第5章彎曲應(yīng)力

第五章彎曲應(yīng)力第一節(jié)引言第二節(jié)純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第三節(jié)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件第四節(jié)梁橫截面上的切應(yīng)力、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件第五節(jié)梁的合理設(shè)計(jì)FSM橫截面上內(nèi)力橫截面上正應(yīng)力橫截面上切應(yīng)力yzò=AdAFS

tò=AdAyM

sMFS第一節(jié)引言梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，分別稱為彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力。彎曲應(yīng)力zy第二節(jié)純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力(1)純彎曲Purebending

(2)橫力彎曲Bendingbytransverseforce

從三方面考慮：①變形幾何關(guān)系②物理關(guān)系③靜力學(xué)關(guān)系二.純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力公式推導(dǎo)+_+一.純彎曲和橫力彎曲的概念

梁在發(fā)生純彎曲時，橫截面上只有正應(yīng)力。I、試驗(yàn)與假設(shè)第二節(jié)純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1122cabd1122cabdMMMM彎曲應(yīng)力I：幾何方面：平面假設(shè)梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。II：物理方面①各縱向線段間互不擠壓；②材料在線彈性范圍內(nèi)工作；③材料在拉伸和壓縮時的彈性模量相等。梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層neutralsurface

。中性層中性軸中性層z中性層與橫截面的交線稱為中性軸neutralaxis

。且根據(jù)外力、橫截面形狀及梁的物性的對稱性可知，中性軸應(yīng)與梁的縱向?qū)ΨQ面垂直。

II、彎曲正應(yīng)力一般公式推導(dǎo)

1.變形幾何條件彎曲應(yīng)力n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層z中性軸y對稱軸oMMO1O2rdxn2m2n1m1O曲率中心a2a1ydq為中性層的曲率

curvature純彎中，縱向線應(yīng)變沿截面高度線性分布。純彎曲中，縱向線應(yīng)變?yōu)椋簃2n2sysLyMMO1O2rn2m2n1m1O曲率中心a2a1ydqxe2e12.物理?xiàng)l件(胡克定律)Z◆沿截面高度(y軸)線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零?！糁行暂S將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域。◆最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。y-橫截面上點(diǎn)到中性軸的距離。橫截面上各點(diǎn)均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)彎曲應(yīng)力3.力學(xué)條件dAyz(中性軸)xzyOsdAM可知：中性軸通過截面形心橫截面對z軸的靜矩為零截面對yz軸的慣性積為零可知：梁在發(fā)生純彎曲時，中性軸為形心主慣性軸。令：截面對z軸的慣性矩②梁的上下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值，分別為：

—抗彎截面模量?？箯澖孛嫦禂?shù)Wz綜合反映了橫截面的形狀與尺寸對彎曲正應(yīng)力的影響。4.純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力(彎曲正應(yīng)力)：

①距中性層y處的應(yīng)力③分布規(guī)律：沿截面高度(y軸)線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域。最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。MsminsmaxMsminsmax④橫截面上正應(yīng)力的畫法：

彎曲應(yīng)力

①線彈性范圍；②精確適用于純彎曲梁；③對于橫力彎曲的細(xì)長梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大.5.公式適用范圍：1.矩形截面III、三種典型截面對中性軸的慣性矩2.實(shí)心圓截面3.截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

彎曲正應(yīng)力例題例1

簡支梁受力和尺寸情況如圖示求：(1)1-1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；(2)此截面上的最大正應(yīng)力；(3)全梁的最大正應(yīng)力；(4)已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy30Mx+M1Mmax解:(1)外力分析

由對稱性可知支反力q=60kN/mAB1m2m11(2)內(nèi)力分析畫M圖求有關(guān)彎矩(3)確定截面的幾何性質(zhì)②最大正應(yīng)力③曲率半徑則：①1-1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力1-1截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大正應(yīng)力12120180zy30例2

如圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計(jì)算截面B--B的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。彎曲應(yīng)力2012020120單位：mm解:(1)內(nèi)力分析：截面B-B的彎矩為:(2)確定截面幾何性質(zhì)首先確定截面的形心位置選參考坐標(biāo)系z’oy如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標(biāo)為:其次計(jì)算截面慣性矩2012020120單位：mmIII(3)計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力

在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：彎曲應(yīng)力2012020120單位：mmIII①拉壓強(qiáng)度相等材料：

②拉壓強(qiáng)度不等材料：

根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行三方面計(jì)算：第三節(jié)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲應(yīng)力1、強(qiáng)度校核:2、截面設(shè)計(jì):3、確定梁的許可荷載例3外伸梁用鑄鐵制成，T形梁截面試校核梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度。2mq=10kN/mADBEP＝20kN

2m2mCy2y1z解:(1)梁的外力分析，確定梁的支反力q=10kN/mADBEP＝20kN

5kN35kN

ADBE10kN*m20kN*m(-)(+)包含支反力的全部外載荷

畫彎矩圖如圖示危險截面可能是：B截面或D截面(2)梁的內(nèi)力分析，確定危險截面Cy2y1zM(3)橫截面上的應(yīng)力分析，確定危險截面上的危險點(diǎn)危險點(diǎn)：a,b,dCy2y1ADBE10kN·m20kN·m

(-)(+)B截面D截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力M(3)計(jì)算危險點(diǎn)應(yīng)力校核強(qiáng)度最大壓應(yīng)力：最大拉應(yīng)力：∴梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度符合要求。MMB截面D截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力P1PP2hzbbzh(b)(a)例4兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？解：兩者許可載荷之比：例5.圖示懸臂梁在自由端受集中力作用,P=20kN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：(1)高寬比h/b=2的矩形；(2)圓形；(3)工字鋼。P=20kN解:作彎矩圖20kN.m(1)矩形h/b=2(2)圓形d≈11.3cm(3)工字形查型鋼表，取16號工字鋼工字形截面最省料，圓形截面最費(fèi)料。為什么？本題中，最大工作應(yīng)力將略大于許用應(yīng)力，但不超過5%，在工程中是允許的。例6我國古代營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（如何使Wz最大?）hb解:設(shè)圓木直徑為d由兩根28a號槽鋼組成的簡支梁受三個集中力作用，如圖所示。已知該梁材料為Q235鋼，其許用彎曲正應(yīng)力為試求梁的許可荷載一正方形截面懸臂木梁的尺寸及所受荷載如圖所示。木料的許用彎曲應(yīng)力,現(xiàn)需在梁的截面C上中性軸處鉆一直徑為d的圓孔，試問在保證梁強(qiáng)度的條件下，圓孔的最大直徑d(不考慮圓孔處應(yīng)力集中的影響)可達(dá)多大？

第四節(jié)梁橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力強(qiáng)度條件一、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力關(guān)于橫截面切應(yīng)力分布規(guī)律的假設(shè)：

橫截面?zhèn)冗吷系那袘?yīng)力與側(cè)邊平行

切應(yīng)力沿z的方向均勻分布一、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力1、公式推導(dǎo)：彎曲應(yīng)力n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'A11）矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力

矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力沿截面高度呈二次拋物線性分布。在距離中性軸較遠(yuǎn)的最邊緣處為零，在中性軸上最大。Sz＊-部分截面對中性軸的靜矩（橫截面上距離中性軸y的橫線以外的面積對中性軸的靜矩。）

Iz-整個截面對中性軸的慣性矩smaxsmin梁發(fā)生對稱彎曲時橫截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力分布(1)正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布；切應(yīng)力沿截面高度呈二次拋物線分布。(2)梁上下兩面上各點(diǎn)均處于單向受拉或單向受壓應(yīng)力狀態(tài)。(3)梁中性層上各點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。(4)既不在上下兩面上，也不在中性軸上的點(diǎn)，處于復(fù)雜平面應(yīng)力狀態(tài)。sstssss二.工字形截面梁上的切應(yīng)力腹板上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力可直接由矩形梁的公式得出：式中：d為腹板厚度三、薄壁環(huán)形截面梁上的切應(yīng)力假設(shè)：1、切應(yīng)力沿壁厚無變化；2、切應(yīng)力方向與圓周相切式中：A為圓環(huán)截面面積彎曲應(yīng)力最大值發(fā)生在中性軸上腹板翼緣四、圓截面梁上的切應(yīng)力式中：A為圓截面面積對于等直桿，最大切應(yīng)力的統(tǒng)一表達(dá)式為：五、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

與正應(yīng)力強(qiáng)度條件相似，也可以進(jìn)行三方面的工作：1、強(qiáng)度校核，2、截面設(shè)計(jì)，3、確定梁的許可荷載但通常用于校核。特殊的：1、梁的最大彎矩小，而最大剪力大-(短梁)；2、焊接組合截面，腹板厚度與梁高之比小于型鋼的相應(yīng)比值；3、木梁因其順紋方向的抗剪強(qiáng)度差。需進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。彎曲應(yīng)力例8

T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度條件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_彎曲應(yīng)力該梁滿足強(qiáng)度要求例9.兩個尺寸完全相同的矩形截面梁疊在一起承受荷載如圖所示。梁長為l。若材料許用應(yīng)力為[]，其許可載荷[P]為多少？如將兩個梁用一根螺栓聯(lián)成一體，則其許可荷載為多少？bPPbPl解：1、兩梁疊放承載時，每梁將各自彎曲兩梁都有自己的中性層。每梁各承擔(dān)一半彎矩。2、當(dāng)兩梁用螺栓聯(lián)為一體時，中性軸只有一個?？梢?，兩梁結(jié)為一體后，承載能力提高一倍。bPz一、合理配置梁的荷載和支座以減小最大彎矩1、將荷載分散2、合理設(shè)置支座位置第六節(jié)梁的合理設(shè)計(jì)Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖+Pl/8M圖Pl/8qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+--ql2/40ql2/50ql2/50彎曲應(yīng)力二、合理選取截面形狀以增大抗彎截面系數(shù)

最大彎曲正應(yīng)力與抗彎截面系數(shù)成反比；梁所消耗的材料與橫截面的面積成正比。所以合理的截面應(yīng)該是抗彎截面系數(shù)大，橫截面的面積小。面積相同時：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。彎曲應(yīng)力通常以為指標(biāo)，應(yīng)盡可能增大這個比值。smaxsmin應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時達(dá)到最大值。(1)對于[t]=[c]的材料，可用與中性軸對稱的截面，使截面上、下邊緣σtmax=σcmax(2)對于[t]≠[c]的材料，如鑄鐵[t]＜[c]，宜用中性軸偏于受拉邊的截面。截面形狀和材料特性應(yīng)與材料特性相適應(yīng)三、合理設(shè)計(jì)梁的外形（等強(qiáng)度梁）

梁內(nèi)不同橫截面的彎矩不同。按最大彎矩所設(shè)計(jì)的等截面梁中，除最大彎矩所在截面外，其余截面的材料強(qiáng)度均末得到充分利用。因此，在工程實(shí)際中，常根據(jù)彎矩沿梁軸的變化情況，將梁也相應(yīng)設(shè)計(jì)成變截面的。橫截面沿梁軸變化的梁，稱為變截面梁。梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力［σ］時，稱為等強(qiáng)度梁，等強(qiáng)度梁是一種理想的變截面梁。但是，考慮到加工制造以及構(gòu)造上的需要等，實(shí)際構(gòu)件往往設(shè)計(jì)成近似等強(qiáng)的.彎曲應(yīng)力FABFAB選