第2章-能量守恒定律2012

§2-4能量守恒定律2-4-1功和功率功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。功的定義：在力的作用下，物體發(fā)生了位移，則把力在位移方向的分力與位移的乘積稱為功。國際單位：焦耳（J

）N·m質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿曲線運(yùn)動到b點(diǎn)的過程中，變力所作的功。元功：合力的功：結(jié)論：合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和。在直角坐標(biāo)系Oxyz中功率是反映作功快慢程度的物理量功率：單位時間內(nèi)所作的功。平均功率：瞬時功率：瓦特（W）=（J/s）例1、設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F=6tN。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動，在頭2（s）內(nèi)這力作了多少功？解：兩邊積分：2-4-2動能和動能定理動能：質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。單位：（J）設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在合力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動到b點(diǎn)元功：1．質(zhì)點(diǎn)動能定理總功：質(zhì)點(diǎn)的動能定理：合力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。2．質(zhì)點(diǎn)系的動能定理i一個由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)的動能定理：

對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。值得注意：例2

如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為m的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？解設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：

由動能定理，有：設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為ΔS

，則有化簡后第二次能敲入的深度為：例3：如圖，在光滑的水平地面上放著一輛小車，小車左端放著一只箱子，今用同樣的水平恒力F拉箱子，使它由小車的左端達(dá)到右端，一次小車固定，另一次小車沒有固定，試以水平地面為參照系，則下面的說法中正確的是：（1）、兩次F做的功相同；（2）、兩次摩擦力對木箱做的功相同；（3）、兩次箱子獲得的動能相同；（4）、兩次由于摩擦而產(chǎn)生的熱量相同。LFLFfFfxLM例4：在光滑的水平桌面上，平放有如圖所示的固定半圓屏障，質(zhì)量為m的滑塊以初速度V0沿切線方向進(jìn)入屏障，滑塊與屏之間的摩擦系數(shù)為，試證明當(dāng)滑塊從另一端滑出時，摩擦力作的功為解由式（1）代入上式得：0NfS俯視圖NfS俯視圖2-4-3保守力與非保守力勢能（1）重力的功初始位置末了位置重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置za和zb，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。（2）萬有引力作功設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在M的引力場中從a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)。cMab萬有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。（3）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。保守力：作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。保守力的特點(diǎn)：保守力沿任何閉合路徑作功等于零。證明：設(shè)保守力沿閉合路徑acbda作功abcd按保守力的特點(diǎn)：證畢4.5物體系的勢能(保守力系統(tǒng)）

m1m2m2m1態(tài)(a)態(tài)(b)r1r2一、定義：是一與系統(tǒng)狀態(tài)對應(yīng)的函數(shù)，叫態(tài)函數(shù)，是空間位置的函數(shù)，具有能量單位，EP是與物體間的相互作用力以及相對位置有關(guān)的能量，我們稱之為系統(tǒng)的勢能。二、重力勢能、彈性勢能和引力勢能1、重力勢能如圖，選地球、m為系統(tǒng)，則m在a點(diǎn)時，系統(tǒng)的勢能為Epa,在b點(diǎn)時，系統(tǒng)的勢能為Epb,由定義可知，m從a運(yùn)動到b點(diǎn)時，重力做的功為：yx0yyaabb其中Ｃ為任意常數(shù)選y=o,Ep=0,則，Ｃ＝０Ｅp=mgyyx0yyaabb2、彈性勢能選x=o,Ep=0,則，Ｃ＝０x彈簧自然長度x0mabkm2V1V2m1x1EP1m2m1kx2EP23、引力勢能a太陽Mbm選r=,Ep=0,則，Ｃ＝０說明：（1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能的零點(diǎn)而言。（2）（3）勢能的零點(diǎn)可以任意選取。結(jié)論：空間某點(diǎn)的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動到勢能零點(diǎn)時保守力做的功。設(shè)空間r0點(diǎn)為勢能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn)r的勢能為：保守力與勢能的微分關(guān)系：因?yàn)椋核裕罕Ｊ亓Φ氖噶渴剑罕Ｊ亓ρ馗髯鴺?biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢能降低的方向。結(jié)論：如例、某雙原子分子的原子間的相互作用勢能函數(shù)為其中A、B為常量，x為兩原子間的距離。試求原子的相互作力的函數(shù)式及原子間相互作用力為零時的距離。解、原子間的相互作力的函數(shù)例、假設(shè)地球?yàn)橘|(zhì)量均勻分布的球體,計算必須供給多少能量才能把地球完全折散.解:將地球作為一系列的球殼組成,其中半徑為r,厚度為dr的球殼具有的勢能為dr把地球完全折散的能量M2-4-4機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：其中機(jī)械能質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系的功能原理如果，

[

例5]

設(shè)地球半徑為R

。一質(zhì)量為m的物體，從靜止開始在距地面R處自由下落。求：它到達(dá)地球表面時的速度。解：=EpBEpA=GMmR2GMmR由機(jī)械能守恒定律：GMm2=+R0GM=vRGMmR221+mvMRRmAB地球例6：如圖當(dāng)Ｆ的值為多大時，m2才能跳起？Ｆm2m1解：選m1、m2地球、彈簧為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的機(jī)械能在Ａ態(tài)到Ｂ態(tài)過程中守恒，選如圖水平線o1o2為勢能水平面為零勢面。

m２Ｆx0x1x201o2（Ａ）m2（Ｂ）m2m2又m２Ｆx0x1x201o2（Ａ）m2（Ｂ）m2m2例7：如圖，m1和m2之間只有萬有引力的作用，假設(shè)現(xiàn)有一力Ｆ作用在Ｂ上，使Ｂ以Ｖ０向右勻速運(yùn)動，試求；（１）、m1、m2之間的最大距離lmax;(2)、從地面觀察，當(dāng)l=lmax時，外力Ｆ做的功是多少？At=0m1m２l0BFV0(靜止）解：選B為參照系，則Ｂ為一慣性系，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒（２）、選地面為參照系，則當(dāng)m1、m2以其同速度Ｖ０運(yùn)動時兩者之間距離最大，運(yùn)用功能原理，外力Ｆ做的功為：m1m２l0BFV0ＡV0例8：航天器繞地球表面運(yùn)動所需的速度稱為第一宇宙速度Ｖ１，脫離地球所需的最小速度稱為第二宇宙速度Ｖ２，脫離太陽系所需的速度稱為第三宇宙速度Ｖ３，設(shè)地球的半徑為，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度為，試求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。SES解：（２）SES(1)（３）、設(shè)脫離地球引力圈時，航天器的速度為Ｖ（相對地面），此時不考慮太陽的引力，則：SES以太陽為參照系，近似認(rèn)為航天器在地球相對太陽的軌道上出發(fā)繼續(xù)運(yùn)動，逃逸太陽系，則脫離太陽引力范圍所需的速度為SES式中r0是地球到太陽的距離，為了充分利用地球公轉(zhuǎn)速度，使航天器在脫離地球引力圈時，速度方向沿地球公轉(zhuǎn)方向，這樣航天器相對地球的速度應(yīng)為42.1-29.8=12.3Km/sSES例9：一顆星體在引力作用下不斷坍縮，當(dāng)它的半徑R小于某一值R0時，我們就再也看不到該星體了，即星體上的任何粒子（包括光子），均不逃離該星體，這樣一個以R0為半徑的引力極大的球形區(qū)域就稱為黑洞。若用牛頓引力理論估算R0值與該星體質(zhì)量M的關(guān)系，則R0是多少？解：光子的動能光子與星體構(gòu)成系統(tǒng)的能量：光子處于束縛態(tài)的條件為：Ze-erH原子能量例10.

一長度為2l的均質(zhì)鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求當(dāng)鏈條離開木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙庠O(shè)單位長度的質(zhì)量為λ始末兩態(tài)的中心分別為c和c′機(jī)械能守恒：解得一對力的功

系統(tǒng)內(nèi)力總是成對出現(xiàn)一對力所做的功，等于其中一個物體所受的力沿兩個物體相對移動的路徑所做的功。OA1A2例、如圖，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為mB

的靜止物體B，在B上又有一質(zhì)量為mA的物體A。今有一小球從左邊射到A上并被彈回，于是A以初速度VA（相對水平面）開始向右運(yùn)動。A、B間的摩擦系數(shù)為,A慢慢帶動B運(yùn)動，最后A和B以相同的速度一起運(yùn)動，問A從開始運(yùn)動到相對于B靜止，在B上移動了多少距離？AVABAVAB解：選mA和mB為系統(tǒng)，利用系統(tǒng)的動能定理例

一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P，另一端系一質(zhì)量為m

的小球,小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運(yùn)動(μ=0)．開始球靜止于點(diǎn)A,彈簧處于自然狀態(tài)，其長為環(huán)半徑R;當(dāng)球運(yùn)動到環(huán)的底端點(diǎn)B時，球?qū)Νh(huán)沒有壓力．求彈簧的勁度系數(shù)．解以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)即又所以取點(diǎn)B為重力勢能零點(diǎn)例12如圖，在一彎曲管中，穩(wěn)流著不可壓縮的密度為的流體.pa=p1、Sa=A1,pb=p2,Sb=A2

．，．求流體的壓強(qiáng)

p

和速率

v

之間的關(guān)系．解取如圖所示坐標(biāo)，在時間內(nèi)、處流體分別移動、．=常量若將流管放在水平面上，即常量伯努利方程則有常量常量即若則結(jié)論例：鏈條總長為L，質(zhì)量為m，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌面間的摩擦系數(shù)為，鏈條由靜止開始運(yùn)動，求：（1）、鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？（2）、這時候鏈條的速度？解：把鏈條分割成無限多的質(zhì)元，則當(dāng)dm在桌面上移動的長度為x時，摩擦力作的功為（1）、xdxLaaX例：鏈條總長為L，質(zhì)量為m，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌面間的摩擦系數(shù)為，鏈條由靜止開始運(yùn)動，求：（1）、鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？（2）、這時候鏈條的速度？(2)由功能原理，選桌面為零勢能面xdxLaaX例、已知半圓柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如圖，求質(zhì)點(diǎn)下滑至最低點(diǎn)時給木塊的壓力.解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)下滑至最低點(diǎn)時的速度為Vm,凹槽的速度為VM機(jī)械能守恒，m相對M作圓周運(yùn)動，m在最低點(diǎn)時，木槽加速度為0此時M為