課件-第七章7-12平面圖形面積

1第七章定積分的應(yīng)用22定積分有著廣泛的用途,先介紹建立定積分的一種適用的簡(jiǎn)便微元法(元素法).現(xiàn)介紹它在幾何、物理上的簡(jiǎn)單應(yīng)用,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.方法---37.1微元法的基本思想一.問(wèn)題的提出二.微元法的一般步驟4回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題一、問(wèn)題的提出abxyo5面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值6abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素78（二）微元法的一般步驟：9這個(gè)方法通常叫做微元法（或元素法）．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．107.2平面圖形的面積一.直角坐標(biāo)下的面積公式二.邊界曲線由參數(shù)方程表示時(shí)的面積公式三.極坐標(biāo)系下的面積公式四.小結(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用11曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、直角坐標(biāo)下的面積公式

12求這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍成的區(qū)域的面積A.面積微元dA為它對(duì)應(yīng)的(1)即區(qū)間設(shè)在區(qū)間[a,b]上,曲線y=f(x)位于曲線y=g(x)的上方,在[a,b]上任取一個(gè)小13解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選為積分變量定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用14解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用15于是所求面積說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．積分變量只能選嗎？?定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用16(2)

由曲線x=f(y),和直線y=c,x=d所圍成的區(qū)域的面積A.面積微元dA為它對(duì)應(yīng)的區(qū)間x=g(y)在[c,d]上任取一個(gè)小17解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用18(3)

平面圖形(如圖)面積為?設(shè)f(x)、

g(x)在[a,b]上連續(xù),則曲線y=f(x)、y=g(x)與直線x=a,x=b所圍成的19解兩曲線的交點(diǎn)畫草圖,練習(xí)20如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程則曲邊梯形的面積定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、邊界曲線由參數(shù)方程表示時(shí)的面積公式21解曲線的參數(shù)方程為由對(duì)稱性,作變量代換,例4其中總面積等于4倍第一象限部分面積．不易積分.定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

一般地,當(dāng)曲線用參數(shù)方程表示時(shí),都可以用類似的變量代換法處理.22解面積練習(xí)作變量代換定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用23三、極坐標(biāo)系下的面積公式24()dor=()微元法1取極角為積分變量，其變化區(qū)間為[,]以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積，得到面積元素：..

曲邊扇形的面積dAA3作定積分.r+d25解由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用26xyoaa一圓沿另一圓外緣無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。心形線(圓外旋輪線)27xyo.a一圓沿另一圓外緣無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。

(圓外旋輪線)來(lái)看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作a心形線28xyo2a來(lái)看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作.一圓沿另一圓外緣無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。

(圓外旋輪線)aa心形線29xyor=a(1+cos)020r2aPr.一圓沿另一圓外緣無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。

(圓外旋輪線)2a心形線30解利用對(duì)稱性知定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用31解求交點(diǎn)由對(duì)稱性2例7定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用32解例8交點(diǎn)由對(duì)稱性定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用33求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）四、小結(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用34思考題定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用35思考題解答xyo兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)36積分得所以所求曲線為37解求由拋物線