第02章3-4動(dòng)量和能量守恒定律

§2-3動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律（五個(gè)小球質(zhì)量全同）車(chē)輛超載容易引發(fā)交通事故車(chē)輛超速容易引發(fā)交通事故力的累積效應(yīng)對(duì)時(shí)間積累動(dòng)能、功、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒動(dòng)量、沖量、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒對(duì)空間積累力的瞬時(shí)效應(yīng)→加速度：牛頓第二定律

但在有些問(wèn)題中，如：碰撞（宏觀）、散射（微觀）…我們往往只關(guān)心過(guò)程中力的效果，即只關(guān)心始末態(tài)間的關(guān)系，對(duì)過(guò)程的細(xì)節(jié)不感興趣；而有些問(wèn)題我們甚至尚弄不清楚過(guò)程的細(xì)節(jié)。作為一個(gè)過(guò)程，我們關(guān)心的是力對(duì)時(shí)間和空間的累積效應(yīng)。2.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1、動(dòng)量的引入在牛頓力學(xué)中，物體的質(zhì)量可視為常數(shù)故即1)式中叫做動(dòng)量，是物體運(yùn)動(dòng)量的量度。2)動(dòng)量 是矢量，方向與 同。動(dòng)量是相對(duì)量，與參照系的選擇有關(guān)。

指兩個(gè)物體相互作用持續(xù)一段時(shí)間的過(guò)程中，在物體間傳遞著的物理量。2、沖量的概念1)恒力的沖量2)變力的沖量此時(shí)沖量的方向不能由某瞬時(shí)力的方向來(lái)決定。力在某一段時(shí)間間隔內(nèi)的沖量沖量的方向與力的方向相同。作用力為恒量，作用時(shí)間t1t2，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量：作用于物體上的合外力的沖量等于物體動(dòng)量的增量——質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理運(yùn)動(dòng)員在投擲標(biāo)槍時(shí)，伸直手臂，盡可能的延長(zhǎng)手對(duì)標(biāo)槍的作用時(shí)間，以提高標(biāo)槍出手時(shí)的速度。3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理討論1。沖量是矢量。沖量的大小和方向與整個(gè)過(guò)程中力的性質(zhì)有關(guān)。分量表示式4。動(dòng)量與參照系有關(guān)，但動(dòng)量差值與參照系無(wú)關(guān)。因此，動(dòng)量定理適用于所有慣性系。3。動(dòng)量定理適用于任何形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，但在討論如沖擊、碰撞等過(guò)程時(shí)更方便。2。在沖擊等過(guò)程中，力的作用時(shí)間很短暫，而力隨時(shí)間的變化卻很復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)力的積分計(jì)算沖量,但可由求得力的沖量。并估算力的平均沖力：

汽車(chē)氣囊、拳擊手套、運(yùn)動(dòng)護(hù)墊等.討論*教授吸收了鐵錘的全部動(dòng)量，但只吸收了部分動(dòng)能！討論討論問(wèn)：為什么迅速地把蓋在杯上的薄板從側(cè)面打去，雞蛋就掉在杯中；慢慢地將薄板拉開(kāi)，雞蛋就會(huì)和薄板一起移動(dòng)？答：因?yàn)殡u蛋和薄板間的摩擦力有限，若棒打擊時(shí)間很短，所以雞蛋就掉在杯中.[例3-1]質(zhì)量為m的行李，垂直地輕放在傳送帶上，傳送帶的速率為v

，它與行李間的摩擦系數(shù)為μ，

試計(jì)算：(1)行李將在傳送帶上滑動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間?(2)行李在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)?(3)有多少能量被摩擦所耗費(fèi)?(1)以地面為參照系(2)由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理解:(或：)mxOvmxOv(3)被摩擦損耗的能量等于一對(duì)摩擦力做的功以傳送帶為參考系：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的合外力為對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)量定理有：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系有：質(zhì)點(diǎn)系i因?yàn)椋喝?、?dòng)量守恒定律一個(gè)孤立的力學(xué)系統(tǒng)（系統(tǒng)不受外力作用）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間動(dòng)量可以交換，但系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。即：動(dòng)量守恒定律。1.區(qū)分外力和內(nèi)力內(nèi)力僅能改變系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)物體的動(dòng)量，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量.注意3.在某些情況下，如碰撞、打擊、爆炸等過(guò)程，外力與內(nèi)力相比小很多。在極短的時(shí)間內(nèi)，外力的時(shí)間積累（沖量）相比之下可以忽略不計(jì)。我們可以有近似的動(dòng)量守恒。4.動(dòng)量定理只適用于慣性系5.在牛頓力學(xué)的理論體系中，動(dòng)量守恒定律是牛頓定律的推論。但動(dòng)量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域、低速和高速范圍均適用。2.合外力沿某一方向?yàn)榱?；可得到該方向上的?dòng)量守恒。（盡管總動(dòng)量不守恒）例一、如圖，車(chē)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。已知m、M、人逆車(chē)運(yùn)動(dòng)方向從車(chē)頭經(jīng)t到達(dá)車(chē)尾。求：1、若人勻速運(yùn)動(dòng)，他到達(dá)車(chē)尾時(shí)車(chē)的速度；

2、車(chē)的運(yùn)動(dòng)路程；

3、若人以變速率運(yùn)動(dòng)，上述結(jié)論如何？解：以人和車(chē)為研究系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒。相對(duì)速度1、2、3、變速率時(shí):例2.5一彈性球，質(zhì)量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，與墻碰撞后彈回。設(shè)彈回時(shí)速度大小不變，碰撞前后的運(yùn)動(dòng)方向和墻的法線所夾的角都是α，設(shè)球和墻碰撞的時(shí)間Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞時(shí)間內(nèi)，球和墻的平均相互作用力。解：以球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)墻對(duì)球的平均作用力為，球在碰撞前后的速度為和，由動(dòng)量定理可得解方程得按牛頓第三定律，球?qū)Φ钠骄饔昧偷姆较蛳喾炊戎担创怪庇趬γ嫦蚶?。將沖量和動(dòng)量分別沿圖中N和x兩方向分解得：例三、一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開(kāi)，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落的過(guò)程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。ox證明：取如圖坐標(biāo)，設(shè)t時(shí)刻已有x長(zhǎng)的柔繩落至桌面，隨后的dt時(shí)間內(nèi)將有質(zhì)量為dx（Mdx/L)的柔繩以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動(dòng)量變化率為：根據(jù)動(dòng)量定理，桌面對(duì)柔繩的沖力為：柔繩對(duì)桌面的沖力F＝F'即：而已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/L所以F總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg1、功——力的空間積累外力作功是外界對(duì)系統(tǒng)作用的一個(gè)過(guò)程量單位：焦耳（J）大?。汗?dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律

§2-４①．恒力的功

即某力的功等于力與質(zhì)點(diǎn)在該力作用下位移的標(biāo)積。力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積。

B**A②.變力的功直角坐標(biāo)系中說(shuō)明1.一般情況下，功與力和路徑有關(guān)自然坐標(biāo)系：與參照系無(wú)關(guān)，位移與參照系有關(guān)，故

A與參照系有關(guān)。3.合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。例1

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從處運(yùn)動(dòng)到處該力作的功：1.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線2.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為直線XYO做功與路徑有關(guān)XYO2、功率力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功瞬時(shí)功率等與力與物體速度的標(biāo)積單位：瓦特W五、保守力的功1、保守力某些力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。這種力稱為保守力。典型的保守力：重力、萬(wàn)有引力、彈性力與保守力相對(duì)應(yīng)的是耗散力典型的耗散力：摩擦力2、重力的功m在重力作用下由a運(yùn)動(dòng)到b，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn).可見(jiàn)，重力是保守力。初態(tài)量末態(tài)量3、彈力的功可見(jiàn)，彈性力是保守力。彈簧振子初態(tài)量末態(tài)量4、引力的功兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以M所在處為原點(diǎn),M指向m的方向?yàn)槭笍降恼较?。m受的引力方向與矢徑方向相反?？梢?jiàn)萬(wàn)有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab解：由題知，雖然力的大小不變，但其方向在不斷變化，故仍然是變力做功。例2.8在離水面高為H的岸上，有人用大小不變的力F拉繩使船靠岸，如圖所示，求船從離岸

處移到

處的過(guò)程中，力F對(duì)船所做的功。如題圖所示，以岸邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，向左為x軸正向，則力F在坐標(biāo)為

x處的任一小段元位移dx

上所做元功為例3、質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運(yùn)動(dòng)。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：（一維運(yùn)動(dòng)可以用標(biāo)量）六、動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能ABDrifi質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。物體受外力作用運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化動(dòng)能變化ABDrifi功是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能變化的量度過(guò)程量狀態(tài)量末態(tài)動(dòng)能初態(tài)動(dòng)能動(dòng)能是相對(duì)量說(shuō)明3.應(yīng)用：1.合外力的功是動(dòng)能變化的量度。與參考系有關(guān)，動(dòng)能定理只在慣性系中成立。2.4.微分形式：例4、一個(gè)質(zhì)量為10千克的質(zhì)點(diǎn)，在變力F=2x+3(SI)作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。試求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到3米處時(shí)的速度和加速度。解：O3Fx0到3米之間力做的功為：根據(jù)動(dòng)能定理：在x=3米處，加速度的計(jì)算則非常簡(jiǎn)單：例2.10一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無(wú)摩擦地滑動(dòng)，t＝0時(shí)物體靜止于原點(diǎn)，(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運(yùn)動(dòng)了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動(dòng)了3m，它的速度增為多大？解：(1)由動(dòng)量定理

，得(2)由動(dòng)能定理，得七、勢(shì)能、勢(shì)函數(shù)

在受保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)從AB，所做的功與路徑無(wú)關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位置有關(guān)?？梢胍粋€(gè)只與位置有關(guān)的函數(shù)，A點(diǎn)的函數(shù)值減去B點(diǎn)的函數(shù)值，定義為從A

B保守力所做的功，該函數(shù)就是勢(shì)能函數(shù)。AB定義了勢(shì)能差選參考點(diǎn)（勢(shì)能零點(diǎn)），設(shè)保守力做正功等于相應(yīng)勢(shì)能的減少；保守力做負(fù)功等于相應(yīng)勢(shì)能的增加。外力做正功等于相應(yīng)動(dòng)能的增加；外力做負(fù)功等于相應(yīng)動(dòng)能的減少。比較重力勢(shì)能（以地面為零勢(shì)能點(diǎn)）引力勢(shì)能（以無(wú)窮遠(yuǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)）彈性勢(shì)能（以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)）勢(shì)能只具有相對(duì)意義系統(tǒng)的機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。1、計(jì)算勢(shì)能必須規(guī)定零勢(shì)能參考點(diǎn)。勢(shì)能是相對(duì)量，其量值與零勢(shì)能點(diǎn)的選取有關(guān)。2、勢(shì)能函數(shù)的形式與保守力的性質(zhì)密切相關(guān)，對(duì)應(yīng)于一種保守力的函數(shù)就可以引進(jìn)一種相關(guān)的勢(shì)能函數(shù)。3、勢(shì)能是屬于以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共有的。4、一對(duì)保守力的功等于相關(guān)勢(shì)能增量的負(fù)值。因此，保守力做正功時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能減少；保守力做負(fù)功時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能增加。注意八、勢(shì)能曲線幾種典型的勢(shì)能曲線（d）原子相互作用勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線:勢(shì)能隨位置變化的曲線hEp（h）O（a）lEp（l）O（b）rEp（r）O（c）r0Ep（r）Or（d）（a）重力勢(shì)能曲線（b）彈性勢(shì)能曲線（c）引力勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線提供的信息1、質(zhì)點(diǎn)在軌道上任意位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系所具有的勢(shì)能值。2、勢(shì)能曲線上任意一點(diǎn)的斜率的負(fù)值，表示質(zhì)點(diǎn)在該處所受的保守力九、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理對(duì)第i質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和可得：不能先求合力，再求合力的功；只能先求每個(gè)力的功，再對(duì)這些功求和。因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移可能不同且系統(tǒng)內(nèi)力恒為零注意質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量等于外力的功與質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)保守力的功和質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)非保守力的功三者之和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理外力對(duì)系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量——質(zhì)點(diǎn)系的功能原理

內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。值得注意：當(dāng)外力對(duì)系統(tǒng)做功和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功的和為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。十、機(jī)械能守恒定律系統(tǒng)的機(jī)械能增加系統(tǒng)的機(jī)械能減少系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變機(jī)械能守恒的條件系統(tǒng)不受外力和非保守內(nèi)力作用系統(tǒng)受外力和非保守內(nèi)力作用，但它們都不作功；它們作功，但相互抵消。能量轉(zhuǎn)化與守恒定律1、能量的多種形式：動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能、熱能、電能、原子核能、化學(xué)能等等。2、不同形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)化的：3、能量守恒定律：在孤立系統(tǒng)中發(fā)生的任何變化和過(guò)程，各種形式能量的總和保持不變。這個(gè)結(jié)論叫做能量轉(zhuǎn)化與守恒定律。注意：（1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系。（2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參考系的選擇有關(guān)。對(duì)一個(gè)參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。

德國(guó)物理學(xué)家和生理學(xué)家．于1874年發(fā)表了《論力(現(xiàn)稱能量)守恒》的演講，首先系統(tǒng)地以數(shù)學(xué)方式闡述了自然界各種運(yùn)動(dòng)形式之間都遵守能量守恒這條規(guī)律．是能量守恒定律的創(chuàng)立者之一．亥姆霍茲

(1821—1894)

例

一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P，另一端系一質(zhì)量為m

的小球,小球穿過(guò)圓環(huán)并在環(huán)上運(yùn)動(dòng)(μ=0)．開(kāi)始球靜止于點(diǎn)A,彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)為環(huán)半徑R;當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí)，球?qū)Νh(huán)沒(méi)有壓力．

求彈簧的勁度系數(shù)k．

解

以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)即又所以取點(diǎn)B為重力勢(shì)能零點(diǎn)說(shuō)明：沙箱對(duì)子彈做功-f(s＋l)與子彈對(duì)沙箱做的功fs

=-fs兩者不相等；而這一對(duì)內(nèi)力做功之和不為零，它等于子彈與沙箱組成的系統(tǒng)的機(jī)械能的損失，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能。例2.13在光滑的水平臺(tái)面上放有質(zhì)量為M的沙箱，一顆從左方飛來(lái)質(zhì)量為m的彈丸從箱左側(cè)擊入，在沙箱中前進(jìn)一段距離l后停止。在這段時(shí)間內(nèi)沙箱向右運(yùn)動(dòng)的距離為s，此后沙箱帶著彈丸以勻速運(yùn)動(dòng)。求此過(guò)程中內(nèi)力所做的功。(假定子彈所受阻力為一恒力)解：如圖所示，設(shè)子彈對(duì)沙箱作用力為，沙箱位移為s；沙箱對(duì)子彈作用力為，子彈的位移為