)的傅里葉變換（4.2-27）（4.2-28）（4.2-29）2.傅立葉變換的性質(zhì)傅里葉變換建立了非周期信號(hào)與頻域函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

，當(dāng)其中一個(gè)函數(shù)確定后，另一個(gè)函數(shù)就被唯一地確定。在信號(hào)分析的理論研究和實(shí)際設(shè)計(jì)的過程中，經(jīng)常要研究時(shí)域變化對(duì)頻域變化的影響，或者由頻域研究去分析時(shí)域的效果。利用傅里葉變換的性質(zhì)，不僅可以簡化這種研究、分析的過程，而且物理概念十分清楚。

表4.2-1給出了傅里葉變換的主要性質(zhì)以便查閱，其中。

。4.2

-

13.周期信號(hào)的傅里葉變換1）周期信號(hào)與非周期信號(hào)頻域分析的統(tǒng)一

由周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和非周期信號(hào)的傅里葉變換的討論，得出了周期信號(hào)的頻譜為離散的振幅譜，而非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的密度譜的結(jié)論。2）

周期信號(hào)的傅里葉變換（4.2-36）（4.2-36）例4.2－3

求圖4.2-18

a

所示周期矩形脈沖

解：由題，圖4.2-18

a

所示周期矩形脈沖

的頻譜函數(shù)的復(fù)振幅為由式(4.2－36)得周期矩形脈沖

的頻譜函數(shù)為

的傅里葉級(jí)數(shù)頻譜和傅里葉變換頻譜分別如圖4.2-18

b、c

所示。的頻譜函數(shù)。圖4.2-18

周期矩形脈沖信號(hào)及其頻譜

由圖4.2-18b、c可知：周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的離散幅度譜用點(diǎn)表示，而其傅里葉變換的離散密度譜則用箭頭表示。4.2.3

采樣定理人們最關(guān)心的問題是，從模擬信號(hào)中經(jīng)過采樣得到的離散信號(hào)是否包含了的全部信息？能否由離散信號(hào)恢復(fù)得到無失真的原模擬信號(hào)？采樣定理正是關(guān)于這一重要問題的定理，在通信理論中占有很重要的地位。

圖4.2-19中，采樣器相當(dāng)于一個(gè)定時(shí)開關(guān)，每隔

秒開通一次，每次開通的時(shí)間為

這樣得到的樣值信號(hào)

是一個(gè)離散脈沖序列，其脈沖幅度與相應(yīng)時(shí)刻

的采樣值對(duì)應(yīng)。其中，

為采樣周期，

為采樣頻率，

則為采樣角頻率。實(shí)際上，只要由一個(gè)周期為

，寬度為

的矩形脈沖序列

控制電子采樣器的開關(guān)，即可實(shí)現(xiàn)上述的采樣過程。這種每隔

秒實(shí)現(xiàn)一次完整采樣的方式稱為“均勻采樣”或“等間隔采樣”。

1.信號(hào)的時(shí)域采樣定理

1）實(shí)際采樣過程

實(shí)際采樣過程如圖4.2-19所示。圖4.2-19信號(hào)的實(shí)際采樣過程秒，圖4.2-19所示的采樣過程，從理論上可表述為與采樣脈沖序列的乘積，即（4.2－37）式（4.2－37）中的采樣脈沖序列如圖4.2-20所示，可表述為：（4.2－38）圖4.2-20抽樣脈沖序列當(dāng)

時(shí)，不同時(shí)移的抽樣脈沖即門函數(shù)

將趨近于不同時(shí)移的沖激函數(shù)，使實(shí)際采樣脈沖序列

及其相關(guān)波形如圖4.2-21所示。τ，實(shí)際采樣將成為理想抽樣；理想采樣過程圖4.2-21理想采樣過程及其相關(guān)波形2）采樣定理連續(xù)時(shí)間信號(hào)

的時(shí)域采樣定理可以表述為：對(duì)于一個(gè)頻帶有限的信號(hào)，

若其頻譜分量的最高頻率為

，則只要采樣頻率

，即可由樣值信號(hào)恢復(fù)得到無失真的原信號(hào)。或者說，可以由各離散時(shí)刻的樣值信號(hào)

地確定原信號(hào)。因此，只要滿足

的條件，樣值信號(hào)

就包含了原信號(hào)

需要指出，對(duì)于頻帶無限的信號(hào)

內(nèi)，而其頻譜分量的高頻部分所占的比重很小，就可以通過一個(gè)截止頻率合適的低通濾波器濾掉其高頻分量后，再用兩倍或兩倍以上低通濾波器截止頻率的采樣頻率對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行采樣，也同樣可由采樣信號(hào)恢復(fù)出原來的信號(hào)。

設(shè)信號(hào)

為頻帶有限信號(hào)，其最高頻率為

，最高角頻率為

，即當(dāng)

時(shí)，有

。

的波形及其頻譜如圖4.2-22

a

所示。唯一的全部信息。，只要其主要的頻譜分量分布在有限的頻帶可導(dǎo)出

由此式可知，樣值函數(shù)

的頻譜

是原信號(hào)

頻譜的周期函數(shù)，其重復(fù)周期為

，其幅度則為

顯然，只要滿足

，樣值函數(shù)

的頻譜

就不會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象。（4.2－41）的

1/

Ts

倍，如圖4.2-22c

所示。圖4.2-22帶限信號(hào)的理想采樣過程及相應(yīng)頻譜的波形3）信號(hào)的恢復(fù)（信號(hào)重構(gòu)）只要滿足條件

，樣值信號(hào)中就包含了

值信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。

⑴頻域恢復(fù)：將滿足采樣定理得到的樣值信號(hào)的頻譜止頻率為的低通濾波器，即可從中不失真地取出原信號(hào)主要）頻譜，相當(dāng)于在時(shí)域角度恢復(fù)了原信號(hào)。上述頻域恢復(fù)過程即此式中，為理想低通濾波器（LPF）的頻率特性，可表示為的全部信息，就可以由樣經(jīng)過一個(gè)截的全部（或（4.2－43）（4.2－44）上述恢復(fù)過程如圖4.2-23所示。圖4.2-23原信號(hào)的恢復(fù)原理2.信號(hào)的實(shí)際抽樣(周期脈沖抽樣)在實(shí)際工作中，采樣序列只能采用周期性的矩形脈沖串來近似。可導(dǎo)出（4.2－52）G(jω)G(jω)由式（4.2－52）可知，樣值信號(hào)的頻譜函數(shù)是信號(hào)

頻譜

的周期性重復(fù)，且重復(fù)周期為，幅度為

的

倍；①（4.2-53）（4.2-54）4.2.4連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析1)頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法如圖4.2-24所示。利用時(shí)域分析中，LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可通過外作用f

(t)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)g(t)的卷積來求取

（4.2－55）Gg根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，求此式的傅里葉變換，有（4.2－56）

式(4.2－56)中，G(jω)為該系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)g(t)的傅里葉變換，通常稱G(jω)為系統(tǒng)傳輸函數(shù)，而且

。

對(duì)式(4.2－56)求傅里葉反變換，容易得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)-1-1例4.2－4若，試用頻域法求圖4.2-25電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)

和單位沖激響應(yīng)。

解：由圖4.2-25有圖4.2-25例4.2－4電路使，故有

-1

由利用及，有，將

代入

表達(dá)式，得對(duì)上式求傅里葉變換，易得

2.系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件

1）失真的概念

如果信號(hào)通過系統(tǒng)傳輸后，輸出波形發(fā)生了畸變，失去了系統(tǒng)傳輸?shù)脑盘?hào)波形的形狀，就稱之為失真；如果信號(hào)通過系統(tǒng)傳輸后，原信號(hào)波形的形狀保持不變，只產(chǎn)生時(shí)間的延遲或幅度的增減，則稱為不失真，如圖4.2-26所示。

可以把系統(tǒng)的傳輸失真分為線性失真與非線性失真兩大類。

①線性失真：信號(hào)通過線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的失真稱為線性失真。

②非線性失真：信號(hào)通過非線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的失真稱為非線性失真。

③失真的作用：在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)人們需要有意識(shí)地利用

系統(tǒng)的這種非線性失真實(shí)現(xiàn)波形的變換、混頻、檢波等。圖4.2-26系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?/p>

2）無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件

系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏數(shù)念l域條件為（4.2-59）系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏數(shù)姆l與相頻條件為（4.2-60）圖4.2-29

系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏數(shù)姆l與相頻特性

3.理想低通濾波器及其特性

在系統(tǒng)不失真?zhèn)鬏斝盘?hào)的情況下，有時(shí)只讓所需要的頻率成分通過，而對(duì)不需要的頻率成分予以抑制。具有這種頻率選擇功能的系統(tǒng)稱為濾波器。濾波器有低通、高通、帶通以及低阻、高阻、帶阻之分。所謂理想濾波器，是指不允許通過的頻率成分將的被抑制掉，一點(diǎn)也不能通過；而允許通過的頻率成分，則讓其

的通過。

1）理想低通濾波器

具有圖4.2-30所示幅頻特性和相頻特性的濾波器被稱為理想低通濾波器。

（2）理想低通濾波器的特性

①理想低通濾波器非全通濾波器；

②理想低通濾波器無法實(shí)現(xiàn)(

)；

③理想低通濾波器的近似實(shí)現(xiàn)，

理想低通的通帶為，或稱該濾波器的帶寬為。

竟在之前就有了

是完全可能的。理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

（4.2-61）

單位沖激與理想低通的單位沖激響應(yīng)曲線如圖4.2-31所示。理想低通的單位沖激響應(yīng)為：

簡單低通濾波器的幅頻與相頻特性曲線與理想低通濾波器比較相似，即理想低通濾波器的近似實(shí)現(xiàn)是完全可能的。6.2.9連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性與實(shí)驗(yàn)測定

1.連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性

1）頻率特性的概念

可以定義：線性系統(tǒng)在正弦輸入作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性即系統(tǒng)的頻率特性，包括幅頻和相頻特性兩方面。

系統(tǒng)的頻率特性表征了系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）在正弦輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入信號(hào)角頻率的關(guān)系，可記為

（4.2-64）

式（4.2-64）既包含了系統(tǒng)輸出、輸入的幅值比，又包含了系統(tǒng)輸出、輸入的相位差，稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性表達(dá)式，簡稱幅相特性表達(dá)式。

例4.2-5

求圖4.2-37所示RC電路的頻率特性。

解：由題，有

及消去中間變量i、令T

=

R

C

，并求拉氏變換，可得該電路的傳遞函數(shù)

設(shè)輸入為正弦電壓，其拉氏變換為，可求得

由拉氏反變換，可得該電路

的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)t

→∞時(shí)有

用幅相特性表達(dá)式表示，則有(4.2-65)

一般，還可以用其實(shí)部與虛部之和來表示,即：

（4.2-66）

式中，X

(ω)稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性,Y

(ω)則稱為系統(tǒng)的虛頻特性。

2）系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

只要令G

(s)

中的復(fù)變量s為純虛變量jω,即可得到系統(tǒng)的頻率特性：當(dāng)輸入時(shí)，有，則相應(yīng)輸出為：

（4.2-68）可得系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

（4.2-71）

對(duì)于系統(tǒng)的頻率特性，有以下3點(diǎn)需要說明：

①以上結(jié)論是在線性系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）穩(wěn)定的條件下得出的，但從理論上講，動(dòng)態(tài)過程中的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此可以將頻率特性的概念推廣到不穩(wěn)定系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）。

②由于頻率特性的表達(dá)式包含了系統(tǒng)或元部件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，因此，盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，但動(dòng)態(tài)過程的規(guī)律性仍將寓于其中；同微分方程及傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是系統(tǒng)的一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，能夠反映系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的動(dòng)態(tài)及靜態(tài)特性。

③上述傳遞函數(shù)的求取，是在已知系統(tǒng)或元部件的微分方程或傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。反之對(duì)于難以用解析方法建立微分方程的系統(tǒng)或元部件，則可按頻率特性的物理意義通過實(shí)驗(yàn)測取，從而確定其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)與微分方程。幅頻特性

（4.2-72）相頻特性

（4.2-73）有

（4.2-74）

3）頻率特性的求法及圖示方法

①頻率特性的求取方法

根據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)求?。?/p>

根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，直接s

=

jω

求?。?/p>

通過實(shí)驗(yàn)方法測得。

②頻率特性的圖示方法

幅相頻率特性曲線——也稱為極坐標(biāo)圖或Nyquist圖,

對(duì)數(shù)頻率特性曲線——又稱為伯德圖，

對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線——又稱為尼柯爾斯圖,在極坐標(biāo)上表示的G

(jω)

的幅值與幅角即當(dāng)ω：0

→∞變化時(shí)，向量G(jω)的矢端軌跡；特性曲線兩幅圖，兩幅圖的橫坐標(biāo)均以ω

的包括對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)(lgω)刻度，當(dāng)ω：0

→∞變化時(shí)，隨ω

變化的曲線，曲線與對(duì)數(shù)相頻分別表示幅值與相角；幅頻特性曲線以[dB]為單位，按照20

lg

|G

(jω)|

繪制，相頻特性曲線則以度或弧度為單位，按照(ω)繪制。

縱坐標(biāo)均勻刻度，幅圖合成為一幅圖，是在以為縱軸的對(duì)數(shù)幅相[G

(jω)]平面中，以ω為參變量繪制的G(jω)曲線。

實(shí)際上是將Bode圖的兩(ω)為線性刻度的橫軸、以20

lg

|G

(jω)|線性刻度

2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性及其極坐標(biāo)圖（Nyquis

t曲線）

1)

比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G

(s

)

=

K

其頻率特性為

幅頻特性為|

G

(

jω)

|

=K

相頻特性為

由此可見：比例環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性，都是與角頻率ω?zé)o關(guān)的常量。

2）慣性環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)為

幅頻特性為

（4.2-77）

相頻特性為

（4.2-78）

3）積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)

頻率特性幅頻特性

（4.2-79）

相頻特性

（4.2-80）

4）二階振蕩環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)

幅相頻率特性

幅頻特性

（4.2-81）

相頻特性

（4.2-82）

5）微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù):純微分

G

(s)

=

s

一階微分G

(s)

=

1+τs

二階微分G

(s)

=τ2s2

+2τs

+1

6)延滯環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)

頻率特性

（4.2-85）

∣G(jω)∣=1(常數(shù))，而。

7)

一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)

頻率特性

（4.2-86）

幅頻特性

相頻特性

3.高階系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的一般規(guī)律

高階系統(tǒng)通常由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中

（4.2-87）

（4.2-88） 繪制準(zhǔn)確的極坐標(biāo)圖比較麻煩，在實(shí)際應(yīng)用中往往只需概略繪制極坐標(biāo)圖即可。

若開環(huán)傳遞函數(shù)

概略繪制極坐標(biāo)圖的一般規(guī)律可以歸納為以下三點(diǎn)：

1）確定極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)(ω=0)與終點(diǎn)(ω=∞)：（1）起點(diǎn)由與

確定

；（2）終點(diǎn)(一般為原點(diǎn))，由

與

共同確定曲線趨近于原點(diǎn)的區(qū)域。

其中

v

為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，

p

為開環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

時(shí)，應(yīng)從補(bǔ)充半徑大的虛線圓弧到起始點(diǎn)。

2）利用時(shí)間常數(shù)大的典型環(huán)節(jié)在ω

比較小的時(shí)候，其先產(chǎn)生影響的變化趨勢（零點(diǎn)對(duì)應(yīng)逆時(shí)針的變化趨勢，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)順時(shí)針的變化趨勢），同時(shí)利用nm時(shí)整體幅度隨ω增大而減小的特點(diǎn)，可繪出Nyquist曲線的大致形狀，使起點(diǎn)與終點(diǎn)平滑連接。

3）若能根據(jù)G(jω)表達(dá)式，求出Nyquist曲線與實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)(具有Im[G(jω)]=0與Re[G(jω)]=0的特點(diǎn))，則概略Nyquis

t曲線會(huì)更準(zhǔn)確。

例4.2-6概略繪制

的Nyquist曲線。

解:由題，v=1、p=0且有，起點(diǎn)應(yīng)從正實(shí)軸（0o）補(bǔ)充半徑無窮大的虛線圓弧到

，又n

=

2,m

=

0，所以

終點(diǎn)趨于原點(diǎn)的區(qū)域?yàn)榈谌笙?、且靠近?fù)實(shí)軸。

考慮除放大與積分環(huán)節(jié)外，還有個(gè)慣性環(huán)節(jié)，使得從

趨近于

，如圖4.2-50所示。

4.典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)(Bode)圖

1）Bode圖及其特點(diǎn)

①對(duì)數(shù)幅頻特性可以較快地用漸近線近似表示：漸近線交接處的角頻率稱為轉(zhuǎn)折角頻率，此處的漸近誤差最大，只要對(duì)轉(zhuǎn)折角頻率處的漸近誤差進(jìn)行修正，就可使?jié)u近曲線比較精確。

②對(duì)數(shù)相頻特性具有奇對(duì)稱特點(diǎn)：只要確定了

在起點(diǎn)(ω

=

0)、折頻點(diǎn)(ω

=ω1)和終點(diǎn)(ω→∞)的大致位置，就可以利用對(duì)數(shù)相頻特性的奇對(duì)稱特點(diǎn)，用平滑曲線連接，或用曲線模板繪制，較快地完成對(duì)數(shù)相頻特性曲線。逐點(diǎn)求出值后用平滑曲線連接的方法雖然比較準(zhǔn)確，但是計(jì)算量太大，很不方便，而且容易產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤；實(shí)際上，利用

曲線分析穩(wěn)定性時(shí)，需要考慮穩(wěn)定裕度，這使得

的準(zhǔn)確計(jì)算沒有太多的實(shí)際意義。

Bode圖使對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與相頻特性曲線的繪制過程大大簡化，在工程實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。

2）典型環(huán)節(jié)的Bode圖

①比例環(huán)節(jié)

頻率特性G(

jω)=K

幅頻特性L(ω)=20

lgK

相頻特性

即：對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性均與角頻率無關(guān)。

②積分與微分環(huán)節(jié)

頻率特性

幅頻特性L(ω)=

20

lgω

相頻特性

不難看出，積分與微分環(huán)節(jié)二者互為倒數(shù)，曲線互為鏡像；兩條對(duì)數(shù)幅頻特性曲線均在ω=1處通過0

dB線，斜率分別為-20dB/dec和20dB/dec；兩條對(duì)數(shù)相頻特性曲線分別為–90o和+90o直線。稱點(diǎn)對(duì)應(yīng)）

③慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)

頻率特性

對(duì)數(shù)幅頻特性

為轉(zhuǎn)折角頻率）

對(duì)數(shù)相頻特性（

與

的奇對(duì)圖4.2-55慣性與一階微分的Bode圖

④振蕩與二階微分環(huán)節(jié)

頻率特性

其中

為振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折角頻率。

對(duì)數(shù)幅頻特性

對(duì)數(shù)相頻特性⑤延滯環(huán)節(jié)頻率特性其中幅頻特性相頻特性

⑥一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)

頻率特性

對(duì)數(shù)幅頻特性

(為轉(zhuǎn)折角頻率)

對(duì)數(shù)相頻特性

5.開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

若系統(tǒng)的開環(huán)由n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

式中，取對(duì)數(shù)后有

(4.2-105)

而且

(4.2-106)

表示各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性，

L

i

(ω)和

分別表示各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性。

1）簡捷繪制對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性的具體步驟

①分解：將頻率特性G

(jω)

分解為若干個(gè)基本因子的乘積。

②排序：求出開環(huán)各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并由小到大按順序在頻率軸上準(zhǔn)確標(biāo)出。

③繪制幅頻漸近線：

a.確定開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的第一段。因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的第一段是由

確定的，所以第一段或其延長線必定會(huì)經(jīng)過ω

=

1與

20

lg

K

兩條直線的交點(diǎn)，其斜率為[v(-20)dB/dec]（v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)）。

b.沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就在原有斜率的基礎(chǔ)上，就引入相應(yīng)環(huán)節(jié)產(chǎn)生的斜率變化，改變一次斜率（慣性環(huán)節(jié)的斜率變化量為-20dB/dec；一階微分的斜率變化量為+20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)的斜率變化量為-40dB/dec……）。

c.系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的最后一段，即最終斜率應(yīng)該為

[(n-m)?(-20)dB/dec]；

其中n為開環(huán)傳遞函數(shù)G

(s

)

的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，m為G

(s

)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

④修正：主要對(duì)轉(zhuǎn)折頻率處的相應(yīng)漸近線，按漸近特性的誤差曲線進(jìn)行修正，即可得到比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。

⑤繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線：可以按照“定兩頭、變中間、奇對(duì)稱”的方法進(jìn)行。

a.定兩頭：按照

的規(guī)律，確定相頻特性曲線的大致起點(diǎn)(注意，ω

=

0在

lgω

軸的

“-∞”

遠(yuǎn)處）

，v≠0

時(shí)，應(yīng)從0o補(bǔ)充虛線到

按照

的規(guī)律，確定相頻特性曲線的最終相移線。

b.變中間：按照各典型環(huán)節(jié)在折頻處的相移值，兼顧起點(diǎn)相移以及相鄰環(huán)節(jié)相移特性的影響，大致確定在各個(gè)折頻處的相移位置。

c.奇對(duì)稱：用平滑曲線連接起點(diǎn)、各折頻點(diǎn)與最終相移時(shí)，折頻處要注意保留奇對(duì)稱的痕跡，使平滑曲線與精確曲線比較接近。

2）簡捷繪制Bode圖的實(shí)例；

例4.2-9若某系統(tǒng)的開環(huán)

，試簡捷繪制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。

解：由題K

=

10、T1

=

1、T2

=

0.1，故折頻ω1=1/T1

=1、ω2=1/T2

=10據(jù)此，可把ω1與ω2依次標(biāo)在頻率軸上，如圖4.2-59所示。

由

K

=

10有20

lg

K

=

20dB，又v

=0，使第一段斜率為0，且在

L

(ω)

=

20

dB

的高度。

由于ω1與ω2

均為慣性環(huán)節(jié)的折頻，故應(yīng)在折頻處原有斜率的基礎(chǔ)上，引入[–20]的斜率變化。

3）最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)

如果一個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)全部在

[s]

平面的左半部，則稱為最小相位傳遞函數(shù)。如果傳遞函數(shù)中具有[s]右半平面的極點(diǎn)和零點(diǎn)，或者有延滯環(huán)節(jié)，則稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

4）由Bode圖確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

在頻域分析中，不僅要能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)畫出Bode圖，為系統(tǒng)分析提供開環(huán)頻率特性曲線；同時(shí)也要能根據(jù)Bode圖寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，使實(shí)驗(yàn)曲線得以提升為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。前者由典型環(huán)節(jié)確定開環(huán)頻率特性曲線的轉(zhuǎn)折頻率、斜率變化與相頻的變化等；后者則由開環(huán)頻率特性（實(shí)驗(yàn)）曲線的形狀確定相應(yīng)典型環(huán)節(jié)的類型與參數(shù)等。

在由開環(huán)頻率特性曲線確定相應(yīng)的典型環(huán)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)增益K的確定是必不可少的。圖4.2-61是幾種與求K有關(guān)的常見Bode圖。①

圖a中，或；②圖b，c中，

或③圖d或

圖e

或

圖f

或

6.對(duì)數(shù)幅相圖(Nichols圖)

對(duì)數(shù)幅相圖即尼柯爾斯（Nichols）圖，是描述系統(tǒng)頻率特性的另一種方法：以角頻率ω為參變量、以相角為橫坐標(biāo)

(單位為度)、以對(duì)數(shù)幅頻L(ω)為縱坐標(biāo)(單位為dB)，將Bode圖的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性兩條曲線合并為一條曲線。

繪制出這種圖時(shí)，通常是先繪出Bode圖，然后以ω

為參變量取若干點(diǎn)，在Bode圖上查出相應(yīng)的分貝數(shù)與度數(shù)并列表，再由表中數(shù)據(jù)繪制對(duì)數(shù)幅相圖。

7.連續(xù)系統(tǒng)頻率特性的試驗(yàn)測定

當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)難于用解析法建立其傳遞函數(shù)或頻率特性時(shí)，可以采用試驗(yàn)方法建立（即系統(tǒng)辨識(shí)），系統(tǒng)辯識(shí)的方法有多種，下面主要介紹頻域辨識(shí)法。頻域辨識(shí)法通常有兩種作法：一種是根據(jù)頻率特性的定義，用正弦輸入信號(hào)去求得頻率特性；另一種是根據(jù)頻率特性和時(shí)間響應(yīng)的關(guān)系，對(duì)被測系統(tǒng)施加單位脈沖、三角形波或其他形式輸入信號(hào)，然后應(yīng)用傅氏變換求得頻率特性。

1）用正弦信號(hào)測試頻率特性的原理

2）傳遞函數(shù)的確定

①由低頻段的斜率確定開環(huán)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)

②系統(tǒng)開環(huán)增益K的確定(可參考圖4.2-61及式(4.2-107)～式(4.2-111))

③根據(jù)曲線在交接頻率處的斜率變化，確定相應(yīng)的典型環(huán)節(jié)

④根據(jù)最小相位系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻的斜率與相頻特性之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，可檢驗(yàn)系統(tǒng)中是否有滯后環(huán)節(jié)存在。圖4.2-63相關(guān)分析法測試頻率特性原理圖

4.2.6Nyquist穩(wěn)定判據(jù)與對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

1.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

設(shè)有復(fù)變函數(shù)

(4.2-112)

其中

s

為復(fù)變量，用[s]平面上的

表示；復(fù)變函數(shù)F(s)，則用[F(s)]平面上的表示。

若F(s)在[s]平面上是除有限奇點(diǎn)外任一點(diǎn)

s

的解析函數(shù)(單值連續(xù)的正則函數(shù))，則對(duì)于[s]平面上的任一點(diǎn)，在[F(s)]平面上必有一個(gè)映射點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。因此若在[s]平面上任意選定一條封閉曲線Ls

，使其不通過F(s)的任一奇點(diǎn)（即任何零點(diǎn)和奇點(diǎn)），則在[F(s)]平面上必有一條封閉映射曲線LF與之對(duì)應(yīng)，如圖4.2-65所示。

F(s)的相角可表為

(4.2-113)

若封閉曲線LS

(內(nèi)部)只包圍了F(s)

的一個(gè)零點(diǎn)Z1，而其他零、極點(diǎn)均位于L

S

的外面，則當(dāng)

s

沿L

S順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，向量(

s-

Z1)

的相角，將變化-360度，對(duì)應(yīng)

F(s)將沿LF順時(shí)針繞[F(s)]平面的原點(diǎn)轉(zhuǎn)一周；而其它各向量的相角變化為零。

若L

S

包圍的不是零點(diǎn)，而是P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)

s沿LS

順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，對(duì)應(yīng)

F(s)將在[F(s)]平面上沿LF

按逆時(shí)針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)P周。幅角定理：設(shè)[S]平面上的封閉曲線包圍了F

(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)，并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任何零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)復(fù)變量

s

沿封閉曲線按順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，在[F(s)]平面上的映射曲線將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過N周，而且

N

=

z

-

p

。若N

>

0，表示順時(shí)針轉(zhuǎn)

N

周，若N

<

0

，則表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)N周。

2.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

1）輔助函數(shù)F

(s)

與系統(tǒng)開、閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系

設(shè)輔助函數(shù)F

(s)

若開環(huán)傳遞函數(shù)為

2）Nyquist軌線

為了判斷F(s)

有無零點(diǎn)位于[S]

右半平面，可以選擇一條按順時(shí)針方向包圍整個(gè)[S]右半平面的封閉曲線，通常稱為Nyquist軌線。

3）LF曲線與LGH曲線的關(guān)系

LF曲線是輔助函數(shù)F(s)的映射曲線，LGH則是開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的映射曲線。

設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在[S]的右半平面有

z

個(gè)零點(diǎn)和

p

個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)幅角定理，當(dāng)s在[S]平面沿Nyquist軌線環(huán)繞一周時(shí)，在[F(s)]平面上的映射曲線[見式(4.2-113)]將按順時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

N

=

z

-

p

周。若閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，必定有z=0

，則LF按順時(shí)針圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了N=-p周，也就是說按逆時(shí)針圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了+p周。

由于F(s)=1+G(s)H(s)，故有G(s)H(s)=

1–F(s)。

此式說明F(s)的映射曲線LF圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)情況，相當(dāng)于G(s)H(s)的映射曲線LGH圍繞(-1,j0)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)情況。

4）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)及其簡化

①Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)ω從-∞到+∞變化時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線按逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)p周。其中p是位于[S]右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有p=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。

②Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的簡化：考慮ω：-∞→0及0→+∞變化時(shí)，開環(huán)G(jω)H(jω)

曲線將是以實(shí)軸為對(duì)稱的圖形。簡化后的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可以表述為：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)ω

從0到+∞變化時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線繞(-1,j0)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角增量為

pπ，p是位于[S]右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有p=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線繞(-1,j0)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角增量為0。

5）虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的補(bǔ)充

如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在虛軸上有極點(diǎn)，則不能直接應(yīng)用圖4.2-68所示的Nyquist軌線，因?yàn)榉嵌ɡ硪驨yquist軌線不能經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)。

為了使Nyquist

判據(jù)在這種情況下也能應(yīng)用，可以稍微對(duì)Nyquist軌線進(jìn)行一點(diǎn)修改(補(bǔ)充)，使Nyquist軌線沿著半徑為無窮小(

r→0)的半圓弧繞過虛軸上的極點(diǎn)。

即當(dāng)[S]平面中的s沿?zé)o窮小半圓弧逆時(shí)針從ω=0-

變化到ω=0+時(shí)，其θ角將沿著逆時(shí)針方向從

，而[GH]平面上的映射曲線則將沿著無窮大半徑按順時(shí)針方向從

轉(zhuǎn)到(補(bǔ)充到)

；

如采用簡化Nyquist曲線，則為：s

沿?zé)o窮小半圓弧逆時(shí)針從ω=0

變化到ω=0+

時(shí)，其θ角將沿逆時(shí)針方向從0o變化到

時(shí)，[GH]平面上的Nyquist簡化曲線將沿著無窮大半徑，按順時(shí)針方向從0o轉(zhuǎn)到(補(bǔ)充到)

。

6）應(yīng)用舉例

例4.2-12

已知系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

試用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。

解此開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為

當(dāng)ω從－∞→+∞變化時(shí)，的Nyquist曲線可畫出如圖4.2-71

a.所示。顯然，當(dāng)ω=0時(shí)，；

當(dāng)ω=∞時(shí)，；

由于

p=0，故G

(s)H

(s)在[S]右半平面沒有極點(diǎn)，

圖4.2-71a.中，沒包圍(-1,j0)點(diǎn)，即此系統(tǒng)滿足Nyquist判據(jù)，閉環(huán)穩(wěn)定。

這說明對(duì)于K、T1、T2為任意正值時(shí)，該系統(tǒng)總是閉環(huán)穩(wěn)定的。

3.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在Bode圖上的應(yīng)用

1）Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系

①Nyquist圖上的單位圓與Bode圖上的0dB線相對(duì)應(yīng)，單位圓外部對(duì)應(yīng)于L

(ω

)

>

0

，單位圓內(nèi)部則對(duì)應(yīng)于L

(ω

)

<

0

；

②Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于Bode圖上的線

；

③Nyquist圖與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸(0dB線)交點(diǎn)的頻率，稱為截止頻率或幅值穿越頻率等，記為ωc

；

④Nyquist圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)相頻特性曲線與

線交點(diǎn)的頻率，稱為相位交界頻率或相位穿越頻率；

⑤在Nyquist圖中，如果開環(huán)G

(

jω

)H

(

jω

)曲線在（-1，j

0）點(diǎn)左邊穿過負(fù)實(shí)軸即為“穿越”；若沿ω增加方向，曲線自上而下穿過(-1，j

0)點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，則為正穿越（相位增加）；反之沿ω增加方向，曲線自下而上穿過（-1，j

0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，則稱為負(fù)穿越（相位更負(fù)）；如果沿ω增加方向G

(

jω

)H

(

jω

)

曲線自（-1，j

0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸開始向下或向上變化，則分別稱為半次正穿越和半次負(fù)穿越

；

⑥在Bode圖上對(duì)應(yīng)L

(ω

)

>

0

dB的頻段內(nèi)，沿ω

增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自下而上穿越過

線稱為正穿越；反之曲線自上而下穿越過

線為負(fù)穿越；同樣若沿ω增加方向，對(duì)數(shù)相頻曲線自

線開始向上或向下，則分別為半次正穿越和半次負(fù)穿越；

⑦在Nyquist圖上，正穿越一次對(duì)應(yīng)于G

(

jω

)H

(

jω

)

曲線逆時(shí)針包圍（-1，j

0）點(diǎn)一周，而負(fù)穿越一次，則對(duì)應(yīng)于G

(

jω

)H

(

jω

)

曲線順時(shí)針包圍（-1，j

0）點(diǎn)一周，也就是說G

(

jω

)H

(

jω

)

曲線對(duì)（－1，j0）點(diǎn)包圍的次數(shù)等于正、負(fù)穿越次數(shù)之差。

2）對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

Bode圖上的對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可以表述為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)ω

從0

→

∞

變化時(shí)，在所有L(ω)

>

0

dB的頻段內(nèi)，相頻特性穿越線的次數(shù)為p/2，p是[S]右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。記為

正穿越次數(shù)

-

負(fù)穿越次數(shù)

=

p

/